Đề kiểm tra Giới hạn của dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn \(P = 2,13131313...\),
\(P = \frac{{212}}{{99}}\)
\(P = \frac{{213}}{{100}}\).
\(P = \frac{{211}}{{100}}\).
\(P = \frac{{211}}{{99}}\).
Chọn D
Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài
Cho các dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\,\,\left( {{v_n}} \right)\) và \(\lim {u_n} = a,\,\,\lim {v_n} = + \infty \) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) bằng
\(1\).
\(0\).
\( - \infty \).
\( + \infty \).
Chọn B
Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) và \(\lim {u_n} = a,\,\,\lim {v_n} = + \infty \) trong đó \(a\) hữu hạn thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa \(\left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\). Khi đó
\(\lim {u_n}\) không tồn tại.
\(\lim {u_n} = 1\).
\(\lim {u_n} = 0\).
\(\lim {u_n} = 2\).
Chọn D
Ta có: \(\left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}\)\( \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = \lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\) \( \Rightarrow \lim {u_n} - 2 = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 2\).
Phát biểu nào sau đây là sai?
\(\lim {u_n} = c\) (\({u_n} = c\)là hằng số).
\(\lim {q^n} = 0\)\(\left( {\left| q \right| > 1} \right)\).
\(\lim \frac{1}{n} = 0\).
\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\)\(\left( {k > 1} \right)\).
Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì \(\lim {q^n} = 0\)\(\left( {\left| q \right| < 1} \right)\).
Tính \[L = \lim \frac{{n - 1}}{{{n^3} + 3}}\].
\[L = 1.\]
\[L = 0.\]
\[L = 3.\]
\[L = 2.\]
Chọn B
Ta có \[\lim \frac{{n - 1}}{{{n^3} + 3}} = \lim \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{1 + \frac{3}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0\].
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng \(0\)?
\({u_n} = \frac{{{n^2} - 2}}{{5n + 3{n^2}}}\).
\({u_n} = \frac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 3{n^2}}}\).
\({u_n} = \frac{{1 - 2n}}{{5n + 3{n^2}}}\).
\({u_n} = \frac{{1 - 2{n^2}}}{{5n + 3{n^2}}}\).
ChọnC
Ø Xét đáp án A. \(\lim \frac{{{n^2} - 2}}{{5n + 3{n^2}}} = \lim \frac{{1 - \frac{2}{{{n^2}}}}}{{\frac{5}{n} + 3}} = \frac{1}{3}\).
Ø Xét đáp án B. \(\lim \frac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 3{n^2}}} = \lim \frac{{1 - \frac{2}{n}}}{{\frac{5}{n} + 3}} = \frac{1}{3}\)
Ø Xét đáp án C. \(\lim \frac{{1 - 2n}}{{5n + 3{n^2}}} = \lim \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{2}{n}}}{{\frac{5}{n} + 3}} = 0\).
Ø Xét đáp án D. \(\lim \frac{{1 - 2{n^2}}}{{5n + 3{n^2}}} = \lim \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} - 2}}{{\frac{5}{n} + 3}} = - \frac{2}{3}\).
Tính \(I = \lim \frac{{2n - 3}}{{2{n^2} + 3n + 1}}\)
\(I = - \infty \).
\(I = 0\).
\(I = + \infty \).
\(I = 1\).
\(I = \lim \frac{{2n - 3}}{{2{n^2} + 3n + 1}}\)\( = \lim \frac{{{n^2}\left( {\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\)\( = \lim \frac{{\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}\)\( = 0\).
Giá trị của \[\lim \frac{{2 - n}}{{n + 1}}\] bằng
\[1\].
\[2\].
\[ - 1\].
\[0\].
Ta có: \[\lim \frac{{2 - n}}{{n + 1}}\]\[ = \lim \frac{{\frac{2}{n} - 1}}{{1 + \frac{1}{n}}}\]\[ = \frac{{0 - 1}}{{1 + 0}}\]\[ = - 1\].
Kết quả của \(\lim \frac{{n - 2}}{{3n + 1}}\) bằng:
\(\frac{1}{3}\).
\( - \frac{1}{3}\).
\( - 2\).
\(1\).
Ta có \(\lim \frac{{n - 2}}{{3n + 1}} = \lim \frac{{n\left( {1 - \frac{2}{n}} \right)}}{{n\left( {3 + \frac{1}{n}} \right)}} = \lim \frac{{1 - \frac{2}{n}}}{{3 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{3}\).
Tính giới hạn \(I = \lim \frac{{10n + 3}}{{3n - 15}}\) ta được kết quả:
\(I = - \frac{{10}}{3}\).
\(I = \frac{{10}}{3}\).
\(I = \frac{3}{{10}}\).
\(I = - \frac{2}{5}\).
Chọn B
Ta có \(I = \lim \frac{{10n + 3}}{{3n - 15}} = \lim \frac{{10 + \frac{3}{n}}}{{3 - \frac{{15}}{n}}} = \frac{{10}}{3}\).
\(\lim \frac{1}{{5n + 3}}\)bằng
\(0\).
\(\frac{1}{3}\).
\( + \infty \).
\(\frac{1}{5}\).
Chọn A
Ta có \(\lim \frac{1}{{5n + 3}} = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{5 + \frac{3}{n}}} = 0\).
Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{3 - n}},n \in {\mathbb{N}^*}\) là:
\[ - 2\].
\[\frac{2}{3}\].
\[1\].
\[ - \frac{1}{3}\].
Chọn D
Ta có \(\lim {u_n} = \lim \frac{{2n - 1}}{{3 - n}} = \lim \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{\frac{3}{n} - 1}} = - \frac{1}{3}\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Các mệnh đề sau đúng/sai?
a) Ta nói dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có giới hạn là số \[a\] (hay \[{u_n}\] dần tới \[a\]) khi \[n \to + \infty \], nếu \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\].
b) Ta nói dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có giới hạn là \[0\]khi \[n\] dần tới vô cực, nếu \[\left| {{u_n}} \right|\] có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
c) Ta nói dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có giới hạn \[ + \infty \] khi \[n \to + \infty \] nếu \[{u_n}\] có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
d) Ta nói dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có giới hạn \[ - \infty \] khi \[n \to + \infty \] nếu \[{u_n}\] có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
Biết giới hạn \(\lim \frac{{2n + 1}}{{ - 3n + 2}} = a\). Khi đó:
a) Giá trị \(a\) lớn hơn 0.
b) Ba số \( - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3}\) tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng \(2\)
c) Trên khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) phương trình lượng giác \(\sin x = a\) có 3 nghiệm
d) Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q = 3\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = - 6\)
a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Ta có: \(\lim \frac{{2n + 1}}{{ - 3n + 2}} = \lim \frac{{n\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( { - 3 + \frac{2}{n}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{ - 3 + \frac{2}{n}}} = \frac{{ - 2}}{3}\)
b) Ba số \( - \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}\) tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1
c) Trên khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) phương trình lượng giác \(\sin x = a\) có 2 nghiệm
d) Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q = 3\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = - 6\)
Tính được các giới hạn sau, khi đó:
a) \(\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\)
b) \(\lim \frac{1}{{{{(\sqrt 2 )}^n}}} = - \infty \)
c) \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\)
d) \(\lim 4 = 0\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) \(\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\,\)\(\left( {{\rm{do}}\,\frac{2}{3} < 1} \right)\)
b) \(\lim \frac{1}{{{{(\sqrt 2 )}^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^n} = 0\,\left( {{\rm{do}}\,\frac{1}{{\sqrt 2 }}\, < 1} \right)\)
c) \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\)
d) \(\lim 4 = 4\)
Tính được các giới hạn sau, khi đó:
a) \(\lim {(\sqrt 3 )^n} = - \infty \)
b) \(\lim {\pi ^n} = 0\)
c) \(\lim \left( {{n^3} + 2{n^2} - 4} \right) = + \infty \)
d) \(\lim \left( { - {n^4} + 5{n^3} - 4n} \right) = - \infty \)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) \(\lim {(\sqrt 3 )^n} = + \infty (\)do \(\sqrt 3 > 1)\)
b) \(\lim {\pi ^n} = + \infty (\) do \(\pi > 1)\)
c) \(\lim \left( {{n^3} + 2{n^2} - 4} \right) = \lim {n^3} \cdot \left( {1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right) = + \infty \).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\lim {n^3} = + \infty }\\{\lim \left( {1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right) = 1 > 0}\end{array}} \right.\)
d) \(\lim \left( { - {n^4} + 5{n^3} - 4n} \right) = \lim {n^4} \cdot \left( { - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right) = - \infty \).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\lim {n^4} = + \infty }\\{\lim \left( { - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right) = - 1 < 0}\end{array}} \right.\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
a) Tính tồng của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = \frac{5}{4},q = - \frac{1}{3}\).
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số.
a) \(\frac{{15}}{{16}}\) b) \(\frac{7}{3}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \(\left| {{u_n} - 2} \right| \le \frac{1}{{{3^n}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{3^n}}} = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - 2} \right) = 0\). Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\).
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^2} + n}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^2} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 + \frac{1}{n}}} = \frac{2}{3}\)
Tính tổng \(S = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{27}} + \cdots + {( - 1)^n}\frac{1}{{{3^n}}} + \cdots \)
Ta thấy \(S\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - \frac{1}{3},q = - \frac{1}{3}\).
Do đó \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{1 + \frac{1}{3}}} = - \frac{1}{4}\)
Cho \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + \cdots + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + \cdots + {b^n}}}\) với \(a,b\) là các số thực thoả mãn \(|a| < 1,|b| < 1\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\).
Ta có \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + \cdots + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + \cdots + {b^n}}} = \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}} \cdot \frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}}\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}\).
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao \(5\;m\) xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ \(n\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao \(5\;m\) xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là \({u_1} = \frac{2}{3} \cdot 5\).
Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao \({u_1}\) xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là \({u_2} = \frac{2}{3}{u_1} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{2}{3} \cdot 5} \right) = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\).
Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao \({u_2}\) xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là \({u_3} = \frac{2}{3}{u_2} = \frac{2}{3} \cdot \left( {5 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} \right) = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3}\) và cứ tiếp tục như vậy.
Sau lần chạm sàn thứ \[n\], quả bóng nảy lên độ cao là \({u_n} = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\), do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\), suy ra điều phải chứng minh.
