Đề kiểm tra Giới hạn của dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
\(\lim \frac{1}{{2n + 7}}\) bằng
\(\frac{1}{7}\).
\( + \infty \).
\(\frac{1}{2}\).
\(0\).
Chọn D
Ta có: \(\lim \frac{1}{{2n + 7}}\)\( = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{2 + \frac{7}{n}}} = 0\).
Tìm \(I = \lim \frac{{7{n^2} - 2{n^3} + 1}}{{3{n^3} + 2{n^2} + 1}}.\)
\(\frac{7}{3}\).
\( - \frac{2}{3}\).
\(0\).
\(1\).
Chọn B
Ta có \(I = \lim \frac{{7{n^2} - 2{n^3} + 1}}{{3{n^3} + 2{n^2} + 1}} = \lim \frac{{\frac{7}{n} - 2 + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}} = - \frac{2}{3}.\)
Tính giới hạn \(L = \lim \frac{{2n + 1}}{{2 + n - {n^2}}}\)?
\[L = - \infty \].
\[L = - 2\].
\[L = 1\].
\[L = 0\].
Chọn D
Ta có: \(L = \lim \frac{{2n + 1}}{{2 + n - {n^2}}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1}} = 0\).
Dãy số nào sau đây có giới hạn khác \[0\]?
\[\frac{1}{n}\].
\[\frac{1}{{\sqrt n }}\].
\[\frac{{n + 1}}{n}\].
\[\frac{{\sin \,n}}{{\sqrt n }}\].
Chọn C
Có \[\lim \,\frac{{n + 1}}{n} = \lim \,1 + \lim \,\frac{1}{n} = 1\].
\(\lim \frac{{2{n^4} - 2n + 2}}{{4{n^4} + 2n + 5}}\) bằng
\(\frac{2}{{11}}\).
\(\frac{1}{2}\).
\( + \infty \).
\(0\).
Ta có \(\lim \frac{{2{n^4} - 2n + 2}}{{4{n^4} + 2n + 5}} = \lim \frac{{2 - \frac{2}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{4 + \frac{2}{{{n^3}}} + \frac{5}{{{n^4}}}}} = \frac{1}{2}\).
Giá trị của \(\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{1 - 2{n^2}}}\) bằng
\[ - 3\].
\[2\].
\[ - 1\].
\[0\].
Chọn C
\(\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{1 - 2{n^2}}} = \lim \frac{{2 - \frac{3}{{{n^2}}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}} - 2}} = - 1\).
Giá trị \(A = \lim \frac{{{n^2} + n}}{{12{n^2} + 1}}\) bằng
\(\frac{1}{{12}}\).
\(0\).
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{1}{{24}}\).
Chọn A
\(A = \lim \frac{{{n^2} + n}}{{12{n^2} + 1}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{12 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{{12}}\).
Vậy \(A = \frac{1}{{12}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{} \frac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2} - 2}}\) bằng:
\(3\).
\(0\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - \frac{1}{2}\).
Chọn A
\(\mathop {\lim }\limits_{} \frac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{} \frac{{3 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 - \frac{2}{{{n^2}}}}} = 3\)
Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng \(0\)
\(\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\).
\(\lim {\left( {\frac{5}{3}} \right)^n}\).
\(\lim {\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}\).
\(\lim {\left( 2 \right)^n}\).
Chọn A
\(\lim {q^n} = 0\,\,\,(\left| q \right| < 1)\).
Tính \(\lim \frac{{{2^n} + 1}}{{{{2.2}^n} + 3}}\).
2.
0.
1.
\(\frac{1}{2}\).
Chọn D
Ta có: \(\lim \frac{{{2^n} + 1}}{{{{2.2}^n} + 3}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{2 + 3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = \frac{{1 + 0}}{{2 + 0}} = \frac{1}{2}\)
Tính giới hạn \(T = \lim \left( {\sqrt {{{16}^{n + 1}} + {4^n}} - \sqrt {{{16}^{n + 1}} + {3^n}} } \right)\).
\(T = 0\).
\(T = \frac{1}{4}\).
\(T = \frac{1}{8}\).
\(T = \frac{1}{{16}}\).
Chọn C
Ta có \(T = \lim \left( {\sqrt {{{16}^{n + 1}} + {4^n}} - \sqrt {{{16}^{n + 1}} + 3} } \right)\)\( = \lim \frac{{{4^n} - {3^n}}}{{\sqrt {{{16}^{n + 1}} + {4^n}} + \sqrt {{{16}^{n + 1}} + {3^n}} }}\)
\( = \lim \frac{{{4^n} - {3^n}}}{{\sqrt {{{16.16}^n} + {4^n}} + \sqrt {{{16.16}^n} + {3^n}} }}\)\( = \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{\sqrt {16 + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} + \sqrt {16 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}} }}\)\( = \frac{1}{{4 + 4}}\)\( = \frac{1}{8}\).
Tính giá trị của \(\lim \frac{{\cos n + \sin n}}{{{n^2} + 1}}.\)
\(1.\)
\(0.\)
\( + \infty .\)
\( - \infty .\)
Ta có \(0 < \left| {\frac{{\cos n + \sin n}}{{{n^2} + 1}}} \right| \le \frac{{\left| {\cos n} \right| + \left| {\sin n} \right|}}{{{n^2} + 1}} < \frac{2}{{{n^2} + 1}}\) và \(\lim \frac{2}{{{n^2} + 1}} = 0\).
Suy ra \(\lim \frac{{\cos n + \sin n}}{{{n^2} + 1}} = 0.\)
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Các mệnh đề sau đúng/sai?
a) Nếu \(\lim {u_n} = + \infty \) và \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = a > 0\) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = + \infty \).
b) Nếu \(\lim {u_n} = a \ne 0\) và \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = \pm \infty \) thì \(\lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = 0\).
c) Nếu \(\lim {u_n} = a > 0\) và \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = 0\) thì \(\lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = + \infty \).
d) Nếu \(\lim {u_n} = a < 0\) và \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = 0\) và \({v_n} > 0\) với mọi \(n\) thì \(\lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = - \infty \).
a) Sai | b) Sai | c) Dúng | d) Sai |
Chọn C
Nếu \(\lim {u_n} = a > 0\) và \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = 0\) thì limunvn=+∞ là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của \({v_n}\) là dương hay âm.
Biết giới hạn \(\lim \frac{{5{n^3} - 2n + 1}}{{n - 2{n^3}}} = a\). Khi đó:
a) Giá trị \(a\) nhỏ hơn 0.
b) \(x = a\) là trục đối xứng của parabol \((P):y = {x^2} + 5x + 2\)
c) Phương trình lượng giác \(\sin x = a\) vô nghiệm
d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = 3\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = 6\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có: \(\lim \frac{{5{n^3} - 2n + 1}}{{n - 2{n^3}}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {5 - \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} - 2} \right)}} = \lim \frac{{5 - \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}} - 2}} = - \frac{5}{2}\).
b) parabol \((P):y = {x^2} + 5x + 2\) nhận \(x = - \frac{5}{2}\) làm trục đối xứng
c) Phương trình lượng giác \(\sin x = - \frac{5}{2}\) vô nghiệm
d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = 3\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = {u_1} + \left( {3 - 1} \right)d = - \frac{5}{2} + 2.3 = \frac{7}{2}\)
Biết giới hạn \(\lim \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^3} - 3n + 3}} = a\) và \(\lim \frac{{n\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {4{n^4} - {n^2} + 3} }} = b\). Khi đó:
a) Giá trị \(a\) nhỏ hơn 0.
b) Giá trị \(b\) lớn hơn 0.
c) Phương trình lượng giác \(\cos x = a\) có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2}\)
d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = b\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = \frac{3}{2}\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có: \(\lim \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^3} - 3n + 3}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {\frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {3 - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^3}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{3 - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{3} = 0\).
b) Ta có: \(\lim \frac{{n\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {4{n^4} - {n^2} + 3} }} = \lim \frac{{{n^2}\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{{n^2}\sqrt {4 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^4}}}} }} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{\sqrt {4 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^4}}}} }} = \frac{1}{2}\).
c) Phương trình lượng giác \(\cos x = 0\) có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2}\)
d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = 0\), thì \({u_3} = 0 + 2.\frac{1}{2} = 1\)
Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:\(0,212121 \ldots = \frac{a}{b}\); \(4,333 \ldots = \frac{c}{d}\). Khi đó:
a) \(a + b = 40\)
b) Ba số \(a;b;58\) tạo thành một cấp số cộng
c) \(c + d = 15\)
d) \(\lim c = 13\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \(0,212121 \ldots = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + \ldots \)
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,21 và công bội \(\frac{1}{{100}}\).
Vì vậy \(0,212121 \ldots = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + \ldots = \frac{{0,21}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{7}{{33}}\).
Ta có: \(0,333 \ldots = 0,3 + 0,03 + 0,003 + \ldots \)
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 0,3 và công bội là \(\frac{1}{{10}}\).
Vì vậy \(4,333 \ldots = 4 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + \ldots = 4 + \frac{{0,3}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{13}}{3}\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \(\lim n{u_n} = 3\). Tìm giới hạn \(\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}}\).
\(\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}} = \lim \left( {\frac{{2n + 3}}{n} \cdot \frac{1}{{n{u_n}}}} \right) = \lim \frac{{2n + 3}}{n} \cdot \lim \frac{1}{{n{u_n}}}\)
\( = \lim \left( {2 + \frac{3}{n}} \right) \cdot \frac{1}{{\lim n{u_n}}} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}{\rm{. }}\)
Tính limn→+∞n2−n−n2+1
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n} - \sqrt {{n^2} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - n - 1}}{{\sqrt {{n^2} - n} + \sqrt {{n^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - 1 - \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 - \frac{1}{n}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = - \frac{1}{2}\)
Tính tổng S=−1+15−152+⋯+(−1)n15n−1+⋯
Ta thấy \(S\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 1\) và \(q = - \frac{1}{5}\).
Do đó \(S = \frac{{ - 1}}{{1 + \frac{1}{5}}} = - \frac{5}{6}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{\cos n}}{{{n^2}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\).
Ta có \(\left| {{u_n}} \right| = \frac{{|\cos n|}}{{{n^2}}} \le \frac{1}{{{n^2}}}\). Do \(\frac{1}{{{n^2}}} \to 0\) khi \(n \to + \infty \) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\).
Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(12) = 2,121212... thành phân số.
Ta có: 2,(12) = 2+0,(12);
\(\begin{array}{*{20}{l}}{0,(12)}&{ = 0,12121212 \ldots = 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + 0,00000012 \ldots }\\{}&{ = 0,12 + 0,12 \cdot \frac{1}{{100}} + 0,12 \cdot \frac{1}{{{{100}^2}}} + 0,12 \cdot \frac{1}{{{{100}^3}}} + 0,12 \cdot \frac{1}{{{{100}^4}}} \ldots }\end{array}\)
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng 0,12 và công bội bằng \(\frac{1}{{100}}\). Tổng này bằng \(0,12 \cdot \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{12}}{{99}} = \frac{4}{{33}}\).
Vậy \(2,(12) = 2 + \frac{4}{{33}} = \frac{{70}}{{33}}\).
Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc \(150mg\). Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn \(5\% \). Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là \(150mg\).
Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn \(5\% \).
Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là
\(150 + 150 \cdot 5\% = 150(1 + 0,05)\)
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là
\(150 + 150(1 + 0,05) \cdot 5\% = 150 + 150\left( {0,05 + 0,{{05}^2}} \right) = 150\left( {1 + 0,05 + 0,{{05}^2}} \right)\)
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là
\(150 + 150\left( {1 + 0,05 + 0,{{05}^2}} \right) \cdot 5\% = 150\left( {1 + 0,05 + 0,{{05}^2} + 0,{{05}^3}} \right)\)
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là
\(\begin{array}{l}150 + 150\left( {1 + 0,05 + 0,{{05}^2} + 0,{{05}^3}} \right) \cdot 5\% = 150\left( {1 + 0,05 + 0,{{05}^2} + 0,{{05}^3} + 0,{{05}^4}} \right)\\ = 157,8946875(mg).\end{array}\)
Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là
\(S = 150\left( {1 + 0,05 + 0,{{05}^2} + 0,{{05}^3} + 0,{{05}^4} + \ldots } \right)\)
Lại có \(1 + 0,05 + 0,{05^2} + 0,{05^3} + 0,{05^4} + \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = 0,05\).
Do đó, \(1 + 0,05 + 0,{05^2} + 0,{05^3} + 0,{05^4} + \ldots = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - 0,05}} = \frac{{20}}{{19}}\).
Suy ra \(S = 150 \cdot \frac{{20}}{{19}} = \frac{{400}}{{361}}\).
