Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 12)
39 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→ biểu diễn của các vectơ đơn vị là a→= 2i→+k→−3j→. Tọa độ của vectơ a→ là
(1; −3; 2)
(2; −3; 1)
(1; 2; −3)
(2; 1; −3)
Đáp án đúng là: B
Ta có a→=2i→+k→−3j→
Do đó tọa độ của a→ là a→ (2; −3; 1).
Mặt phẳng đi qua ba điểm A(0; 0; 2), B(1; 0; 0), C(0; 3; 0) có phương trình là:
x1+y3+z2=−1
x2+y1+z3=−1
x2+y1+z3=1
x1+y3+z2=1
Đáp án đúng là: D
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm B(1; 0; 0), C(0; 3; 0) và A(0; 0; 2) là:
(P) : x1+y3+z2=1
Cho hàm số f(x) = 13−2x. Mệnh đề nào sau đây đúng
∫f(x)dx=−3−2x+C
∫f(x)dx=3−2x+C
∫f(x)dx=−123−2x+C
∫f(x)dx=123−2x+C
Đáp án đúng là: A
Đặt u = 3−2x (u ≥ 0)
Suy ra : u2 = 3 – 2x Û 2udu = −2dx Ûdx = −udu.
Do đó ∫13−2xdx=∫−1uudu=−∫du
= −u + C = − 3−2x + C.
Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x3 – 9 là
4x4 – 9x + C
12x4 – 9x + C
14x4 + C
4x3 – 9x + C
Đáp án đúng là: B
∫2x3−9dx = 2.x44− 9x + C = 12x4 – 9x + C
Mệnh đề nào sau đây đúng?
∫xexdx=xex−ex+C
∫xexdx=x22ex+ex+C
∫xexdx=ex+xex+C
∫xexdx=x22ex+C
Đáp án đúng là: A
Đặt u=xdv=exdx⇔du=dxv=exdx
Do đó: ∫xexdx=xex – ex + C.
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 15x+4 là
15ln( 5x + 4) + C
1ln5ln5x+4+ C
ln|5x + 4| + C
15ln5x+4+C
Đáp án đúng là: D
Ta có ∫15x+4dx=15ln5x+4+C
Tích phân ∫121x+2dx bằng
I = ln2 + 2
I = ln2 + 1
I = ln2 – 1
I = ln2 + 3
Đáp án đúng là: A
Ta có ∫121x+2dx=∫121xdx+∫122dx
=lnx12+2x12 + C = ln2 + 2.
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(−3; 0; 0), B(0; −3; 0), C(0; 0; 6). Tính khoảng cách từ điểm M (1; −3; −4) đến mặt phẳng (ABC).
2
3
4
1
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua các điểm A(−3; 0; 0), B(0; −3; 0), C(0; 0; 6) là: x−3+y−3+z6=1
Û −2x6+−2y6+z6=66
Û −2x – 2y + z – 6 = 0
d(M;(ABC)) = (−2).1−2.(−3)−4−622+22+1=2.
Tích phân I = ∫0222x+1dx bằng
ln5
4ln5
2ln5
12ln5
Đáp án đúng là: A
Ta có ∫0222x+1dx=2∫0212x+1dx
=2.12ln2x+102+C=ln2x+102=ln5.
Trong không gian với hệ số tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 5; 0), B(2; 7; 7). Tìm tọa độ của vectơ AB→
AB→= (0; 2; 7)
AB→= (0; −2; −7)
AB→= 0;1;72
AB→= (4; 12; 7)
Đáp án đúng: A
Ta có AB→ = ( 2 – 2; 7 − 5; 7 − 0) = (0; 2; 7).
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f '(x) liên tục trên [a; b], f(b) = 5 và ∫abf'(x)dx = 1, khi đó f(a) bằng
-6
4
6
-4
Đáp án đúng là: B
∫abf'(x)dx = 1 Û f(x)ab = 1
Û f(b) – f(a) = 1
Û 5 – f(a) = 1Û f(a) = 4.
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành Ox, các đường thẳng x = 1, x = 2 là
S = 7
S = 83
S = 73
S = 8
Đáp án đúng là: C
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành Ox, các đường thẳng x = 1, x = 2 là
S = ∫12x2dx=x3312=73 ( do x2 > 0 ∀ x ∈ ℝ)
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a,x = b (a < b) diện tích của D được tính theo công thức
∫abf(x)−g(x)dx
∫abf(x)−g(x)dx
∫abf(x)dx−∫abg(x)dx
∫abf(x)−g(x)dx
Đáp án đúng là: D
Diện tích của D bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a,x = b được tính là:
D = ∫abf(x)−g(x)dx
Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên tập xác định. Mệnh đề nào sau đây sai?
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx, (k ≠ 0)
∫f(x)g(x)dx=∫f(x)dx∫g(x)dx
∫f'(x)dx=f(x)+C
∫f(x)−g(x)dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx
Đáp án đúng là: B
Trong bảng nguyên hàm cơ bản không có công thức ∫f(x)g(x)dx=∫f(x)dx∫g(x)dx
Giả sử ∫1212x+1dx=lnab với a, b Î ℕ∗ và a, b < 10. Tính M = a + b2.
M = 14.
M = 106.
M = 8.
M = 28.
Đáp án đúng là: A
∫1212x+1dx=12ln2x+112+C=12ln(5)−ln(3)+C=12ln5−12ln3=12.ln53=ln53
Do đó a = 5, b = 3.
Vậya + b2 = 5 + 32 = 14.
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng (P) : 2x – y + z – 2 = 0.
Q(1; −2; 2).
N(1; −1; −1).
P(2; −1; −1).
M(1; 1; −1).
Đáp án đúng là: B
Thay điểm N(1; −1; −1) vào mặt phẳng (P) : 2x – y + z – 2 = 0, ta có:
2. 1 – (−1) + (−1) – 2 = 2 + 1 – 1 – 2 = 0
Do đó điểm N(1; −1; −1) nằm trên mặt phẳng (P) : 2x – y + z – 2 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; 2; 3) và N(−1; 2; −1). Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:
x2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 20.
x2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 5.
x2 + (y – 2)2 + (z −1)2 = 5.
x2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 20.
Đáp án đúng là: B
Trung điểm I của MN có tọa độ I (0; 2; 1).
Ta có: IM→ = (1; 0; 2), R = 5.
Phương trình mặt cầu đường kính MN đi qua điểm I (0; 2; 1) và có R = 5 là:
x2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 5.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 4 có tâm và bán kính lần lượt là
I (1; 2; −3); R = 4.
I(−1; −2; 3); R = 2.
I(1; 2; −3); R = 2.
I(−1; −2; 3); R = 4.
Đáp án đúng là: C
Mặt cầu (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z +3)2 = 4 có tâm I(1; 2; −3) và R = 4 = 2.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; −3) và B(3; −2; −1). Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là điểm
I(1; −2; 1)
I(2;0; −2)
I(4; 0; −4)
I(1; 0; −2)
Đáp án đúng là: B
Độ dài trung điểm của AB là I có tọa độ x=1+32=2y=2−22=0z=−3−12=−2
Do đó tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là điểm I(2; 0; −2).
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên R và ∫35f(x)dx=a, (a Î ℝ). Tích phân I = ∫12f(2x+1)dx có giá trị là
I = 12a+1
I = 2a + 1
I = 2a
I = 12a
Đáp án đúng là: D
Đặt u = 2x + 1 Û du = 2dx Û dx = 12du
Đổi cận:
x | 2 | 1 |
u | 5 | 3 |
Ta có: I = ∫12f(2x+1)dx=12.∫35f(u)du=12a
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(−1; 2; 0) và có vectơ pháp tuyến n→= (4; 0; −5) là
4x – 5z + 4 =0
4x – 5y + 4 = 0
4x – 5z – 4 = 0
4x – 5y – 4 = 0
Đáp án đúng là: A
Phương trình (P) có dạng: 4.(x +1) + 0.(y – 2) − 5.(z – 0) = 0.
Do đó phương trình mặt phẳng (P) : 4x – 5z + 4 = 0.
Cho tích phân I = ∫1e3lnx+1xdx. Nếu đặt t = lnx thì
I = ∫1e(3t+1)dx
I = ∫013t+1etdt
I = ∫01(3t+1)dt
I = ∫1e3t+1tdt
Đáp án đúng là: C
Đặt t = lnx Û dt = 1xdx
Đổi cận :
x | e | 1 |
t | 1 | 0 |
Do đó: I = ∫1e3lnx+1xdx=∫01(3t+1)dt
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R, f(−1) = −2 và f(3) = 2. Tính I = ∫−13f'(x)dx
I = −4
I = 4
I = 0
I = 3
Đáp án đúng là: B
∫−13f'(x)dx=f(x)−13 = f (3) – f (−1) = 2 − (−2) = 4.
Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + sinx là
−cosx + x2 + C
– cosx + 2x2 + C
cosx + x2 + C
2x2 + cosx + C
Đáp án đúng là: A
∫(2x+sinx)dx=∫2xdx+∫sinxdx=x2– cosx + C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng (Oyz)?
y + z = 0.
y – z = 0.
x = 0.
x = y + z.
Đáp án đúng là: C
Phương trình mặt phẳng (Oyz) là x = 0.
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và ∫04f(x)dx= 10, ∫34f(x)dx= 4. Tích phân ∫03f(x)dx bằng
3
6
4
7
Đáp án đúng là: B
∫03f(x)dx=∫43f(x)dx+∫04f(x)dx=−∫34f(x)dx+∫04f(x)dx=−4 + 10 = 6.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 1 = 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là
n→= (2; 1; −1).
n→= (1; 2; 0).
n→= (−2; −1; 1).
n→= (2; 1; 0).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (P): 2x + y – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là n→ = (2; 1; 0)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + z = 0 và mặt phẳng (Q): 2x + y + z – 1 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:
Trùng nhau
Vuông góc
Cắt nhưng không vuông
Song song
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (P) và (Q) song song do có cùng vectơ pháp tuyến là n→ = (2; 1; 1)
Cho ∫01f(x)dx = 2. Khi đó ∫012f(x)+exdx bằng
5 – e
5 + e
e + 3
3 – e
Đáp án đúng là: C
∫012f(x)+exdx=2∫01f(x)dx+∫01exdx
= 2 . 2 + ex01 = 4 + e – 1 = e + 3.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3). Tìm tọa độ điểm A1 là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oyz).
A1 (0; 2; 3)
A1 (1; 0; 3)
A1 (1; 2; 0)
A1 (1; 0; 0)
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là: x = 0.
Hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 3) lên mặt phẳng (Oyz) là A1(0; 2; 3)
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xex, trục hoành và hai đường thẳng x = −2, x = 3 có công thức tính là
S = ∫−23xexdx
S = ∫−23xexdx
S = ∫−23xexdx
S = π∫−23xexdx
Đáp án đúng là: B
Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: S ∫abf(x)dx
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xex, trục hoành và hai đường thẳng x = −2, x = 3 có công thức tính là:
S = ∫−23xexdx.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx.
12cos2x + C
sinx + C
-12cos2x +C
–sinx + C
Đáp án đúng là: B
∫cosxdx = sinx + C
Cho ∫13f(x)dx= 2. Tích phân ∫132+f(x)dx bằng
4
8
10
6
Đáp án đúng là: D
∫132+f(x)dx=∫132dx+∫13f(x)dx=2x13+2=6
Tích phân ∫02xx2+3dx bằng
ln73
12log73
12ln37
12ln73
Đáp án đúng là: D
Đặt u = x2 + 3 Û du = 2xdx Û xdx = 12du.
Đổi cận :
Do đó: ∫02xx2+3dx=12.∫371udu=12ln37=12ln73
Mệnh đề nào sau đây sai?
∫f1(x)+f2(x)dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx
Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) = G(x).
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k là hằng số và k ≠ 0).
Nếu ∫f(x)dx=F(x)+Cthì ∫f(u)du=F(u)+C.
Đáp án đúng là: B
F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên F(x) = ∫f(x)dx + C1
G(x) là nguyên hàm của hàm số g(x) nên G(x) = ∫g(x)dx + C2
Vì C1 và C2 có thể khác nhau nên F(x) ≠ G(x)
Vậy đáp án B sai.
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x và Fπ4= 1. Tính Fπ6.
Ta có: ∫π6π4sin2xdx=Fπ4−Fπ6=1−Fπ6
Mà ∫π6π4sinx2xdx=−12cos2xπ6π4=−12cosπ2−cosπ3=14
Do đó Fπ6=1−14=34
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn ∫01f(x)dx=2 và ∫02f(3x+1)dx=6. Tính I = ∫07f(x)dx
A = ∫01f(x)dx=2, B = ∫02f(3x+1)dx=6
Đặt t = 3x +1 Û dt = 3dx
Đổi cận: 
Ta có : B = 13∫17f(t)dt=6=>∫17f(t)dt=18
Vậy I = ∫07f(x)dx=∫01f(x)dx+∫17f(x)dx=20
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và hàm số y = g(x) = x.f(x2) có đồ thị hàm số trên đoạn [0; 2] như hình vẽ![Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và hàm số y = g(x) = x.f(x^2) có đồ thị hàm số trên đoạn [0; 2] như hình vẽ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/07/blobid2-1658243307.png)
Biết diện tích miền tô màu là S = 52, tính tích phân I = ∫14f(x)dx
Ta có:
S = ∫12g(x)dx=52=∫12xf(x2)dx
Đặt t = x2 Û dt = 2xdx
Đổi cận :![Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và hàm số y = g(x) = x.f(x^2) có đồ thị hàm số trên đoạn [0; 2] như hình vẽ (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/07/blobid1-1658243252.png)
Do đó: S = ∫12xf(x2)dx=12∫14f(t)dt=52⇔∫14f(t)dt=5
Hay ∫14f(x)dx=5
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 2; 3) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 4 = 0, (Q): 5x – 4y + 3z +1 = 0
Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm và n(α)→ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)
Mặt phẳng (P) : 3x – 2y + z + 4 = 0 có vectơ pháp tuyến là n(P)→(3; −2; 1)
Mặt phẳng (Q): 5x – 4y+ 3z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là n(Q)→(5; −4; 3)
Ta có : (α)⊥(P)(α)⊥(Q)⇒n(α)→=nP→;nQ→ = (−2; −4; −2)
Mặt phẳng (α) qua A(1; 2; 3) có vectơ pháp tuyến n(α)→(−2; −4; −2) nên có phương trình là:
−2(x – 1) – 4(y − 2) – 2(z – 3) = 0 Û −2x – 4y – 2z + 16 = 0.
Nên (α): x + 2y + z – 8 = 0. Vậy (α) có phương trình là x + 2y + z – 8 = 0.
