Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 7)
39 câu hỏi
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 1x − 6x2 là
lnx− 2x3 + C
-lnx− 2x3 + C
−1x2- 12x + C
lnx− 6x3 + C
Đáp án đúng là: A∫1x−6x2 dx=∫1xdx-∫6x2dx=lnx− 2x3 + C.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình là x + 2y – 4z + 1 = 0 và điểm M (1; 0; −2). Tính khoảng cách d1 từ điểm M đến mặt phẳng (P) và tính khoảng cách d2 từ điểm M đến mặt phẳng (Oxy).
d1=102121 và d2=2
d1=102121 và d2=3
d1=1020 và d2=2
d1=1020 và d2=1
Đáp án đúng là: A
(P): x + 2y – 4z + 1 = 0
Mặt phẳng (Oxyz) đi qua O, vectơ pháp tuyến k→= (0; 0; 1) có phương trình là
1(z − 0) = 0 Û z = 0
Do đó
d1 = d(M;(P)) = 1+2.0−4.(−2)+112+22+42=102121;
d2 = d(M;(Oxy)) = −21= 2.
Tính I = ∫0π4xcos2xdx
I=−π8+14
I=−π8-14
I=π8+14
I=π8-14
Đáp án đúng là: D
Đặt u=xdu=cos2xdx Û du=dxv=12sin2x
Do đó: I = ∫0π4xcos2xdx=12xsin2x0π4−12∫0π4sin2xdx=π8−14
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến là n→ = (6; 3; −2) thì phương trình của (α) là
6x – 3y – 2z = 0
−6x – 3y – 2z = 0
6x + 3y – 2z= 0
−6x + 3y – 2z = 0
Đáp án đúng là: C
Phương trình mặt phẳng (α) đi qua O(0; 0; 0) và n→ = (6; 3; −2) là:
6(x − 0) + 3(y – 0) − 2(z – 0)= 0
Û 6x + 3y – 2z = 0
Vậy phương trình là 6x + 3y – 2z = 0.
Cho ∫02f(x)dx = 3 và ∫02g(x)dx = −2. Khi đó ∫022f(x)−g(x)dx bằng
1
5
4
8
Đáp án đúng là: D∫022f(x)−g(x)dx=∫02f(x)dx−∫02g(x)dx=2.3 + 2 = 8
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ∫f(x)dx = 4x3 – 3x2 + 2x + C. Hàm số f(x) là:
f(x) = x4 + x3 + x2 + Cx + C'
f(x) = 12x2 – 6x + 2
f(x) = x4 – x3 + x2 + Cx
12x2 – 6x + 2 + C
Đáp án đúng là: B
Ta có ∫f(x)dx = 4x3 – 3x2 + 2x + C.
Nên f(x) = 12x2 – 6x + 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ b→=−2j→+5k→, c→=−i→−3j→. Khẳng định nào sau đây đúng?
b→= (−2; 5; 0), c→= (−1; −3; 0).
b→= (−2; 5; 0), c→= (0; −3; 0).
b→= (0; −2; 5), c→= (−1; −3; 0).
b→= (1; −2; 5), c→= (−1; −3; 1).
Đáp án đúng là: C
b→=−2j→+5k→ = (0; −2; 5);
c→=−i→−3j→ = (−1; −3; 0).
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+3x2 (x ≠ 0), biết rằng F(1) = 1. F(x) là biểu thức nào sau đây ?
F(x) = 2lnx−3x-4
F(x) = 2lnx+3x+2
F(x) = 2x+3x-4
F(x) = 2x−3x+2
Đáp án đúng là: A
∫2x+3x2dx=∫2x+3x2dx=2lnx−3x+C
Với F(1) = 1 , ta có:
2ln1 – 3 + C = 1 Û C = 4
Vậy I = 2lnx−3x+4.
Cho f(x) = 3x2 + 2x – 3 có một nguyên hàm F(x) thỏa mãn F(1) = 0. Nguyên hàm đó là kết quả nào sau đây?
F(x) = x3 + x2 – 3x
F(x) = x3 + x2 – 3x + 1
F(x) = x3 + x2 – 3x +2
F(x) = x3 + x2 – 3x – 1
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
∫3x2+2x−3dx = x3 + x2 – 3x + C
Với F(1) = 0, ta có: 13 + 12 – 3.1 + C = 0 Û C = 1.
Vậy nguyên hàm đó là : x3 + x2 – 3x + 1.
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x (1 + 3x3) là
x21+6x35+C
2xx+34x4+C
x2x+34x3+C
x21+32x2+C
Đáp án đúng là: A∫2x+6x4dx=∫2xdx+∫6x4dx=x2 +65x5+C=x21+65x3+C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 2) và bán kính R = 3.
(S): (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 9
(S): (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 9
(S): (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 3
(S): (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 3
Đáp án đúng là: B
Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 2) và bán kính R = 3 là:
(x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 9.
Với tích phân I = ∫xcos2xdx sử dụng công thức từng phần và đặt u=xdv=cos2xdx thì sẽ được
I = xsin2x2+12∫sin2xdx
I = −xsin2x2−12∫sin2xdx
I = −xsin2x2+12∫sin2xdx
I = xsin2x2−12∫sin2xdx
Đáp án đúng là: D
Đặt u=xdv=cos2xdx Û du=dxv=12sin2x
Do đó I =∫xcos2xdx = xsin2x2−12∫sin2xdx.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2; 1). Tính độ dài đoạn thẳng OA.
OA = 5
OA = 5
OA = 3
OA = 9
Đáp án đúng là: C
Độ dài đoạn thẳng OA là:
OA = 22+22+1 = 3.
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và F(x) là nguyên hàm của f(x), biết ∫09f(x)dx = 9 và F(0) = 3. Tính F(9)
F(9) = −6
F(9) = −12
F(9) = 6
F(9) = 12
Đáp án đúng là: D
∫09f(x)dx = F(x)09 = F(9) – F(0) = 9
ÛF(9) – 3 = 9 Û F(9) = 12.
Cho hàm số f(x) có f '(x) liên tục trên đoạn [−1; 3], f(−1) = 4 và ∫−13f'(x)dx= 10. Giá trị của f(3) bằng
6
-14
-6
14
Đáp án đúng là: D
∫−13f'(x)dx=f(x)−13 = f(3) – f(−1) = 10
Ûf(3) – 4 = 10 Û f(3) = 14.
Biết ∫15f(x)dx = 4. Giá trị của ∫153f(x)dx bằng
64
12
7
43
Đáp án đúng là: B
∫153f(x)dx = 3∫15f(x)dx = 3.4 = 12
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(2; −2; 0) và điểm M(1; 0; 2). Phương trình mặt cầu tâm I đi qua M là
(x – 2)2 + (y + 2)2 + z2 = 3
(x + 2)2 + (y – 2)2 + z2 = 9
(x – 2)2 + (y + 2)2 + z2 = 9
(x – 2)2 + (y + 2)2+ z2 = 3
Đáp án đúng là: C
Ta có IM = R = (1−2)2+(0+2)2+(2−0)2=3
Phương trình mặt cầu (P) tâm I(2; −2; 0) có R = 3 là:
(P): (x – 2)2 + (y + 2)2 + z2 = 9
Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trên [2; 4] thỏa mãn f '(2) = 1 và f '(4) =5. Khi đó ∫24f"(x)dx bằng
3
1
4
2
Đáp án đúng là: C∫24f"(x)dx = f'(x)24 = f '(4) – f '(2) = 5 – 1 = 4
Cho ∫−22f(x)dx=1 , ∫−24f(t)dt=−4. Tính ∫24f(y)dy
I = 3
I = −5
I = 5
I = −3
Đáp án đúng là: B
Ta có: ∫abf(x)dx=∫abf(t)dt=∫abf(y)dy
∫24f(y)dy=∫−24f(x)dx+∫2−2f(t)dt = −4 − 1 = −5.
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = x+2x−1 trên khoảng (1; +∞) là
x + 3ln(x – 1) + C
x – 3ln(x – 1) + C
x − 3(x−1)2+ C
x + 3(x−1)2+ C
Đáp án đúng là: A
∫x+2x−1dx=∫x−1+3x−1=∫1+3x−1dx
= x + 3ln(x – 1) + C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x – my – z + 7 = 0 và mặt phẳng (Q): 6x + 5y – 2z – 4 =0. Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau khi giá trị m bằng bao nhiêu?
m = -30
m=52
m = 4
m=-52
Đáp án đúng là: D
Ta có (P) // (Q) khi: aa'=bb'=cc'≠ dd'
⇔36=−m5=−1−2⇔−m5=12⇔m =-52 .
Nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(1 – 3x) là
−13cos(1−3x)+C
3cos(1 −3x) +C
−3cos(1 – 3x) + C
13cos(1 – 3x) + C
Đáp án đúng là: D
∫sin(1−3x)dx=-13−cos(1−3x)dx=13cos(1 – 3x) + C
Cho ∫0π2f(x)dx=3. Tính I = ∫0π22f(x)+sinxdx
I = 4
I = 7
I = 6
I = 5
Đáp án đúng là: B
∫0π22f(x)+sinxdx = 2∫0π2f(x)dx+∫0π2sinxdx = 2. 3 + 1 = 7
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→=(−3; 1; 0) và b→=(0; 1; −2). Vectơ a→+b→ có tọa độ là
(−3; 2; 2)
(−3; 2; −2)
(−3; 0; −2)
(−3; 0; 2)
Đáp án đúng là: B
a→+b→ = (−3 + 0; 1 + 1; 0 – 2) = (−3; 2; −2).
Tìm ∫1x2dx
∫1x2dx=12x+C
∫1x2dx=lnx2 + C.
∫1x2dx=1x+C
∫1x2dx=-1x+C
Đáp án đúng là: D
Ta có ∫1x2dx=−1x+C.
Nếu ∫132f(x)+1dx=5 thì ∫13f(x)dx bằng
3
2
34
32
Đáp án đúng là: D
∫132f(x)+1dx=2∫13f(x)dx+∫131dx= 5
Û 2∫13f(x)dx + x13 =5
Û 2∫13f(x)dx = 3
⇔∫13f(x)dx = 32.
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x + sin8x là
3xln3−cos8x+C
3xln3−18cos8x+C
3xln3+18cos8x+C
3x ln3−18cos8x+C
Đáp án đúng là: B
Ta có ∫3x+sin8xdx = ∫3xdx+∫sin8xdx
= 3xln3−18cos8x+C.
Tính I = ∫0π4cos2x1+2sin2xdx
I=12ln3
I=13ln3
I=14ln3
I=15ln3
Đáp án đúng là: C
Đặt u = 1 + 2sin2x Û du = 4cos2xdx
Do đó: I = ∫0π4cos2x1+2sin2xdx = cos2xdx = 14du
Đổi cận :
Do đó: I = ∫131u.14du = 14lnu13
= 14ln3−ln1 = ln34.
Giá trị m để hàm số F(x) = mx3 + (3m + 2)x2 – 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 10x – 4 là
m = 3
m = 0
m = 1
m = 2
Đáp án đúng là: C
Ta có F(x) = mx3 + (3m + 2)x2 – 4x + 3 nên:
f(x) = 3mx2 + 2(3m + 2)x − 4 = 3x2 + 10x – 4.
Û 3m=32(3m+2)=10⇔ m =1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) song song với giá trị của 2 vectơ là u1→ = (4; 1; 2) và u2→= (1; 2; −1). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) ?
n→= (5; −6; 7)
n→= (−5; 6; 7)
n→= (−5; 6; −7)
n→= (5; −6; 7)
Đáp án đúng là: B
Vectơ u1→ = (4; 1; 2), u2→ = (1; 2; −1).
Nên ta có: u1→,u2→= ( −5; 6; 7).
Cho ∫01x28x2+1dx=m.29+n84 với m và n là số nguyên. Tính k = m + n
k = 28
k = 0
k = 30
k = 2
Đáp án đúng là: A
Đặt u = 28x2+1 (u ≥ 0) Û u2 = 28x2 + 1
Û 2udu = 56xdx Þ udu = 28xdx.
Đổi cận:
Do đó: ∫01x28x2+1dx=128.∫129u2du=128.u33129
=128.2933−133=2929−184
Do đóm = 29, n = −1.
Vậy k = m + n = 28.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0 và điểm A(−2; 4; 3). Gọi d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Khi đó d bằng
2
1
3
4
Đáp án đúng là: C
d(A;(P)) = 2.(−2)−3.4+6.3+1922+32+62=217= 3.
Cho ∫12f(x)dx=−3 và ∫23f(x)dx=4. Khi đó ∫13f(x)dx bằng
1
-12
12
7
Đáp án đúng là: A
∫13f(x)dx=∫23f(x)dx+∫12f(x)dx = 4 – 3 = 1.
Nguyên hàm I = ∫3x7−3x2dx là
I = −7−3x233+C
I =7−3x233+C
I =−37−3x23+C
I=−7−3x23+C
Đáp án đúng là: A
Đặt u = 7−3x2 (u ≥ 0) Û u2 = 7 – 3x2
Û 2udu = −6xdx Þ 3xdx = −udu.
Do đó I = ∫3x7−3x2dx=−∫u2du
= −u33=−7−3x233+C
Tích phân I = ∫0212x+2dx bằng
I = 22
I = 2−12
I = 2−2
I = 1−12
Đáp án đúng là: C
Đặt u = x+2 (u ≥ 0) Û u2 = x + 1 Þ 2udu = dx.
Đổi cận:
Do đó: ∫0212x+2dx=12∫222u2du=∫22u2du=u3322=2 −2
Tìm nguyên hàm I = ∫xe3xdx.
Đặt u=xdv=e3xdx Û du=dxv=13e3x
Do đó: I =∫xe3xdx=13xe3x−13∫e3xdx
= 13xe3x−19e3x+C.
Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông, biết BA = BC = 2a, cạnh bên SA = 2a2 vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.
Cách 1.
Ta có: BC ^ SA, BC ^ AB Þ BC ^ SB.
Ta có: SAC^=SBC^ = 90°.
Khi đó 4 điểm S, A, B, C nằm trên mặt cầu đường kính SC.
Bán kính mặt cầu R = SC2 = 2a.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S = 4π(2a)2 = 16πa2.
Cách 2.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do tam giác ABC vuông tại B nên I là trung điểm của AC.
Qua I dựng đường thẳng d vuông góc với (ABC) nên ta được d // SA.
Trong tam giác SAC, dựng đường trung trực của SA cắt d tại O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC.
Ta tính được AC = 2a2, SC = 4a.
Bán kính mặt cầu R = OA = 2a2+2a2 = 2a.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
S = 4π(2a)2 = 16πa2.
Cho F(x) = (x – 1)ex là một nguyên hàm của hàm số f(x)e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f '(x)e2x
Do F(x) = (x – 1)ex là một nguyên hàm của f(x)e2x nên:
F '(x) = f(x)e2x
Û xex = f(x)e2x
Û f(x) = xex.
Suy ra : f '(x) = ex−xexex2=1−xexe2x
Þ f '(x) = (1 – x)ex.
Khi đó ∫f'(x)e2xdx=∫(1−x)exdx
Đặt u=1−xdv=exdx⇔du=−dxv=ex
Do đó: ∫f'(x)e2xdx = (1 – x)ex + ∫exdx
= (1 – x)ex + ex = (2 – x)ex + C.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên tập hợp ℝ thỏa mãn ∫12f(3x−6)dx = 3 và f(−3) = 2. Tính tích phân ∫−30xf'(x)dx.
Đặt t = 3x – 6 Û dt = 3dx
Đổi cận :
Do đó: ∫12f(3x−6)dx=∫12f(3x−6)dx=13∫−30f(t)dt= 3
Þ ∫−30f(t)dt=9⇒∫−30f(x)dx=9
Đặt u=xdv=f'(x)dx⇔du=dxv=f(x)
Do đó: ∫−30xf'(x)dx=xf(x)−30−∫−30f(x)dx
= 0.f(0) + 3.f(−3) – 9 = −3.
