Bài tập Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta thấy  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{2}^n$ có dạng  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=+\infty$ với q > 1. Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án đúng là: A

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{5n+1}}{3^{5n+3}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{2.2}^{5n}}{{27.3}^{5n}}\underset{n\to +\infty }{\lim }\left[\frac{2}{27}.{\left(\frac{2}{3}\right)}^{5n}\right]=\frac{2}{27}.0=0$.

Đáp án đúng là: A

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-{4.2}^{n+3}-3}{{3.2}^{n+1}+4^{n+2}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-{32.2}^n-3}{{6.2}^n+{16.4}^n}\underset{n\to +\infty }{=\lim }\frac{\frac{3^n}{4^n}-32.\frac{2^n}{4^n}-\frac{3}{4^n}}{6.\frac{2^n}{4^n}+16.\frac{4^n}{4^n}}$

$\underset{n\to +\infty }{=\lim }\frac{{\left(\frac{3}{4}\right)}^n-32.{\left(\frac{2}{4}\right)}^n-\frac{3}{4^n}}{6.{\left(\frac{2}{4}\right)}^n+16.1}=\frac{0}{16}=0$.

Đáp án đúng là: C

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4-5^{n+3}}{3^{n+2}+{2.5}^{n+1}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4-5^n.125}{3^n.9+{10.5}^n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{4}{5^n}-1.125}{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n.9+10.1}$

$=\frac{0-125}{0.9+10}=-\frac{25}{2}$.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-1}{2^n-{2.3}^n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{1}{3^n}}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-2.1+\frac{1}{3^n}}=\frac{1-0}{0-2+0}=-\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: A

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+3\frac{n}{3^n}+\frac{10}{3^n}}{8+\frac{2}{3^n}}=\frac{{\displaystyle 2.0+3.0+0}}{{\displaystyle 8+0}}=0$.

Đáp án đúng là: A

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n-1}{n^3+3}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^3\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(1+\frac{3}{n^3}\right)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}}{1+\frac{3}{n^3}}=0$.

Đáp án đúng là: A

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{7n^2-2n^3+1}{3n^3+2n^2+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^3\left(\frac{7}{n}-2+\frac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}\right)}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{7}{n}-2+\frac{1}{n^3}}{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}}=\frac{{\displaystyle 0-2+0}}{{\displaystyle 3+0+0}}=-\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}$.

Đáp án đúng là: A

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^3-3}{n^6+5n^5}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^6\left(\frac{2}{n^3}-\frac{3}{n^6}\right)}{n^6\left(1-\frac{5}{n}\right)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{2}{n^3}-\frac{3}{n^6}}{1-\frac{5}{n}}=\frac{0-0}{1-0}=0$.

Đáp án đúng là: B

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+3n+1}{2n-3}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2\left(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}\right)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}}=+\infty$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{2^n} + {3^n}}}{{{3^n} + 1}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 1}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}\) = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{3 \cdot {2^n} - {4^n}}}{{{4^n} + 5 \cdot {3^n}}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{3 \cdot {{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} - 1}}{{1 + 5 \cdot {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{3 \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 1}}{{1 + 5 \cdot {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}\) = \(\frac{{0 - 1}}{{1 + 0}} = - 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có tử số: 2ⁿ⁺¹ – 5ⁿ = 2 ∙ 2 ⁿ - 5 ⁿ

Chia cả tử và mẫu cho 5ⁿ, ta được:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{2^{n + 1}} - {5^n}}}{{3 \cdot {5^n} + 2}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{2 \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - 1}}{{3 + 2 \cdot {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}} = \frac{{0 - 1}}{{3 + 0}} = - \frac{1}{3}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: 4ⁿ⁺¹ = 4 ∙ 4ⁿ và 6ⁿ⁺² = 36 ∙ 6ⁿ.

Chia cả tử và mẫu cho 6ⁿ, ta được:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{4^{n + 1}} + {6^{n + 2}}}}{{{5^n} + 8 \cdot {6^n}}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{4 \cdot {{\left( {\frac{4}{6}} \right)}^n} + 36}}{{{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n} + 8}}\) = \(\frac{{0 + 36}}{{0 + 8}} = \frac{9}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{a \cdot {7^n} + {3^n}}}{{2 \cdot {7^n} - {5^n}}}\) = \(\frac{{a + {{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n}}}{{2 - {{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n}}} = \frac{a}{2} = 2\) ⇒ a = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất là 4ⁿ.

b) Đúng. Các cơ số là 2, 3, 4 thì 4 là cơ số lớn nhất.

c) Sai. Chia tử mẫu cho 4ⁿ ta được \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 1}}{{1 + {{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n}}} = - 1\).

d) Đúng. Giới hạn bằng -1 là một số thực hữu hạn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Đúng.               d) Sai.

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{a \cdot {5^n} + {4^n}}}{{3 \cdot {5^n} - {2^n}}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{a + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n}}}{{3 - {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n}}}\).

Vì \(\frac{4}{5}\) < 1 và \(\frac{2}{5}\) < 1 ⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{4}{5}} \right)^n} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} = 0\).

⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\frac{{a + 0}}{{3 - 0}} = \frac{a}{3}\).

a) Đúng. Khi a = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\frac{0}{3}\) = 0.

b) Đúng. Nếu a = 3 thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\frac{3}{3}\) = 1.

c) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\frac{a}{3}\) ⇒ phụ thuộc vào giá trị của a.

d) Sai. Để \(\frac{a}{3}\) = 2 ⇒ a = 6, không phải 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. Chia cả tử và mẫu của u_n cho 3ⁿ, ta được \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = \frac{0}{1} = 0\).

b) Đúng. Chia cả tử và mẫu của v_n cho 3ⁿ, ta được \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\[\frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 1}} = \frac{1}{1} = 1\].

c) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n + v_n) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = 0 + 1 = 1.

d) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n ∙ v_n) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n ∙ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = 0 ∙ 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\({\left( { - \frac{1}{3}} \right)^n}\) = 0 do \(\left| { - \frac{1}{3}} \right|\) < 1.

b) Đúng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\({\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) = 0.

c) Sai. Ta có u_n = \({\left( { - \frac{1}{3}} \right)^n}\) + \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = 0 + 0 = 0.

d) Đúng. Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: |x + y| ≤ |x| + |y|, ta có:

|u_n| ≤ \(\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{3^n}}}} \right| + \left| {\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right|\) = \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\) + \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Vì a < b nên 0 < \(\frac{a}{b}\) < 1. Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^n}\) = 0.

b) Đúng. Vì a = b nên \(\frac{a}{b}\) = 1. Dãy số trở thành u_n = 1ⁿ = 1, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = 1.

c) Sai. Khi a > b thì \(\frac{a}{b}\) > 1. Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^n}\) = + ∞.

d) Sai. Nếu b = 2a thì \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{1}{2}\) < 1, do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Biến đổi mẫu số: 4^n-1 = \(\left( {\frac{1}{4}} \right)\) ∙ 4ⁿ.

Chia cả tử và mẫu cho 4ⁿ, ta được:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{10 \cdot {3^n} - {4^n}}}{{3 \cdot {2^n} - {4^{n - 1}}}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{10 \cdot {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 1}}{{3 \cdot {{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} - \frac{1}{4}}} = \frac{{0 - 1}}{{0 - \frac{1}{4}}} = 4\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Biến đổi tử số: 2²ⁿ⁺¹ = 2¹ ∙ (2²)ⁿ = 2 ∙ 4ⁿ.

Dãy số trở thành: \(\frac{{2 \cdot {4^n} + {3^n}}}{{{4^n} + 5}}\).

Chia cả tử và mẫu cho 4ⁿ, ta được:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{2 \cdot {4^n} + {3^n}}}{{{4^n} + 5}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{2 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{1 + 5 \cdot {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}} = \frac{2}{1} = 2\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Biến đổi tử số: 7ⁿ⁺¹ = 7 ∙ 7ⁿ, do đó biểu thức trở thành 5 ⁿ - 7a ∙ 7 ⁿ.

Chia cả tử và mẫu cho 7ⁿ, ta được: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{{{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n} - 7a}}{{2 + {{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n}}}\) = \( - \frac{{7a}}{2}\).

Theo giả thiết: \( - \frac{{7a}}{2}\) = -14 ⇒ 7a = 28 ⇒ a = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Biến đổi tử số: 2ⁿ⁺² = 4 ∙ 2ⁿ.

Biến đổi mẫu số: 3^n-1 = \(\frac{1}{3}\) ∙ 3ⁿ.

Chia cả tử và mẫu cho 3ⁿ, ta được:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\[\frac{{8 + 4 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{\frac{a}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}} = \frac{8}{{\left( {\frac{a}{3}} \right)}} = \frac{{24}}{a}\] = 6 ⇒ a = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Biến đổi mẫu số: 3²ⁿ = (3²)ⁿ = 9ⁿ.

Biểu thức trở thành: \(\frac{{a \cdot {9^n} + b \cdot {5^n}}}{{{9^n} + {4^n}}}\)

Chia cả tử và mẫu cho 9ⁿ, ta được: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{a + b \cdot {{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^n}}} = \frac{a}{1} = a\).

Theo giả thiết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{a \cdot {9^n} + b \cdot {5^n}}}{{{3^{2n}} + {4^n}}} = 7\) ⇒ a = 7.

Ta lại có a – b = 2 ⇒ b = 5.

Vậy a + b = 7 + 5 = 12.