Bài tập Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai vào các bài toán thực tế lớp 10 (có lời giải)
10 câu hỏi
Một công ty du lịch báo giá tiền cho chuyến tham quan của một nhóm khách du lịch như sau: 50 khách đầu tiên với giá 300 000đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ thêm một người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách. Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng. Số người của nhóm du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ?
58;
55;
60;
65.
Đáp án đúng là: A
Cứ thêm 1 người thì giá vé còn (300 000 - 5 000.1) đồng/người cho toàn bộ hành khách.
Cứ thêm x người thì giá vé còn (300 000 - 5 000x) đồng/người cho toàn bộ hành khách.
Vậy doanh thu theo x là (50 + x)(300 000 - 5 000x) đồng.
Công ty không bị lỗ khi và chỉ khi
(50 + x)(300 000 - 5 000x) ≥ 15 080 000
⇔ (50 + x)(60 - x) ≥ 3 016
⇔ -x2 + 10x - 16 ≥ 0
⇔ 2 ≤ x ≤ 8
Vậy số người của nhóm khách du lich nhiều nhất là 50 + 8 = 58 người.
Công ty An Bình báo giá tiền cho chuyến tham quan của một nhóm khách du lịch như sau: 10 khách đầu tiên với giá 800 000đồng/người. Nếu có nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ thêm một người, giá vé sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách. Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 700 000 đồng/người. Số người của nhóm du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ?
25;
15;
20;
30.
Đáp án đúng là: C
Cứ thêm 1 người thì giá vé còn (800 000 - 10 000.1) đồng/người cho toàn bộ hành khách.
Cứ thêm x người thì giá vé còn (800 000 - 10 000x) đồng/người cho toàn bộ hành khách.
Vậy doanh thu theo x là (10 + x)(800 000 - 10 000x) đồng.
Chi phí thực sự sau khi thêm x khách là 700 000(10 + x) đồng.
Công ty không bị lỗ khi và chỉ khi
(10 + x)(800 000 - 10 000x) ≥ 700 000(10 + x)
⇔ (10 + x).10 000(80 - x) ≥ 700 000(10 + x)
⇔ (10 + x)(80 - x) ≥ 70(10 + x)
⇔ -x2 + 70x + 800 ≥ 700 + 70x
⇔ -x2 + 100 ≥ 0
⇔ -10 ≤ x ≤ 10
Vậy số người của nhóm khách du lich nhiều nhất là 10 + 10 = 20 người thì công ty không bị lỗ.
Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là Q2 + 180Q + 140 000 (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 200 nghìn đồng. Xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm là bao nhiêu để không bị lỗ?
Từ 157 đến 835;
Từ 164 đến 857;
Từ 164 đến 835;
Từ 157 đến 857.
Đáp án đúng là: B
Lợi nhuận của xí nghiệm thu được sau khi bán hết Q sản phẩm là:
1 200Q - (Q2 + 180Q + 140 000) = -Q2 + 1 020Q - 140 000
Xí nghiệp không bị lỗ khi và chỉ khi
-Q2 + 1 020Q - 140 000 ≥ 0
⇔ 163,45 ≤ Q ≤ 857,55
Do đó 164 ≤ Q ≤ 857 do Q ∈ ℕ
Vậy để không bị lỗ thì xí nghiệp cần sản xuất từ 164 đến 857 sản phẩm.
Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu là 500 m/s, hợp với phương ngang một góc 45. Biết rằng bỏ qua sức cản của không khí, quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên sẽ tuân theo phương trình
\[y = -\frac{g}{{2{v^2}_0co{s^2}\alpha }}{x^2} + xtan\alpha .\]
Trong đó x là khoảng cách (tính bằng mét) vật bay theo phương ngang, vận tốc ban đầu vo của vật hợp với phương ngang một góc α và g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường. Để viên đạn bay qua ngọn núi cao 4 000 mét thì khẩu pháo phải đặt cách chân núi một khoảng cách là
Từ 4 550 m đến 20 067 m;
Từ 4 550 m đến 20 543 m;
Từ 4 967 m đến 20 067 m;
Từ 4 967 m đến 20 543 m.
Đáp án đúng là: D
Phương trình chuyển động của viên đạn là
\[y = -\frac{{9,8}}{{2 50{0^2}co{s^2}45^\circ }}{x^2} + xtan45^\circ \]
\[ \Leftrightarrow y = -\frac{{9,8}}{{250 000}}{x^2} + x\]
Để viên đạn bay qua ngọn núi cao 4 000 mét thì
\[-\frac{{9,8}}{{250 000}}{x^2} + x > 4 000\]
\[ \Leftrightarrow -\frac{{9,8}}{{250 000}}{x^2} + x-4 000 > 0\]
⇔ 4 967,17 < x < 20 543,03
Vậy khẩu pháo phải đặt cách chân núi trong khoảng từ 4 967 m đến 20 543 m thì viên đạn bay qua ngọn núi.
Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây. Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất?
Từ 0 đến 4 giây;
Từ 0 đến 3,55 giây;
Từ 0 đến 2,55 giây;
Từ 0 đến 4,05 giây.
Đáp án đúng là: C
Phương trình của parabol là \[h = h(t) = a{t^2} + bt + c\,\](a ≠ 0), trong đó h là độ cao, t là thời gian, a, b, c là các hằng số cần tìm.
Quỹ đạo của quả bóng là một parabol đi qua điểm A(0; 0,2) nên thay t = 0 và h = 0,2 vào hàm số ta được: c = 0,2.
Khi đó: h = h(t) = at2 + bt + 0,2.
Lại có quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.
Do đó quỹ đạo của bóng là parabol đi qua các điểm có tọa độ (1; 8,5) và (2; 6)
Ta có hệ: \[\left\{ \begin{array}{l}8,5 = a + b + 0,2\\6 = a.4 + b.2 + 0,2\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8,3 = a + b\\5,8 = 4a + 2b\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{-27}}{5}\\b = \frac{{137}}{{10}}\end{array} \right.\]
Vậy hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là:
\[h = h(t) = -\frac{{27}}{5}{t^2} + \frac{{137}}{{10}}t + 0,2\]
Bóng chưa chạm đất khi và chỉ khi h > 0
⇔ \[-\frac{{27}}{5}{t^2} + \frac{{137}}{{10}}t + 0,2 > 0\]
⇒ -0,01 < t < 2,55
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 2,55 giây thì bóng vẫn chưa chạm đất.
Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạnAB, đặt AM = x (hình vẽ). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Giá trị nào của x thì diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ?
2;
3,5;
4;
1,5.
Đáp án đúng là: B
Ta có \({S_{\left( {O;AB} \right)}} = \frac{\pi }{4}A{B^2};\) \({S_{\left( {{O_1};AM} \right)}} = \frac{\pi }{4}{x^2};\) \({S_{\left( {{O_2};MB} \right)}} = \frac{\pi }{4}{\left( {4-x} \right)^2}.\)
\({S_x} = {S_{\left( {O;AB} \right)}}-{S_{\left( {{O_1};AM} \right)}}-{S_{\left( {{O_2};MB} \right)}}\)
\( = \frac{\pi }{4}\left[ {A{B^2}-{x^2}-{{\left( {4-x} \right)}^2}} \right]\)
= \(\frac{\pi }{4}\left( {-2{x^2} + 8x} \right)\)
\({S_x} \le \frac{1}{2}\left( {{S_{\left( {{O_1};AM} \right)}} + {S_{\left( {{O_2};MB} \right)}}} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{\pi }{4}\left( {-2{x^2} + 8x} \right) \le \frac{1}{2}.\frac{\pi }{4}\left[ {{x^2} + \left( {4-{x^2}} \right)} \right]\)
⇒ 3x2 - 12x + 8 ≥ 0
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le x \le \frac{{6-2\sqrt 3 }}{3}\\\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3} \le x < 4\end{array} \right.\)
Xét các phương án ta thấy chỉ có phương án B thỏa mãn điều kiện trên.
Vậy ta chọn phương án B.
Một người nông dân có 6 triệu đồng để làm một hàng rào chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) làm một khu đất có hai phần là hình chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 40 000 đồng một mét.
Diện tích lớn nhất của khu đất rào thu được là
1245;
1 250;
1 255;
1 260.
Đáp án đúng là: B
Giả sử độ dài của một hàng rào vuông góc bờ sông là x (m) và độ dài của hàng rào song song với bờ sông là y (m) (x, y > 0)
Khi đó, tổng số tiền để mua hàng rào là:
3x.40 000 + y.60 000 = 6 000 000 ⇔ y = 100 - 2x.
Diện tích khu đất là S = x.y = x(100 - 2x) = -2(x -25)2 + 1 250 ≤ 1 250
Vậy diện tích khu đất lớn nhất là 1250 (m2) khi x = 25 (m) và y = 50 (m).
Một viên gạch hình vuông có cạnh thay đổi được đặt nội tiếp trong một hình vuông có cạnh bằng 20 cm, tạo thành bốn tam giác xung quanh như hình vẽ.
Giá trị của x để diện tích viên gạch không vượt quá 208 cm2 là
8 ≤ x ≤ 12;
6 ≤ x ≤ 14;
12 ≤ x ≤ 14;
12 ≤ x ≤ 18.
Đáp án đúng là: A
Gọi E, F, G, H là bốn đỉnh của viên gạch hình vuông nội tiếp trong hình vuông ABCD có cạnh 20 cm như hình vẽ:
Ta có cạnh viên gạch là \[EF = \sqrt {{x^2} + {{\left( {20-x} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2}-40x + 400} \]
Diện tích của viên gạch là: EF2 = 2x2 - 40x + 400
Theo đề ta có diện tích viên gạch không vượt quá 208 cm2
⇔ 2x2 - 40x + 400 ≤ 208
⇔ 2x2 - 40x + 192 ≤ 0
⇔ 8 ≤ x ≤ 12.
Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30 000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3 000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30 000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1 000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18 000. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?
39 000;
43 000;
40 000;
42 000.
Đáp án đúng là: A
Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x (nghìn đồng).
Vì cứ tăng giá thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng x (nghìn đồng) thì số xe khăn bán ra giảm 100x chiếc. Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: 3 000 - 100x chiếc.
Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi 12 (nghìn đồng).
Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: 12 + x (nghìn đồng).
Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:
f(x) = (3 000 - 100x)(12 + x) (nghìn đồng).
Xét hàm số f(x) = (3 000 - 100x)(12 + x) trên (0; +∞)
Ta có: f(x) = -100x2 + 1 800x + 36 000 = -100(x - 9)2 + 44 100 ≤ 44 100
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 9
Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là 9 000 đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là 39 000 đồng.
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có x con cá (x ∈ ℕ*) thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là 480 - 20x (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau mỗi vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
10;
12;
9;
24.
Đáp án đúng là: B
Cân nặng của x con cá là: f(x) = x(480 - 20x) = 480x - 20x2, (0 < x < 240)
Xét hàm số f(x) = - 20x2 + 480x trên (0; 240)
Có hoành độ đỉnh x = 12 và hệ số a = -20 < 0
Lập bảng biến thiên:
Vậy thu hoạch sản lượng cá nhiều nhất thì phải thả trên một đơn vị diện tích mặt hồ 12 con cá.
