Đề kiểm tra Dấu tam thức bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Tam thức bậc hai \(f(x) = 3{x^2} + bx + c\) có \(\Delta  < 0\) và \(a = 3 > 0\) nên \(f\left( x \right) > 0,\;\forall x \in \mathbb{R}\).

Ta có \(\Delta ' =  - 2 < 0,\,\,a = 3 > 0\) suy ra \(3{x^2} - 2x + 1 > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Xét \[\left( {9 - {x^2}} \right)\left( {2x - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm 3\\x = 5\end{array} \right.\].

Bảng xét dấu:

 Dựa vào bảng xét dấu nên BPT có tập nghiệm \[S = \left( { - 3;3} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\].

Xét dấu \(f(x) =  - {x^2} + 2x + 3\)

Vậy \( - {x^2} + 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;3} \right)\)

Ta có đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) nằm phía dưới trục hoành và tiếp xúc với trục hoành \( \Rightarrow f\left( x \right) \le 0\) với \(\forall x\).

Ta có \(\Delta  < 0\) nên biểu thức \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\). Đề biểu thức luôn dương thì \[a > 0\]\( \Rightarrow a = 1\) là giá trị cần tìm.

Phương trình \({x^2} - x + 1 = 0\) vô nghiệm và \(6{x^2} - 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Bảng xét dấu của biểu thức \(f\left( x \right)\)

Từ bảng xét dấu ta có \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{2}} \right)\)

Nên \(3a + 2b = 2\).

\({x^2} - mx + m + 3 > 0\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\{m^2} - 4m - 12 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < m < 6\).

Trường hợp 1. \[m = 4\]: \[f\left( x \right) = 9x + 3 \le 0 \Leftrightarrow x \le  - \frac{1}{3}\] (Loại vì không thỏa mãn với \[\forall x \in \mathbb{R}\]).

Trường hợp 2. \[m \ne 4\]:

\(f\left( x \right) \le 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 4 < 0\\{\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right)\left( {m - 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\24m - 15 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le \frac{5}{8}\).

Vậy \[m \le \frac{5}{8}\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có \[\Delta  = {a^2} - 4\].

Để tam thức \[y = {x^2} - ax + 1\] có hai nghiệm dương phân biệt thì

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4 > 0\\a > 0\\1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a <  - 2\\a > 2\end{array} \right.\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a > 2\].

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2}\). Do đó \[f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x =  - 2m\end{array} \right.\].

TH1: \( - 2 <  - 2m \Leftrightarrow m < 1\), ta có \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2; - 2m} \right)\).

\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow  - 2 < 0 < 1 <  - 2m \Leftrightarrow m < \frac{{ - 1}}{2}\).

Suy ra: \(m < \frac{{ - 1}}{2}\)

TH2: \( - 2 >  - 2m \Leftrightarrow m > 1\), ta có \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2m; - 2} \right)\).

Suy ra không có giá trị \(m\) thỏa đề.

Vậy \(m < \frac{{ - 1}}{2}\) thỏa yêu cầu bài toán.

Ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ (với \[x,\,y > 0\] và có đơn vị \[m\])

Khi đó chi phí để trả cho nguyên vật liệu làm hàng rào là: \[3x.50000 + 2y.60000 = 15000000\]

\[ \Leftrightarrow 15x + 12y = 1500\] \[ \Rightarrow y = \frac{{500 - 5x}}{4}\].

Diện tích của khu vườn sau khi được rào lại là \[S = x.2y = 2x.\frac{{500 - 5x}}{4} = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\].

Ta có \[S = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right) = \frac{5}{2}\left( { - {x^2} + 2.50x - 2500 + 2500} \right)\].

\[ \Leftrightarrow S = \frac{5}{2}\left[ {2500 - {{\left( {x - 50} \right)}^2}} \right] \le 6250\].

Vậy diện tích khu vườn lớn nhất là \[6250\,{m^2}\]\[ \Leftrightarrow x = 50\].

Biểu thức ở các câu b), c) là các tam thức bậc hai.

a) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt trục hoành tại hai điểm \(( - 2;0)\) và \((2;0)\) nên tam thức bậc hai \(f(x)\) có hai nghiệm là \({x_1} =  - 2,{x_2} = 2\). Đồ thị có bề lõm quay lên trên nên hệ số \(a > 0\). Do đó, ta có bảng xét dấu sau:

b) Đồ thị hàm số \(y = g(x)\) cắt trục hoành tại hai điểm \((3;0)\) và \((4;0)\) nên tam

thức bậc hai \(f(x)\) có hai nghiệm là \({x_1} = 3,{x_2} = 4\). Đồ thị có bề lõm quay xuống dưới nên hệ số \(a < 0\). Do đó, ta có bảng xét dấu sau:

Biểu thức \(f\left( x \right) = \left( {3x - 1} \right)\left( {3{x^2} - 4x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\3{x^2} - 4x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = 1.\end{array} \right.\)

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, với \(x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{3};1} \right)\) thì \(f(x) < 0\).

\(f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} = \frac{{{x^3} - 1}}{x} = \frac{{(x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{x}\).

Điều kiện: \(x \ne 0\).

Xét \(f(x) = 0 \Rightarrow (x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{{x^2} + x + 1}\end{array}} \right.\) (vô nghiệm) \( \Rightarrow x = 1\).

Bảng xét dấu \(f(x)\):

Kết luận: \(f(x) > 0,\forall x \in ( - \infty ;0) \cup (1; + \infty );f(x) < 0,\forall x \in (0;1)\).

\({x^4} + m{x^3} - 2\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + mx + 1 = 0\)(1)

Nhận xét rằng \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho \({x^2} \ne 0\) ta được:

\({x^2} + mx - 2\left( {{m^2} - 1} \right) + m \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + m\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 2{m^2} + 2 = 0.\)

Đặt \(t = x + \frac{1}{x}\), điều kiện \(|t| \ge 2\), suy ra \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2\).

Khi đó, phương trình có dạng: \(f(t) = {t^2} + mt - 2{m^2} = 0\) (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt tức (1) có nghiệm thỏa mãn \(\left[ \begin{array}{l}2 < {t_1} < {t_2}\left( * \right)\\{t_1} < {t_2} <  - 2\left( * \right)\\{t_1} <  - 2 < 2 < {t_2}(**)\end{array} \right.\).

Nhận xét: Phương trình (2) có \(ac =  - 2{m^2} < 0\) nên \(\left( * \right)\) không thể xảy ra.

Khi đó, để có \(\left( {**} \right)\) thì điều kiện là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(2) < 0}\\{f( - 2) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 + 2m - 2{m^2} < 0}\\{4 - 2m - 2{m^2} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - m - 2 > 0}\\{{m^2} + m - 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow |m| > 2.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy với \(|m| > 2\) thì thỏa mãn đề bài cho.

Vi \({m^2} + 2 > 0\) nên yêu câu bài toán \( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} - 2(m + 1)x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } < 0}\\{a > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m + 1)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0}\\{{m^2} + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow {{(m + 1)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow 2m < 1 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}{\rm{.}}\end{array}\)

Vậy \(m < \frac{1}{2}\) thỏa mãn

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow (m + 10){x^2} - 2(m - 2)x + 1 \ge 0(*)\).

Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left( * \right)\) đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

+) \(m =  - 10:\left( * \right)\) trở thành: \(24x + 1 \ge 0\) không đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(m =  - 10\) loại.

+) \(m \ne  - 10:(*)\) đúng với \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{{\Delta ^\prime } \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 10 > 0}\\{{{(m - 2)}^2} - (m + 10) \le 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{m^2} - 5m - 6 \le 0\\m >  - 10\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 1 \le m \le 6\\m >  - 10\end{array}\end{array} \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 6.} \right.} \right.\)

Vậy với \( - 1 \le m \le 6\) thì hàm số đã cho có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(\Delta  = {(3 - m)^2} - 4( - 2m + 3) = {m^2} + 2m - 3\)

- Nếu \(m = 1\) thì bpt trở thành \({x^2} + 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\) thỏa mãn.

- Nếu \(m =  - 3\) thì bpt trở thành \({x^2} + 6x + 9 > 0 \Leftrightarrow {(x + 3)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne  - 3\) thỏa mãn

- Nếu \( - 3 < m < 1\) thì \(\Delta  < 0\) mà hệ số \(a = 1 > 0\) nên \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra tập nghiệm của bpt là \(\mathbb{R}\) (thỏa mãn).

- Nếu \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - 3}\\{m > 1}\end{array}} \right.\) thì \(\Delta  > 0\) nên phương trình \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 = 0\) có hai nghiệm.

Do đó ta có tập nghiệm của \({x^2} + (3 - m)x - 2m + 3 > 0\) là

\(S = \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{ - 3 + m + \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}; + \infty } \right){\rm{. }}\)

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \le  - 4\) khi và chi khi \(( - \infty ; - 4] \subset \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow  - 4 < \frac{{ - 3 + m - \sqrt {{m^2} + 2m - 3} }}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 2m - 3}  < m + 5\)\(\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m >  - 5 \vee m > 1\\m >  - 5m >  - \frac{7}{2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - \frac{7}{2} < m <  - 3\\m > 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 > 0\\m + 5 > 0\\{m^2} + 2m - 3 < {(11 - m)^2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Kết hợp các trường hợp ta được \(m >  - \frac{7}{2}\) là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với \(m = 4\), ta có \(f(x) =  - 1 < 0\): đúng với mọi \(x\).

Với \(m \ne 4\), yêu câu bài toán \( \Leftrightarrow (m - 4){x^2} + (2m - 8)x + m - 5 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a < 0\\{\Delta ^\prime } < 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m - 4 < 0\\{(m - 4)^2} - (m - 4)(m - 5) < 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 4\\m - 4 < 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m < 4} \right.} \right.} \right.\]

Kết hợp hai trường hợp ta được \(m \le 4\).

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow (m + 10){x^2} - 2(m - 2)x + 1 \ge 0(*)\).

Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) khi và chỉ khi (*) đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

+) \(m =  - 10\) (*) trở thành: \(24x + 1 \ge 0\) không đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(m =  - 10\) loại.

+) \(m \ne  - 10\) (*) đúng với \[\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a < 0\\{\Delta ^\prime } \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m + 10 > 0\\{(m - 2)^2} - (m + 10) \le 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{m^2} - 5m - 6 \le 0\\m >  - 10\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 1 \le m \le 6\\m >  - 10\end{array}\end{array} \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 6.} \right.\]

Vậy với \( - 1 \le m \le 6\) thì hàm số đã cho có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).