Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 6)

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trung điểm I của A và B là $I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$ 

Nên ta có I(–1; 3; 3)

Độ dài đoạn thẳng AB là: $AB=\sqrt{{(x_A-x_B)}^2+{(y_A-y_B)}^2+{(z_A-z_B)}^2}$ 

$=\sqrt{{(1+3)}^2+{(-2-8)}^2+{(7+1)}^2}$ 

$=\sqrt{4^2+{10}^2+8^2}=6\sqrt{5}$

AB = 2R $\Rightarrow R=3\sqrt{5}$ 

Mặt cầu tâm I(–1; 3; 3) có bán kính $R=3\sqrt{5}$ là:

(x + 1)² + (y – 3)² + (z – 3)² = 45.

Đáp án đúng là: B

$z^2–6z+10=0\Rightarrow [\begin{array}{c}{z}_1=3+i\\ z_2=3-i\end{array}$ 

Do z là số phức có phần ảo âm nên z = 3 – i $\Rightarrow \overline{z}=3+i$ 

Từ đó $w=\frac{z}{\overline{z}}=\frac{z^2}{z.\overline{z}}=\frac{{(3-i)}^2}{{\left|z\right|}^2}$ $=\frac{8-6i}{3^2+1^2}=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$ 

Tổng số phần thực và phần ảo của số phức w là: $\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$. 

Đáp án đúng là: B

Mặt cầu (S) tâm I đi qua điểm M thì bán kính mặt cầu là $R=IM=\sqrt{4^2+3^2}=5$ 

Mặt cầu (S) có tâm I(0; 0; –3) và bán kính R = 5 có phương trình là:  x² + y² + (z + 3)² = 25.

Đáp án đúng là: C

$\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int (3-4e^{2x})dx=3x-2e^{2x}+C$ 

Ta có: f (0) = C – 2 =10 $\Rightarrow$ C = 12

Vậy f (x) = 3x – 2e^2x + 12.

Đáp án đúng là: B

+ $\cos (\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{2.1+(-2).(-1)+(-4).1}{\sqrt{2^2+{(-2)}^2+{(-4)}^2}.\sqrt{1^2+{(-1)}^2+1^2}}=0$ 

Do đó mệnh đề A đúng.

+ Với $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ $(k\in \mathbb{Z},k>0)$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương. Không tìm được $(k\in \mathbb{Z},k>0)$ thỏa mãn.

Do đó mệnh đề B sai.

+ $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{1^2+{(-1)}^2+1^2}=\sqrt{3}$ 

Do đó mệnh đề C đúng

+ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.1+(-2).(-1)+(-4).1=0$ 

Khi đó $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

Do đó mệnh đề D đúng.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; –3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;-2;3)$ có phương trình là:

(P): (x – 1) – 2(y – 2) + 3(z + 3) = 0

$\iff$ x – 1 – 2y + 4 + 3z + 9 = 0

$\iff$ x – 2y + 3z + 12 = 0.

Đáp án đúng là: B

$z=\frac{(2-3i)(4-i)}{3+2i}=\frac{5-14i}{3+2i}$ 

$=\frac{(5-14i).(3-2i)}{(3+2i).(3-2i)}$ 

$=\frac{-13-52i}{3^2+2^2}=-1-4i$ 

$\Rightarrow \overline{z}=-1+4i$ 

Tọa độ điểm biểu diễn của $\overline{z}$ là M(–1; 4).

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (P) và Ox là:

2x – x² = 0

$\iff$x.(2 – x) = 0

$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ 2-x=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}$ 

Áp dụng công thức tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{dx}=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{(2x-x^2)}^2\text{dx}$ 

$=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}(4x^2-4x^3+x^4)dx$ 

$=\pi \left(\frac{4}{3}{x}^3-x^4+\frac{1}{5}{x}^5\right)\overline{)\underset{0}{\overset{2}{}}}$ 

$=\pi \left(\frac{4}{3}{.2}^3-2^4+\frac{1}{5}{.2}^5\right)$ 

$=\pi \left(\frac{32}{3}-16+\frac{32}{5}\right)=\frac{16}{15}\pi$ 

Đáp án đúng là: C

$z=m+3i\Rightarrow \overline{z}=m-3i$ 

$w=i\overline{z}+3z=i(m-3i)+3(m+3i)$ 

= 3m + 3 + (m + 9)i

Để số phức w là số thuần ảo thì:

3m + 3 = 0

$\iff$3m = – 3

$\iff$ m = –1.

Đáp án đúng là: B

Theo lý thuyết thì hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu:

$F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in K$ 

Đáp án đúng là: A

Ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu 3 số phức z₁, z₂, z₃ nên ta có tọa độ ba điểm lần lượt là A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ 

$\Rightarrow G\left(\frac{3+9-5}{3};\frac{-7-5+9}{3}\right)$ 

$\Rightarrow G(\frac{7}{3};-1)$ 

Þ G là điểm biểu diễn của số phức $z=\frac{7}{3}-i$ 

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x; y; z)

Vì điểm M thuộc đoạn AB và MA = 2MB nên $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$. Khi đó, $\left\{\begin{array}{l}x-3=2(2-x)\\ y-1=2(-3-y)\\ z+2=2(5-z)\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x-3=4-2x\\ y-1=-6-2y\\ z+2=10-2z\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x=7\\ 3y=-5\\ 3z=8\end{array}\right.$  $\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{3}\\ y=-\frac{5}{3}\\ z=\frac{8}{3}\end{array}\right.$

Do đó $M\left(\frac{7}{3};-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$ 

Đáp án đúng là: A

Gọi số phức $(\overline{z}+2i)(z-2)=(a-bi+2i)(a+bi-2)$ 

= a² + abi – 2a – abi – b²i² + 2bi + 2ai + 2bi² – 4i

= (a² + b² – 2a – 2b) + (2a + 2b – 4)i

Để $(\overline{z}+2i)(z-2)$ là số thuần ảo nên:

a² + b² – 2a – 2b = 0

$\iff$ a² – 2a + 1 + b² – 2b + 1 = 2

$\iff$(a – 1)² + (b – 1)² = 2

Do đó tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính $R=\sqrt{2}$.

Đáp án đúng là: D

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n_1}=(1;1;-2)$ 

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow{n_2}=(4;2-m;m)$ 

Để $\left(P\right)\perp \left(Q\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{0}$ 

$\Rightarrow$(1; 1; –2).(4; 2 – m; m) = 0

$\iff$1.4 + 1.(2 – m) + (– 2).m = 0

$\iff$ 4 + 2 – m – 2m = 0

$\iff$6 – 3m = 0

$\Rightarrow$ m = 2.

Đáp án đúng là: B

Đặt $t=\sqrt{x+4}\Rightarrow t^2=x+4\Rightarrow 2tdt=dx$ 

$\Rightarrow \underset{5}{\overset{21}{\int }}\frac{dx}{x\sqrt{x+4}}=\underset{3}{\overset{5}{\int }}\frac{2t}{(t^2-4)t}dt$ 

$=\underset{3}{\overset{5}{\int }}\frac{2}{(t-2)(t+2)}dt$  $=\frac{1}{2}\underset{3}{\overset{5}{\int }}\frac{4}{(t-2)(t+2)}dt$ 

$=\frac{1}{2}\underset{3}{\overset{5}{\int }}\frac{(t+2)-(t-2)}{(t-2)(t+2)}dt$ $=\frac{1}{2}\underset{3}{\overset{5}{\int }}\left(\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t+2}\right)dt$ 

$=\frac{1}{2}\left[\ln (t-2)-\ln (t+2)\right]\overline{)\underset{3}{\overset{5}{}}}$ 

$=\frac{1}{2}\left[\ln \left(3\right)-\ln \left(7\right)\right]-\frac{1}{2}\left[-\ln \left(5\right)\right]$ 

$=\frac{1}{2}\ln \left(3\right)+\frac{1}{2}\ln \left(5\right)-\frac{1}{2}\ln \left(7\right)$ 

$\Rightarrow a=b=-c=\frac{1}{2}$ 

Đáp án đúng là: B

Tính chất của tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$ 

Nên tương tự ta có $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+2g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+2\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$ 

Đáp án đúng là: C

Gọi số phức z = a + bi

(3 + 2i)z + (2 – i)² = 4 + i

$\iff$(3 + 2i)(a + bi) + (2 – i)² = 4 + i

$\iff$(3a – 2b) + (2a + 3b)i = 1 + 5i

$\left\{\begin{array}{l}3a-2b=1\\ 2a+3b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.$ 

$\Rightarrow$ z = 1 + i

Vậy điểm M biểu diễn số phức z là M(1; 1).

Đáp án đúng là: A

Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là z = 1 + 3i.

Đáp án đúng là: A

$I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\sin 3x\text{ dx}=-\frac{1}{3}\cos 3x\overline{)\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{}}}=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{6}$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=\frac{1}{3}\end{array}\right.$ $\Rightarrow$ a – b = 0.

Đáp án đúng là: D

+ Vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{n}=(0;2;-3)$ 

Do đó, đáp án A đúng.

+ 2.1 – 3.1 + 1 = 0 $\Rightarrow$ M(1; 1; 1) $\in$ (P).

Do đó, đáp án B đúng.

+ Vectơ chỉ phương của Ox có dạng: $\overrightarrow{u}=(1;0;0)\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ 

Suy ra (P) // Ox.

Do đó, đáp án C đúng.

+ Ox $\subset$ (P). Đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $1=|z-3i+4|\ge |\left|z\right|-|3i-4||=\left|\left|z\right|-5\right|$ 

$\Rightarrow$−1 ≤ |z| − 5 ≤ 1

$\Rightarrow$ 4 ≤ |z| ≤ 6

Đặt $z_0=4-3i\Rightarrow \left|z_0\right|=5,{{\text{ z}}_0}^2=7-24i$ 

$I={\left|z^2+7-24i\right|}^2={\left|z^2+{z_0}^2\right|}^2$ $=(z^2+{z_0}^2)\left({\overline{z}}^2+{\overline{z_0}}^2\right)$

$={\left|z\right|}^4+{\left|z_0\right|}^4+{\left(z.\overline{z_0}+z_0.\overline{z}\right)}^2-2{|z.z_0|}^2$ 

Mà $(z+z_0)(\overline{z}+\overline{z_0})=1$ 

$\Rightarrow z.\overline{z_0}+z_0.\overline{z}=1-{\left|z\right|}^2-{\left|z_0\right|}^2$ 

$\Rightarrow I={\left|z\right|}^4+{\left|z_0\right|}^4+{\left(1-{\left|z\right|}^2-{\left|\overline{z_0}\right|}^2\right)}^2-2{|z.z_0|}^2$  

$=2{\left|z\right|}^4-2{\left|z\right|}^2+1201$ 

Hàm số y = 2t⁴ – 2t² + 1201 đồng biến trên [4; 6] nên I $⩾$ 2.4⁴ – 2.4² + 1201 = 1681

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}\left|z\right|=4\\ |z+4-3i|=1\end{array}\right.$ 

Do đó $|z^2+7-24i|\ge 41$