Đề kiểm tra Giới hạn của dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn A

Ta có \(\lim \frac{{a{n^2} + {a^2}n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \lim \frac{{a{n^2} + {a^2}n + 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} = \lim \frac{{a + \frac{{{a^2}}}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = a\).

\({a^2} - a + 1 = a\)\( \Rightarrow {a^2} - 2a + 1 = 0\)\( \Rightarrow a = 1\).

Chọn A

Ta có:\(\lim \frac{{\left( {3n - 1} \right){{\left( {3 - n} \right)}^2}}}{{{{\left( {4n - 5} \right)}^3}}} = \lim \frac{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right){{\left( {\frac{3}{n} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {4 - \frac{5}{n}} \right)}^3}}} = \frac{3}{{64}} = \frac{a}{b}\). Do đó: \(a.b = 192\)

Chọn A

Ta có:\(\lim \frac{{\left( {3n - 1} \right){{\left( {3 - n} \right)}^2}}}{{{{\left( {4n - 5} \right)}^3}}} = \lim \frac{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right){{\left( {\frac{3}{n} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {4 - \frac{5}{n}} \right)}^3}}} = \frac{3}{{64}} = \frac{a}{b}\). Do đó: \(a.b = 192\)

Ta có: \(\lim \left( { - 2{n^3} - 5n + 9} \right) = \lim {n^3}\left( { - 2 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{9}{{{n^3}}}} \right) = - \infty \),

do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\lim {n^3} = + \infty }\\{\lim \left( { - 2 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{9}{{{n^3}}}} \right) = - 2}\end{array}} \right.\)

\(\lim \frac{{{4^n} + 3}}{{1 + 3 \cdot {4^{n + 1}}}} = \lim \frac{{{4^n} + 3}}{{1 + 12 \cdot {4^n}}} = \lim \frac{{{4^n}\left( {1 + \frac{3}{{{4^n}}}} \right)}}{{{4^n}\left( {\frac{1}{{{4^n}}} + 12} \right)}} = \lim \frac{{1 + \frac{3}{{{4^n}}}}}{{\frac{1}{{{4^n}}} + 12}} = \frac{1}{{12}}\)

a) Tích \(a.b = - \infty \)

b) Hàm số \(y = \sqrt {1 - x} \) có tập xác định là \(D\left( { - \infty ;1} \right]\)

c) Giá trị \[\frac{1}{{12}}\] là số lớn hơn \(0\)

d) Phương trình lượng giác \(\cos x = \frac{1}{{12}}\) có nghiệm

Ta có: \(\lim \frac{{ - 3{n^3} + 1}}{{2n + 5}} = \lim \frac{{n\left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{5}{n}} \right)}} = \lim \frac{{ - 3{n^2} + \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{5}{n}}} = - \infty \),

do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\lim \left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right) = - \infty }\\{\lim \left( {2 + \frac{5}{n}} \right) = 2}\end{array}} \right.\)

\(\lim \frac{{{{( - 1)}^n} \cdot {5^n}}}{{{2^n} + {5^{2n}}}} = \lim \frac{{{{( - 1)}^n} \cdot {5^n}}}{{{2^n} + {{25}^n}}} = \lim \frac{{{{25}^n} \cdot {{\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)}^n}}}{{{{25}^n}\left[ {{{\left( {\frac{2}{{25}}} \right)}^n} + 1} \right]}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{{ - 1}}{5}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{2}{{25}}} \right)}^n} + 1}} = 0\)

Ta có \(\lim {u_n} = \lim \frac{{{7^n} + {2^{2n - 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{7^{n + 1}} + {5^{n - 1}}}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{2}{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} + 3{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n}}}{{7 + \frac{1}{5}{{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n}}} = \frac{1}{7}\).

Do đó suy ra \(a = 1,b = 7 \Rightarrow a + b = 8\).

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{n^2} - n + 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}\left( {1 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right) = + \infty \)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - \frac{n}{{n + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - 1} \right) = 0\). Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\).

Ta có

\(\begin{array}{l}M = \frac{1}{{{5^{10}}}} + ... + \frac{1}{{{5^3}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{5} \Leftrightarrow M + 1 = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{10}} + ... + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} + \frac{1}{5} + 1\\ \Leftrightarrow \left( {M + 1} \right)\left( {\frac{1}{5} - 1} \right) = \left( {\frac{1}{5} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{10}} + ... + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^3} + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2} + \frac{1}{5} + 1} \right]\\ \Leftrightarrow - \frac{4}{5}\left( {M + 1} \right) = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{11}} - 1 \Leftrightarrow M + 1 = \frac{{{{5.5}^{10}} - 1}}{{{{4.5}^{10}}}} \Leftrightarrow M = \frac{{{5^{10}} - 1}}{{{{4.5}^{10}}}} = \frac{1}{4}\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{10}}} \right]\end{array}\)

Ta có \(2{S_n} = \frac{2}{{1.2.3}} + \frac{2}{{2.3.4}} + \frac{2}{{3.4.5}} + ... + \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Trong đó

\(\begin{array}{l}\frac{2}{{1.2.3}} = \frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}};\,\frac{2}{{2.3.4}} = \frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}};\,\,\frac{2}{{3.4.5}} = \frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{4.5}};\,\,\\\frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}2{S_n} = \left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}}} \right) + \left( {\frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}}} \right) + \left( {\frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{4.5}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{{n^2} + 3n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \Rightarrow {S_n} = \frac{{{n^2} + 3n}}{{2\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}\)

Vậy \({S_{30}} = \frac{{{{30}^2} + 3.30}}{{2.\left( {30 + 1} \right)\left( {30 + 2} \right)}} = \frac{{495}}{{992}}\)

Ta có cạnh của hình vuông thứ nhất là \(\frac{1}{2}\) nên diện tích \({S_1} = \frac{1}{4}\).

Cạnh hình vuông thứ hai là \(\frac{1}{4}\) nên diện tích \({S_2} = \frac{1}{{16}}\),…

Cứ tiếp tục như vậy thì ta có được \({S_1};\,{S_2};\,{S_3};...\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có \({S_1} = \frac{1}{4}\), \(q = \frac{1}{4}\) nên ta có tổng diện tích chuột Mickey cần tô màu là \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... = \frac{1}{4}\frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}\) (đvdt).

Ta thấy:

Ban đầu bóng cao 63m nên chạm đất lần 1 bóng di chuyển quãng đường \({S_1} = 63\left( m \right)\).

Từ lúc chạm đất lần một đến chạm đất lần hai bóng di chuyển được quãng đường là \({S_2} = 2{S_1}.\frac{1}{{10}} = 2.63.\frac{1}{{10}} = \frac{{63}}{5}\) (do độ cao lần hai bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao ban đầu).

Từ lúc chạm đất lần hai đến chạm đất lần ba bóng di chuyển được quãng đường là \({S_3} = {S_2}\frac{1}{{10}}\) (do độ cao lần ba bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao lần hai)... Cứ tiếp tục như vậy kéo dài ra vô tận thì ta có được tổng quãng đường mà bóng cao su đã di chuyển là

\(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... = {S_1} + {S_2} + {S_2}.\frac{1}{{10}} + {S_2}.{\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^2} + ... = {S_1} + {S_2}\frac{1}{{1 - \frac{1}{{10}}}}\)\( = 63 + \frac{{63}}{5}.\frac{{10}}{9} = 77\,\left( m \right)\) .

Vậy quãng đường di chuyển của bóng là \(77m\).