22 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15. Giới hạn của dãy số có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Chọn khẳng định đúng?
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\] nếu \[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right|\]có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]nếu \[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right|\]có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]nếu un có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
A
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 0}}\]nếu \[\left| {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right|\]có thể nhỏ hơn môt số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}{v_n}} \right) = + \infty \).
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \pm \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = 0\).
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = + \infty \).
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a < 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0\) và vn > 0 với mọi n thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = - \infty \).
C
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = + \infty \) sai vì chưa rõ dấu của vn là dương hay âm.
Phát biểu nào sau đây là sai?
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = c\](un = c là hằng số).
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\] (|q| > 1).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\left( {k > 1} \right)\).
B
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\) (|q| < 1).
Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{\rm{n + 2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 3n}} - 1}}\] bằng:
2.
1.
\[\frac{2}{3}\].
0.
D
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{\rm{n + 2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 3n}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}} + \frac{{\rm{2}}}{{\rm{n}}}}}{{1 + \frac{{\rm{3}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}} - \frac{1}{{{{\rm{n}}^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0\].
Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{5}}^{{\rm{n + 1}}}}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{5}}^{\rm{n}}}}}\] bằng:
−15.
−10.
10.
15.
B
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{5}}^{{\rm{n + 1}}}}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ + }}{{\rm{5}}^{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}} - {\rm{10}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{5}}}} \right)}^{\rm{n}}}{\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{10}}}}{{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{10}}\].
Kết quả của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {{\rm{2n + 3}}} }}{{\sqrt {{\rm{2n}}} {\rm{ + 5}}}}\] bằng:
\[\frac{5}{2}\].
\[\frac{5}{7}\].
\( + \infty \).
1.
D
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {{\rm{2n + 3}}} }}{{\sqrt {{\rm{2n}}} {\rm{ + 5}}}}{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {{\rm{2 + }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{n}}}} }}{{\sqrt {\rm{2}} {\rm{ + }}\frac{{\rm{5}}}{{\sqrt {\rm{n}} }}}}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\sqrt {\rm{2}} }}{\rm{ = 1}}\].
Tính giới hạn \[{\rm{L}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{\rm{3}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5n}} - 3} \right)\]
3.
\[ - \infty \].
5.
\( + \infty \).
D
\[{\rm{L = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\rm{(3}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5n}} - 3) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{3 + }}\frac{{\rm{5}}}{{\rm{n}}} - \frac{3}{{{{\rm{n}}^2}}}} \right)\]
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\rm{n}}^{\rm{2}}} = + \infty }\\{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{\rm{3 + }}\frac{{\rm{5}}}{{\rm{n}}} - \frac{3}{{{{\rm{n}}^2}}}} \right) = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\rm{(3}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5n}} - 3) = + \infty \).
Giá trị của giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{\rm{n}} + 5} - \sqrt {{\rm{n}} + 1} } \right)\] bằng
0.
1.
3.
5
A
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{\rm{n + }}5} - \sqrt {{\rm{n + 1}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{\rm{n}} + 5 - {\rm{n}} - 1}}{{\sqrt {{\rm{n + 5}}} {\rm{ + }}\sqrt {{\rm{n + 1}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{4}{{\sqrt {{\rm{n}} + 5} + \sqrt {{\rm{n}} + 1} }} = 0\].
Giá trị của giới hạn \[{\rm{S}} = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{49}} + ... + \frac{2}{{{7^{\rm{n}}}}} + ...\] là:
\[\frac{7}{2}\].
\[\frac{7}{3}\].
\[\frac{7}{4}\].
\[\frac{7}{5}\].
B
Đây là một cấp số nhân lùi vô hạn có \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 2, q}} = \frac{1}{7}\]
Do đó \[{\rm{S}} = \frac{{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}}}{{1 - {\rm{q}}}} = \frac{7}{3}\].
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,15555… = 3,1(5) viết dưới dạng hữu tỉ là
\[\frac{{63}}{{20}}\].
\[\frac{{142}}{{45}}\].
\[\frac{1}{{18}}\].
\[\frac{7}{2}\].
B
Có \(3,15555... = 3,1\left( 5 \right) = 3,1 + 5\left( {\frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^3}}} + ...} \right) = 3,1 + 5.\frac{{\frac{1}{{{{10}^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{142}}{{45}}\).
Bạn An thả một quả bóng cao su từ độ cao 9 m so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng nảy lên độ cao bằng \[\frac{2}{3}\] độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường bóng đã di chuyển (từ lúc bắt đầu thả đến lúc bóng không di chuyển nữa) gần nhất với kết quả nào sau đây?
27.
46,5.
45.
42.
C
Ta coi độ cao nảy lên lần thứ nhất là \[{{\rm{u}}_1} \Rightarrow {{\rm{u}}_1} = 9.\frac{2}{3} = 6\]
\[ \Rightarrow {{\rm{u}}_2} = \frac{2}{3}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}} = \frac{2}{3}{{\rm{u}}_2};....\]
⇒ Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với \[{\rm{q}} = \frac{2}{3},{{\rm{u}}_1} = 6\]
Vì mỗi quả bóng sau khi nảy lên lại tiếp tục rơi xuống nên tổng quãng đường bóng di chuyển là: \[{\rm{S = 9 + 2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2}}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + 2}}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ + }}...\]\( = 9 + 2.\frac{6}{{1 - \frac{2}{3}}} = 45\).
Cho dãy số (un) với \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{an + 4}}}}{{{\rm{5n + 3}}}}\] trong đó a là tham số thực. Để dãy số có giới hạn bằng 2, giá trị của a là
10.
8.
6.
4.
A
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{\rm{an + 4}}}}{{{\rm{5n + 3}}}}{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{\rm{a + }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{n}}}}}{{{\rm{5 + }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{a}}}{{\rm{5}}}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\rm{u}}_{\rm{n}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{\rm{a}}}{{\rm{5}}} = 2 \Leftrightarrow {\rm{a}} = 10\].
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 4.3n – 7n + 1 ; vn = 7n.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = 0\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty \).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} - {v_n}}}{{3{u_n} + 2{v_n}}} = \frac{8}{{19}}\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{1}{7}} \right)^n} = 0\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {7^n} = + \infty \).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} - {v_n}}}{{3{u_n} + 2{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{4.3}^n} - {{8.7}^n}}}{{{{12.3}^n} - {{19.7}^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 8}}{{12.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 19}} = \frac{8}{{19}}\).
d) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{{4.3}^n} - {7^{n + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {7^n}\left[ {4.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 7} \right]\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {7^n} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {4.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n} - 7} \right] = - 7 < 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Biết giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^3} - 3n + 3}} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {4{n^4} - {n^2} + 3} }} = b\). Khi đó:
a) Giá trị \(a\) nhỏ hơn 0.
b) Giá trị \(b\) lớn hơn 0.
c) Phương trình lượng giác \(\cos x = a\) có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2}\).
d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = b\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = \frac{3}{2}\).
a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^3} - 3n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^3}\left( {\frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {3 - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^3}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{3 - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{3} = 0\).
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {4{n^4} - {n^2} + 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{{n^2}\sqrt {4 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^4}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{\sqrt {4 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^4}}}} }} = \frac{1}{2}\).
c) Phương trình lượng giác \(\cos x = 0\) có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2}\).
d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = 0\), thì \({u_3} = 0 + 2.\frac{1}{2} = 1\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho dãy số (un) với u1 = 2; un + 1 = \({u_n} + \frac{2}{{{3^n}}}\), n ³ 1. Đặt vn = un + 1 – un.
a) \({u_2} = \frac{{20}}{9}\).
b) \({v_2} = \frac{2}{9}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 2\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 3\).
a) \({u_2} = {u_1} + \frac{2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\).
b) Có vn = un + 1 – un \( \Rightarrow {v_n} = \frac{2}{{{3^n}}} \Rightarrow {v_2} = \frac{2}{{{3^2}}} = \frac{2}{9}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{2}{{{3^n}}} = 0\).
d) Có \({v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = \frac{2}{3}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = 1 - \frac{3}{{{3^n}}},\forall n \ge 2\).
Mặt khác v1 + v2 + … + vn – 1 = un – 2, ∀n ³ 2.
Nên \({u_n} = 3 - \frac{3}{{{3^n}}}\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {3 - \frac{3}{{{3^n}}}} \right) = 3\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho các dãy số (un), (vn) với \({u_n} = \sqrt {4{n^2} + 5n + 1} \) và vn = 2n + 1.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - \infty \)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 0\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \frac{1}{4}\).
a) Ta có vn = 2n + 1 \( = n\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 + \frac{1}{n}} \right) = 2\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2n + 1} \right) = + \infty \).
b) Ta có \({u_n} = \sqrt {4{n^2} + 5n + 1} = n\sqrt {4 + \frac{5}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {4 + \frac{5}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {4{n^2} + 5n + 1} = + \infty \).
c) Có \({u_n} + {v_n} = \sqrt {4{n^2} + 5n + 1} + 2n + 1 = n\left( {\sqrt {4 + \frac{5}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 2 + \frac{1}{n}} \right)\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {4 + \frac{5}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 2 + \frac{1}{n}} \right) = 4\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = + \infty \).
d) Có \({u_n} - {v_n} = \sqrt {4{n^2} + 5n + 1} - \left( {2n + 1} \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt {4{n^2} + 5n + 1} } \right)}^2} - {{\left( {2n + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 1} + \left( {2n + 1} \right)}} = \frac{n}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 1} + \left( {2n + 1} \right)}}\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{n}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 1} + \left( {2n + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {4 + \frac{5}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + \left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}} = \frac{1}{4}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hai dãy số (un) và (vn) có un = 4n2 – n + 3; vn = 3n2 + 7.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{4}{3}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{{\left( {{v_n}} \right)}^2}}} = \frac{4}{9}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {{u_n}} \right)}^2}}}{{{v_n}}} = \frac{{16}}{3}\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} + a{n^2} + 7}}{{{v_n}}} = 8\) khi đó a = 20.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4{n^2} - n + 3}}{{3{n^2} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left( {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{4}{3}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{{\left( {{v_n}} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4{n^2} - n + 3}}{{{{\left( {3{n^2} + 7} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left( {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^4}{{\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{{n^2}}}.\frac{{\left( {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}{{{{\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}} \right] = 0\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {{u_n}} \right)}^2}}}{{{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {4{n^2} - n + 3} \right)}^2}}}{{3{n^2} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^4}{{\left( {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}{{{n^2}\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {{n^2}.\frac{{{{\left( {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}{{\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}}} \right] = + \infty \).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n} + a{n^2} + 7}}{{{v_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4{n^2} - n + 3 + a{n^2} + 7}}{{3{n^2} + 7}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {a + 4} \right){n^2} - n + 10}}{{3{n^2} + 7}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left[ {\left( {a + 4} \right) - \frac{1}{n} + \frac{{10}}{{{n^2}}}} \right]}}{{{n^2}\left( {3 + \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {a + 4} \right) - \frac{1}{n} + \frac{{10}}{{{n^2}}}}}{{3 + \frac{7}{{{n^2}}}}} = \frac{{a + 4}}{3}\).
Khi đó \(\frac{{a + 4}}{3} = 8 \Leftrightarrow a = 20\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} - 3\sqrt n + 1}}{{3n\sqrt n + 2n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{a\sqrt n - \frac{3}{n} + \frac{1}{{n\sqrt n }}}}{{b + \frac{2}{{\sqrt n }}}}\) với a; b là các số tự nhiên. Tính P = a + b2.
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} - 3\sqrt n + 1}}{{3n\sqrt n + 2n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\sqrt n \left( {2\sqrt n - \frac{3}{n} + \frac{1}{{n\sqrt n }}} \right)}}{{n\sqrt n \left( {3 + \frac{2}{{\sqrt n }}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2\sqrt n - \frac{3}{n} + \frac{1}{{n\sqrt n }}}}{{3 + \frac{2}{{\sqrt n }}}}\).
Suy ra a = 2; b = 3. Do đó P = 11.
Trả lời: 11.
Tìm giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{{n^2} + 3n}}\).
Ta có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\).
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{{n^2} + 3n}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2\left( {{n^2} + 3n} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}{{2{n^2}\left( {1 + \frac{3}{n}} \right)}} = \frac{1}{2}\).
Trả lời: 0,5.
Tìm tổng \(S = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} - ... + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{3^n}}} + ...\).
Ta nhận thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{3}\), công bội \(q = - \frac{1}{3}\)
Vì vậy \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{1 + \frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{4} = \frac{1}{4} = 0,25\).
Trả lời: 0,25.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,511111... viết dạng phân số có dạng \(\frac{a}{b}\) với a; b là các số tự nhiên và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(\left| {b - 2a} \right|\).
Ta có 0,511111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ...
Xét tổng 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ....
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là u1 = 0,01 và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\).
Vì vậy 0,511111... = 0,5 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... = \(0,5 + \frac{{0,01}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{23}}{{45}}\).
Suy ra \(a = 23;b = 45\). Khi đó |b – 2a| = 1.
Trả lời: 1.
Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng 1. Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông ABCD, ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông thứ hai, ta được hình vuông thứ ba. Tiếp tục như thế ta nhận được một dãy các hình vuông. Tìm tổng chu vi của dãy các hình vuông đó (kết quả làm tròn hàng phần mười).
Nếu cạnh hình vuông ban đầu là x thì theo định lí Pythagore, ta có cạnh hình vuông thứ hai là \(\sqrt {{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}\) (*).
Gọi cạnh hình vuông ABCD là u1 = 1, từ (*) ta có cạnh hình vuông thứ hai là \({u_2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), cạnh hình vuông thứ ba là \({u_3} = \frac{1}{2}\), cạnh hình vuông thứ tư là \({u_4} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\), …
Xét tổng chu vi dãy các hình vuông là
S =4u1 + 4u2 + 4u3 + … = \(4\left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{4} + ....} \right)\).
Ta thấy \(1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{4} + ....\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 1, công bội bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(S = 4.\frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 4.\frac{1}{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 8 + 4\sqrt 2 \approx 13,7\).
Trả lời: 13,7.
