Bài tập Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

+) TH1: a = 0

Với a = 0 thì $u_n=\frac{4n^2+n+2}{5}$

$\lim u_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4n^2+n+2}{5}=+\infty$ (loại)

+) TH2: $a\ne 0$

Với $a\ne 0$  , ta có:

$\lim u_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4n^2+n+2}{a{n}^2+5}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{a+\frac{5}{n^2}}=\frac{4}{a}=2$.

Do đó a = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Chia cả tử và mẫu cho n, ta được: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{2}{1} = 2\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Bậc của tử (bậc 2) nhỏ hơn bậc của mẫu (bậc 3).

Chia cả tử và mẫu cho n³, ta được: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{3 - \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{3} = 0\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có tử số: n(2n + 1) = 2n² + n.

Chia cả tử và mẫu cho n², ta được: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{1 + \frac{5}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{1} = 2\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Chia cả tử và mẫu cho n, ta được: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 + \frac{{2 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}}}{{1 + \frac{1}{n}}}\).

Vì dãy số (-1)ⁿ bị chặn và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\)⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{( - 1)}^n}}}{n} = 0\).

Kết hợp với \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\)ở mẫu ⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n + 2 \cdot {{( - 1)}^n}}}{{n + 1}}\)=\(\frac{3}{1} = 3\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tổng trên tử là cấp số cộng: 1 + 2 + ... + n = \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {{n^2} + n} \right)}}{2}\).

⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n}}{{2\left( {2{n^2} + 3n} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n}}{{4{n^2} + 6n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{4 + 6 \cdot \frac{1}{n}}} = \frac{1}{4}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Chia cho lũy thừa cao nhất của n trong biểu thức.

b) Đúng. Tử và mẫu đều có bậc cao nhất là 2.

c) Sai. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 3\).

d) Đúng. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = 3, theo định nghĩa giới hạn hữu hạn, khoảng cách |u_n - 3| sẽ nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Đúng.

Chia tử mẫu cho n², ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{a - \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{b}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{a}{2}\).

a) Đúng. Khi a = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\) = \(\frac{0}{2}\) = 0.

b) Đúng. Nếu a = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\) = \(\frac{2}{2}\) = 1.

c) Sai. Giới hạn chỉ bằng \(\frac{a}{2}\), hoàn toàn không phụ thuộc vào giá trị của b.

d) Đúng. Để \(\frac{a}{2}\) = 2 thì suy ra a = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Đúng.               d) Đúng.

a) Đúng. Chia cả tử và mẫu của u_n cho n², ta được \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 - \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{2}\).

b) Đúng. Chia cả tử và mẫu của v_n cho n², ta được \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} - 3}}{{1 + \frac{1}{n}}} = - \frac{3}{1} = - 3\).

c) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n + v_n) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = \(\frac{1}{2}\) + (-3) = \( - \frac{5}{2}\).

d) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) = \(\frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n}}}\) = \(\frac{1}{2}:\left( { - 3} \right) = - \frac{1}{6}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Khi k = 1, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{{3n}}{{{n^2} + 1}} = 0\).

b) Đúng. Khi k = 2, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{{{n^2} + 2n}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{1 + \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 1\).

c) Sai. Khi k = 3, \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^3} + 2n}}{{{n^2} + 1}}\] = \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^3} \cdot \left( {1 + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\] = +∞.

d) Sai.

Trường hợp 1: k = 1 (Bậc tử nhỏ hơn Bậc mẫu) Như câu a đã tính: lim u_n = 0 ≠ 2.

Trường hợp 2: k = 2 (Bậc tử bằng Bậc mẫu) Như câu b đã tính: lim u_n = 1 ≠ 2.

Trường hợp 3: k ≥ 3 (Bậc tử lớn hơn Bậc mẫu), ta có:

u_n = \(\frac{{{n^k} + 2n}}{{{n^2} + 1}}\) = \(\frac{{{n^k} \cdot \left( {1 + \frac{2}{{{n^{k - 1}}}}} \right)}}{{{n^2} \cdot \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = {n^{k - 2}} \cdot \frac{{1 + \frac{2}{{{n^{k - 1}}}}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}\).

Khi n → +∞:

Vì k ≥ 3 nên k – 2 ≥ 1, do đó lim n^k-2 = +∞ ⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = +∞.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{1 + \frac{1}{n}}} = 2\).

b) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{n}}}{{a - \frac{1}{n}}} = \frac{1}{a}\).

c) Sai. Theo quy tắc giới hạn tích: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n ∙ v_n) = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n ∙ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = \(2 \cdot \frac{1}{a} = \frac{2}{a}\).

Vì \(\frac{2}{a}\) = 1 nên a = 2.

d) Đúng. Khi a = 2, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)v_n = \(\frac{1}{2}\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)(u_n + v_n) = \(2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{2{n^2} + 1}}{{n - 1}} - \frac{{2{n^2} - 3}}{{n + 2}}} \right)\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{{\left( {2{n^2} + 1} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {2{n^2} - 3} \right)\left( {n - 1} \right)}}{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right]\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{{\left( {2{n^3} + 4{n^2} + n + 2} \right) - \left( {2{n^3} - 2{n^2} - 3n + 3} \right)}}{{{n^2} + n - 2}}} \right]\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{6{n^2} + 4n - 1}}{{{n^2} + n - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{6 + \frac{4}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}} = 6\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 72

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {3n - 1} \right)}^2} \cdot {{\left( {2n + 5} \right)}^3}}}{{n{{\left( {n - 2} \right)}^4}}}\] = \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left[ {n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)} \right]}^2} \cdot {{\left[ {n\left( {2 + \frac{5}{n}} \right)} \right]}^3}}}{{n \cdot {{\left[ {n\left( {1 - \frac{2}{n}} \right)} \right]}^4}}}\]

= \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}^2} \cdot {n^3}{{\left( {2 + \frac{5}{n}} \right)}^3}}}{{n \cdot {n^4}{{\left( {1 - \frac{2}{n}} \right)}^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^5}{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}^2}{{\left( {2 + \frac{5}{n}} \right)}^3}}}{{{n^5}{{\left( {1 - \frac{2}{n}} \right)}^4}}}\]

=\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}^2}{{\left( {2 + \frac{5}{n}} \right)}^3}}}{{{{\left( {1 - \frac{2}{n}} \right)}^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {3 - 0} \right)}^2} \cdot {{\left( {2 + 0} \right)}^3}}}{{{{\left( {1 - 0} \right)}^4}}}\] = 72.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Sử dụng công thức tổng các bình phương:

1² + 2² + … + n² = \(\frac{{n\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {2n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)}}{6} = \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6}\).

⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6}} \right)}}{{{n^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{{6{n^3}}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Do \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3}\) tối giản nên a = 1, b = 3. Suy ra b - a = 3 - 1 = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: –1

\(\frac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{\left( {n + 2} \right)}} - \left( {an + b} \right)\) \( = \frac{{4{n^2} + 3n + 1 - \left( {an + b} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{n + 2}}\)

\[ = \frac{{4{n^2} + 3n + 1 - a{n^2} - 2an - bn - 2b}}{{n + 2}}\] \( = \frac{{\left( {4 - a} \right){n^2} + \left( {3 - 2a - b} \right)n + 1 - 2b}}{{n + 2}}\)

Để \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{\left( {n + 2} \right)}} - \left( {an + b} \right)} \right] = 0\) thì bậc của tử số phải nhỏ hơn bậc của mẫu số (mẫu số bậc 1). Do đó hệ số của n² và n trên tử phải bằng 0.

Suy ra 4 – a = 0 (tức là a = 4) và 3 – 2a – b = 0.

Thay a = 4 vào phương trình thứ hai ta được: 3 – 8 – b = 0, suy ra b = –5.

Vậy a + b = 4 + (–5) = –1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Để giới hạn của dãy số phân thức là một số thực hữu hạn khác 0 (bằng 3) thì bậc của đa thức tử số không được lớn hơn bậc của đa thức mẫu số.

Do mẫu số có bậc lớn nhất là 1, nên tử số cũng phải có bậc lớn nhất không vượt quá 1.

⇒ Bắt buộc hệ số a = 0.

Khi a = 0, giới hạn trở thành \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{bn + 5}}{{2n + 1}} = \frac{b}{2}\).

Theo giả thiết, \(\frac{b}{2}\) = 3 ⇒ b = 6.

Vậy a + b = 0 + 6 = 6.