Bài tập Chứng minh hai đường thẳng song song và các bài toán liên quan lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất của hai đường thẳng song song trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC, có M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN song song với BC.

Đáp án đúng là: C

Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm chung S.

Lại có AB nằm trong mặt phẳng (SAB), CD nằm trong mặt phẳng (SCD) và AB song song với CD (do ABCD là hình bình hành).

Nên giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác SAB, có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác SAB, do đó MN song song với AB.

Mà ABCD là hình thang có đáy lớn AB, đáy nhỏ CD nên AB song song với CD.

Từ đó suy ra MN song song với CD.

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác SAB, MN là đường trung bình nên MN song song AB và MN = \(\frac{1}{2}\) AB.

Trong tam giác SCD, PQ là đường trung bình nên PQ song song CD và PQ = \(\frac{1}{2}\) CD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB song song với CD và AB = CD.

Suy ra MN song song với PQ và MN = PQ.

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau.

b) Đúng. Đây là tính chất bắc cầu của hai đường thẳng song song trong không gian.

c) Đúng. Theo định nghĩa, hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng, do đó chúng không thể có điểm chung.

d) Sai. Theo tiên đề Euclid trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ song song với AC.

b) Sai. JK là đường trung bình của tam giác BCD nên JK song song với BD, không phải AB.

c) Đúng. Ta có IJ song song với AC và IJ = \(\frac{1}{2}\)AC.

Tương tự LK là đường trung bình tam giác ADC nên LK song song với AC và LK = \(\frac{1}{2}AC\). Suy ra IJ song song với LK và IJ = LK. Vậy IJKL là hình bình hành.

d) Đúng. Do IJKL là hình bình hành nên hai đường chéo IK và JL sẽ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên MN song song với hai đáy AD và BC.

b) Sai. Vì AD song song với BC nên giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD, BC chứ không phải song song với AB.

c) Đúng. Trong tam giác SAD, PQ là đường trung bình nên PQ song song với AD.

Mà MN song song với AD (chứng minh trên).

Suy ra MN song song với PQ. Do đó MNQP là hình thang.

d) Đúng. MN nằm trong mặt phẳng (ABCD). SA cắt (ABCD) tại A nhưng A không thuộc MN. Do đó SA và MN không đồng phẳng nên chéo nhau.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. AB và CD cắt nhau tại E ⇒ S là điểm chung thứ nhất, E là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

⇒ Giao tuyến của chúng là SE.

b) Đúng. Tương tự như câu a, hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung thứ nhất là S. Lại có AD nằm trong (SAD) và BC nằm trong (SBC) cắt nhau tại F.

⇒ F là điểm chung thứ hai ⇒ Giao tuyến của hai mặt phẳng này là SF.

c) Đúng. Xét ΔSAB, ta có M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta có MN là đường trung bình nên MN ∥ AB.

d) Đúng. Ta có MN ∥ AB (chứng minh ở câu c). Mà AB cắt CD tại E nên MN không thể song song với CD.

MN nằm trong mặt phẳng (SAB), còn CD nằm trong mặt phẳng đáy (ABCD).

Nếu MN và CD cắt nhau thì điểm chung phải nằm trên giao tuyến của (SAB) và (ABCD) là đường thẳng AB.

Tuy nhiên MN ∥ AB nên không thể có điểm chung.

Do MN và CD không song song và không cắt nhau ⇒ Hai đường thẳng này chéo nhau.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Gọi M là trung điểm của AB. Trong tam giác MCD, do G₁, G₂ là trọng tâm nên ta có \(\frac{{M{G_1}}}{{MC}} = \frac{{M{G_2}}}{{MD}} = \frac{1}{3}\). Theo định lí Thales đảo, G₁G₂ song song với CD.

b) Sai. G₁G₂ nằm trong mặt phẳng (MCD), đường thẳng AB cắt (MCD) tại M. G₁G₂ không đi qua M nên G₁G₂ và AB chéo nhau.

c) Đúng. Vì G₁G₂ song song với CD nên \(\frac{{{G_1}{G_2}}}{{CD}} = \frac{{M{G_1}}}{{MC}} = \frac{1}{3}\).

d) Đúng. G₁G₂ song song với CD, mà CD và BD cắt nhau tại D. Do đó G₁G₂ và BD không đồng phẳng nên chéo nhau.

Đáp án: 16

Vì I, J lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD ⇒ IJ ∥ AB.

Xét hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB) có:

G là điểm chung thứ nhất.

Mặt phẳng (GIJ) chứa đường thẳng IJ, mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng AB.

IJ ∥ AB.

Theo hệ quả định lí về giao tuyến, giao tuyến của (GIJ) và (SAB) là đường thẳng đi qua G và song song với AB.

Theo giả thiết, giao tuyến này cắt SA, SB tại M, N nên ta có MN ∥ AB.

Trong mặt phẳng (SAB), gọi E là trung điểm của AB. Vì G là trọng tâm ΔSAB nên điểm G nằm trên đường trung tuyến SE và tỉ số: \(\frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3}\).

Trong tam giác SAB, vì MN ∥ AB nên theo định lí Thales, ta có: \[\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3}.\]

Suy ra \(MN = \frac{2}{3} \cdot AB = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16\).

Đáp án: 10

Mặt phẳng (BCG) chứa đường thẳng BC. Mặt phẳng (SAD) chứa đường thẳng AD.

Vì ABCD là hình bình hành nên BC song song với AD.

Hai mặt phẳng (BCG) và (SAD) có chung điểm G, do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AD (và BC).

Giao tuyến này cắt SD tại M, suy ra đường thẳng qua G cắt SD tại M phải song song với AD.

Trong tam giác SAD, kẻ đường trung tuyến SE. Vì G là trọng tâm nên \(\frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3}\).

Đường thẳng đi qua G và song song với AD cắt cạnh SD tại M nên theo định lí Thales ta có: \[\frac{{SM}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SE}} = \frac{2}{3}\].

Biết SD = 15, ta có SM = \[\frac{2}{3} \cdot 15\] = 10.

Đáp án: 8

Ta có mặt phẳng (MNP) chứa đường thẳng MN.

Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng AB.

Vì ABCD là hình bình hành, M, N là trung điểm của AD, BC nên MN song song với AB.

Hai mặt phẳng (MNP) và (SAB) có điểm chung là P.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua P và song song với AB (và MN).

Giao tuyến này cắt cạnh SB tại Q. Suy ra PQ song song với AB.

Trong tam giác SAB, vì PQ song song với AB nên theo định lí Thales:

\[\frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SA}}.\]

Theo giả thiết SP = 2PA nên \(\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{2}{3}\). Suy ra \(\frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{2}{3}\).

Vậy \(SQ = \frac{2}{3} \cdot SB = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8.\)

Đáp án: 16

Trong tam giác SAB, vì MN ∥ AB nên theo định lí Thales ta có: \(\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SM}}{{SA}}\).

Trong tam giác SBC, vì NP ∥ BC nên theo định lí Thales ta có: \(\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SN}}{{SB}}\).

Theo tính chất bắc cầu ⇒ \[\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SM}}{{SA}}\]. (1)

Trong ΔSAD, vì MQ ∥ AD nên theo định lí Thales ta có: \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SA}}\). (2)

Từ (1) và (2) ⇒ \(\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SQ}}{{SD}}\).

Xét tam giác SCD, vì có tỉ lệ \(\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SQ}}{{SD}}\) nên theo định lí Thales đảo, PQ ∥ CD.

Do PQ ∥ CD, ta tiếp tục áp dụng định lí Thales trong ΔSCD: \(\frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SM}}{{SA}}\).

Theo giả thiết SM = 2MA, ta có SA = SM + MA = 2MA + MA = 3MA ⇒ \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\).

Thay số vào, ta có: \(\frac{{PQ}}{{24}} = \frac{2}{3}\) ⇒ PQ = \(24 \cdot \left( {\frac{2}{3}} \right)\) = 16.

Đáp án: 6

Hai mặt phẳng (MBC) và (SAD) có điểm chung là M.

Mặt phẳng (MBC) chứa BC, mặt phẳng (SAD) chứa AD.

Vì ABCD là hình thang nên AD song song với BC.

Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng qua M và song song với AD (và BC).

Đường thẳng này cắt SD tại N. Suy ra MN song song với AD.

Trong tam giác SAD, vì MN song song với AD nên theo định lí Thales, ta có:

\(\frac{{MN}}{{AD}} = \frac{{SM}}{{SA}}\).

Vì SM = 3MA nên \[\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{3}{4}\].

Do đó \(\frac{{MN}}{{AD}} = \frac{3}{4}\).

Suy ra MN = \(\frac{3}{4} \cdot AD = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6.\)