Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 6 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3
26 câu hỏi
Quy tắc sau đây cho ta biết CAN, CHI của năm \(X\) nào đó.
Để xác định CAN, ta tìm số dư \(r\) trong phép chia \(X\) cho 10 và tra vào Bảng 1.
Để xác định CHI, ta tìm số dư \(s\) trong phép chia \(X\) cho 12 và tra vào Bảng 2.
Bảng 1:
\(r\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
CAN | Canh | Tân | Nhâm | Quý | Giáp | Ất | Bính | Đinh | Mậu | Kỷ |
Bảng 2:
\(s\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
CHI | Thân | Dâu | Tuất | Hợi | Tý | Sửu | Dần | Mão | Thìn | Tỵ | Ngọ | Mùi |
a) Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định CAN, CHI của năm 2025.
b) Dưới sự chỉ đạo tài tình của Hưng Đạo Đại Vương Trần Quốc Tuấn, quân dân nhà Trần đã ba lần đánh thắng quân Nguyên – Mông. Chiến thắng lần thứ ba vào năm Mậu Tý (CAN là Mậu, CHI là Tý) cuối thế kỉ \(XIII\). Em hãy xác định xem năm đó là năm bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
a) Ta có 2025 chia 10 được 202 dư 5 nên \(r = 5\), tra bảng 1 ta có CAN là Ất.
Có 2025 chia 12 được 168 dư 9 nên \(s = 9\), tra bảng 2 ta có CHI là Tỵ.
b) Gọi năm đó là năm \(X\). Vì sự kiện xảy ra vào thế kỉ 13 nên ta có:
\(X = \overline {12ab} ,{\rm{ }}a,b \in \mathbb{N},0 \le a,b \le 9\).
Vì năm \(X\) là năm Mậu Tý nên \(X\) chia 10 dư 8, do đó, \(X = \overline {12a8} \).
Lại có \(X\) là năm Mậu Tý nên \(X\) chia cho 12 dư 4 nên \(\left( {12 \cdot 100 + 10 \cdot a + 8} \right) - 4\) chia hết cho 12.
Suy ra \(\left( {10a + 4} \right) \vdots 12\).
Lại có \(0 \le a \le 9\) nên có \(a = 2,a = 8\).
Ta được các năm 1228 và 1288.
Vì sự kiện xảy ra vào cuối thế kì 13 nên năm đó là 1288.
Kể tên các hình tam giác đều, hình thang cân, hình thoi, hình chữ nhật, hình lục giác đều có trong hình vẽ sau:
Hướng dẫn giải
⦁ Các tam giác đều là các tam giác \(OAB,\,\,OBC,\,\,OCD,\,\,ODE,\,\,OEG,\,\,OGA,\,\,ACE,\,\,BDG.\)
⦁ Các hình thang cân là \(ABCD,\,\,BCDE,\,\,CDEG,\,\,DEGA.\)
⦁ Các hình thoi là \(OABC,\,\,OBCD,\,\,OCDE,\,\,ODEG,\,\,OEGA,\,\,OGAB.\)
⦁ Các hình chữ nhật là \(ABDE,\,\,BCEG,\,\,CDGA.\)
⦁ Hình lục giác đều là \(ABCDEG.\)
Một hình tam giác có độ dài đáy là \(45\) cm. Chiều cao bằng \(\frac{5}{3}\) độ dài đáy. Tính diện tích của tam giác đó?
Hướng dẫn giải
Chiều cao của tam giác là: \(45 \cdot \frac{5}{3} = 75\) (cm).
Diện tích của tam giác đó là: \(\frac{{45 \cdot 75}}{2} = 1\,\,687,5\) (cm2).
Hình bình hành \(ABCD\)có độ dài cạnh \(AB\) bằng \(\frac{5}{3}\) chiều cao tương ứng. Tính diện tích hình bình hành \(ABCD\).
Hướng dẫn giải
Độ dài cạnh \(AB\) là: \(10:\left( {5 - 3} \right) \cdot 5 = 25\) (cm).
Độ dài cạnh \(BC\) là: \(25 - 10 = 15\) (cm).
Chu vi hình bình hành \(ABCD\) là: \(\left( {25 + 15} \right) \cdot 2 = 80\) (cm).
Tìm diện tích của một hình thang biết rằng nếu kéo dài đáy bé \(2\) m về một phía thì ta được hình vuông có chu vi \(24\) m.
Hướng dẫn giải Gọi hình thang đã cho là \(ABCD\); kéo dài đáy bé \(AB\) thêm \(2\) m về một phía thì ta được hình vuông \(AMCD\)có chu vi \(24\) m. Cạnh hình vuông \(AMCD\) là: \(24:4 = 6\) (m). Theo bài, ta thấy hình thang \(ABCD\) là hình thang vuông có chiều cao và độ dài đáy lớn bằng độ dài cạnh hình vuông \(AMCD\), và bằng \(6\) m. Đáy bé hình thang \(ABCD\) là: \(6 - 2 = 4\) (m). Diện tích hình thang ban đầu là: \(\frac{{\left( {4 + 6} \right) \cdot 6}}{2} = 30\) (m2). |
|
Cho mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(6\,\,{\rm{m}}\) và \(10\,\,{\rm{m}}\). Người ta trồng 4 bồn cỏ có dạng hình tam giác xung quanh như hình vẽ, phần còn lại trồng hoa.
a) Tính diện tích phần đất dùng để trồng cỏ.
b) Mỗi mét vuông trồng cỏ chi phí mua hạt giống hết \(25\,\,000\) đồng, công trồng hết \(30\,\,000\) đồng. Mỗi mét vuông trồng hoa chi phí mua hoa giống hết \(80\,\,000\) đồng, công trồng hết \(35\,\,000\) đồng. Hỏi tổng chi phí làm mảnh vườn hết bao nhiêu tiền?
Hướng dẫn giải
a) Diện tích một bồn cỏ hình tam giác là: \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\) (m2).
Diện tích bốn bồn cỏ hình tam giác là: \(4 \cdot 3 = 12\)(m2).
b) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là: \(10 \cdot 6 = 60\) (m2).
Diện tích trồng hoa là: \(60 - 12 = 48\) (m2).
Chi phí làm mảnh vườn đó là:
\(\left( {25\,\,000 + 30\,\,000} \right).12 + \left( {80\,\,000 + 35\,\,000} \right).48 = 6\,\,180\,\,000\) (đồng).
Nhà bác Nam có một bức tường với kích thước như trong sơ đồ (trên bức tường có chừa một ô thoáng hình thoi và một cửa đi hình chữ nhật).
a) Tính diện tích cửa đi hình chữ nhật và diện tích cửa thoáng hình thoi.
b) Bác Nam đang tính số tiền để sơn mặt trong của bức tường này. Biết đơn giá sơn bức tường là 30 000 đồng/m2. Theo em, bác Nam phải mất bao nhiêu tiền để mua đủ lượng sơn sơn được bức tường đó?
Hướng dẫn giải
a) Diện tích cửa đi hình chữ nhật là: \(2 \cdot 2 = 4\) (m2).
Diện tích cửa thoáng hình thoi là: \(\frac{1}{2} \cdot 1,7 \cdot 1,4 = 1,19\) (m2).
b) Diện tích của phần bức tường hình chữ nhật (không tính cửa đi) là:
\(9 \cdot 3 - 4 = 23\) (m2).
Diện tích của phần bức tường hình tam giác (không tính cửa thoáng hình thoi) là:
\(\frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 9 - 1,19 = 14,56\) (m2).
Phần diện tích của bức tường cần sơn là:
\(23 + 14,56 = 37,56\) (m2).
Số tiền bác Nam phải trả để mua sơn là:
\(37,56 \cdot 30\,\,000 = 1\,\,126\,\,800\) (đồng).
Cho biểu thức \(A = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + \ldots + {3^{10}}.\) Tìm số tự nhiên \(n\) sao cho \(2A + 1 = {3^n}.\)
Hướng dẫn giải
Ta có 3A=3+32+33+⋯+310+311
Suy ra \(3A - A = \left( {3 + {3^2} + {3^3} + \cdots + {3^{10}} + {3^{11}}} \right) - \left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3} + \cdots + {3^{10}}} \right)\)
Hay \(2A = {3^{11}} - 1\) nên \(2A + 1 = {3^{11}}\)
Theo bài, \(2A + 1 = {3^n}\) nên \[{3^n} = {3^{11}},\] suy ra \[n = 11\].
Tính nhanh giá trị biểu thức: \(B = 1 + {6^2} + {6^4} + {6^6} + \ldots + {6^{100}}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \[{6^2}B = {6^2} + {6^4} + {6^6} + {6^8} + \cdots + {6^{102}}\]
Suy ra \(36B - B = \left( {{6^2} + {6^4} + {6^6} + {6^8} + \cdots + {6^{102}}} \right) - \left( {1 + {6^2} + {6^4} + {6^6} + \ldots + {6^{100}}} \right)\)
Hay \(35B = {6^{102}} - 1\) nên \(B = \frac{{{6^{102}} - 1}}{{35}}\).
Vậy \(B = \frac{{{6^{102}} - 1}}{{35}}\).
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[n,\] các cặp số sau là các số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1):
a) \[n + 1\] và \[n + 2\].
a) Gọi ƯCLN\(\left( {n + 1,\,\,n + 2} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),\) suy ra \(\left( {n + 1} \right) \vdots \,\,d\) và \(\left( {n + 2} \right) \vdots \,\,d\)
Do đó \(\left( {n + 2 - n - 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(1\,\, \vdots \,\,d\) nên \(d = 1.\)
Vậy \(n + 1;\,\,n + 2\)là hai số nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[n,\] các cặp số sau là các số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1):
b) \[3n{\rm{ + }}10\] và \[n + 3\].
Hướng dẫn giải
b) Gọi ƯCLN\(\left( {3n + 10,\,\,n + 3} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\), suy ra \(\left( {3n + 10} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Từ \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta suy ra \(\left( {3n + 9} \right)\,\, \vdots \,\,d\).
Do đó \(\left( {3n + 10 - 3n - 9} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(1\,\, \vdots \,\,d\) nên \(d = 1.\)
Vậy \(3n + 10;\,\,n + 3\)là hai số nguyên tố cùng nhau.
Tìm các số tự nhiên \(n\) để mỗicặp số sau là hai số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là \(1).\)
a) \(4n + 3\) và \(2n + 3\).
a) Gọi ƯCLN\(\left( {4n + 2,\,\,2n + 3} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Suy ra \(\left( {4n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Từ \(\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta suy ra \(2\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Do đó \[\left[ {2\left( {2n + 3} \right) - \left( {4n + 3} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\] hay \[3\,\, \vdots \,\,d\] nên \[d \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}.\]
Để \(4n + 3\) và \(2n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau thì \(d \ne 3\), tức là 2n+3 ⋮ 3, suy ra 2n⋮3, do đó n⋮3 hay \(n \ne 3k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).
Vậy \(n \ne 3k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì \(4n + 3\) và \(2n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Tìm các số tự nhiên \(n\) để mỗicặp số sau là hai số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là \(1).\)
b) \(7n + 13\) và \(2n + 4\).
b) Gọi ƯCLN\(\left( {7n + 13,\,\,2n + 4} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Suy ra \(\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Từ \(\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\) suy ra \[2\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\]
Từ \(\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\) suy ra \[7\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\]
Do đó \[\left[ {7\left( {2n + 4} \right) - 2\left( {7n + 13} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\] hay \[2\,\, \vdots \,\,d\] nên \[d \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\]
Để \(7n + 13\) và \(2n + 4\) là hai số nguyên tố cùng nhau thì \(d \ne 2\).
Mà \(2n + 4\) luôn chia hết cho 2 và \(7n + 13\) không chia hết cho 2 khi \(n\) chẵn.
Vậy \(n\) chẵn thì \(7n + 13\) và \(2n + 4\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Tìm số tự nhiên \(x\) và \(y\), biết:
a) \(\left( {x - 2} \right)\left( {y + 2} \right) = 26\).
a) Từ \(\left( {x - 2} \right)\left( {y + 2} \right) = 26\) suy ra \(\left( {y + 2} \right) \in \)Ư\[\left( {26} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,13;\,\,26} \right\}\].
Vì \(y\) là số tự nhiên nên \(y + 2 \ge 2\), suy ra \(\left( {y + 2} \right) \in \left\{ {2;\,\,13;\,\,26} \right\}\).
Ta có bảng sau:
\(y + 2\) | 2 | 13 | 26 |
\(x - 2\) | 13 | 2 | 1 |
\(x\) | 15 | 4 | 3 |
\(y\) | 0 | 11 | 24 |
| Thỏa mãn | Thỏa mãn | Thỏa mãn |
Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {15;\,\,0} \right);\,\,\left( {4;\,\,11} \right);\,\,\left( {3;\,\,24} \right)} \right\}.\)
Tìm số tự nhiên \(x\) và \(y\), biết:
b) \(\left( {x - 5} \right)\left( {2y + 1} \right) = 12\).
b) Từ \(\left( {x - 5} \right)\left( {2y + 1} \right) = 12\) suy ra \(\left( {2y + 1} \right)\, \in \)Ư\(\left( {12} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,6;\,\,12} \right\}\)
Vì \(y\) là số tự nhiên nên \(2y + 1\) là số lẻ, suy ra \(2y + 1\, \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}.\)
Ta có bảng sau:
\(2y + 1\) | \[1\] | \(3\) |
\(x - 5\) | \(12\) | \(4\) |
\(x\) | \(17\) | \(9\) |
\(y\) | \(0\) | \(1\) |
| Thỏa mãn | Thỏa mãn |
Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left\{ {\left( {17;\,\,0} \right);\,\,\left( {9;\,\,1} \right)} \right\}\).
Tìm số tự nhiên \(x\) và \(y\), biết:
c) \(\left( {x + 3} \right)\left( {y - 1} \right) = 11\).
c) Từ \(\left( {x + 3} \right)\left( {y - 1} \right) = 11\) suy ra \[\left( {x + 3} \right) \in \]Ư\(\left( {11} \right) = \left\{ {1;\,\,11} \right\}.\)
Vì \(x\) là số tự nhiên nên \(x + 3 \ge 3\) suy ra \(x + 3 = 11\), do đó \(x = 8\).
Khi \(x + 3 = 11\) thì \(y - 1 = 1,\) do đó \(y = 2.\)
Vậy\(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {8;\,\,2} \right).\)
Tìm số tự nhiên \(x\) và \(y\), biết:
d) \[xy + 2x + 3y = 0.\]
d) Ta có \[xy + 2x + 3y = 0\]
\[x\left( {y + 2} \right) + 3\left( {y + 2} \right) - 6 = 0\]
\[\left( {x + 3} \right)\left( {y + 2} \right) = 6\].
Suy ra \(\left( {x + 3} \right) \in \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}\)
Vì \(x\) là số tự nhiên nên \(x + 3 \ge 3\), suy ra \(\left( {x + 3} \right) \in \left\{ {3;\,\,6} \right\}\).
Ta có bảng sau:
\(x + 3\) | 3 | 6 |
\(y + 2\) | 2 | 1 |
\(x\) | 0 | 3 |
\(y\) | 0 |
|
| Thỏa mãn |
|
Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {0;\,\,0} \right)\).
Tìm số tự nhiên \(x\) và \(y\), biết:e) \(x < y,\,\,xy = 432\) và ƯCLN\(\left( {x,\,\,y} \right) = 6\).
e) Vì ƯCLN\(\left( {x,\,\,y} \right) = 6\) nên \(x = 6m,\,\,y = 6n\) với ƯCLN\(\left( {m,\,\,n} \right) = 1.\)
Ta có \(xy = 432\) suy ra \(6m \cdot 6n = 432\) hay \(36mn = 432\) nên \(mn = 12\).
Vì \(x < y\) nên \(m < n\).
Từ \(mn = 12,\,\,m < n\) và ƯCLN\(\left( {m,\,\,n} \right) = 1\) ta có bảng sau:
\(m\) | 1 | 3 |
\(n\) | 12 | 4 |
\(x\) | 6 | 18 |
\(y\) | 72 | 24 |
| Thỏa mãn | Thỏa mãn |
Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {6;\,\,72} \right);\,\,\left( {18;\,\,24} \right)} \right\}.\)
Tìm số tự nhiên \(x\) và \(y\), biết:
f) \(x + y = 35\)và ƯCLN\(\left( {x,\,\,y} \right) = 7\).
f) Vì ƯCLN\(\left( {x,\,\,y} \right) = 7\) nên \(x = 7m;\,\,y = 7n\) với ƯCLN\(\left( {m,\,\,n} \right) = 1\).
Ta có \(x + y = 35\) suy ra \(7m + 7n = 35\) hay \(7\left( {m + n} \right) = 35,\) nên \(m + n = 5\).
Ta có bảng sau:
\(m\) | \[1\] | \(2\) |
\(n\) | \(4\) | \(3\) |
\(x\) | \(7\) | \(14\) |
\(y\) | \(28\) | \(21\) |
| Thỏa mãn | Thỏa mãn |
Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {7;\,\,28} \right);\,\,\left( {14;\,\,21} \right)} \right\}.\)
Tìm số tự nhiên \[x,\]biết: \[{2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} + ... + {2^{x + 2020}} = {2^{2024}} - 8\].
Hướng dẫn giải
Ta có: \[{2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} + ... + {2^{x + 2020}} = {2^{2024}} - 8\]
\[{2^x} + {2^x} \cdot 2 + {2^x} \cdot {2^2} + ... + {2^x} \cdot {2^{2020}} = {2^{2021}} \cdot {2^3} - {2^3}\]
\[{2^x} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{2020}}} \right) = {2^3} \cdot \left( {{2^{2021}} - 1} \right)\].
Đặt \[A = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{2020}}\]
\[2A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2021}}\]
\[2A - A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2021}} - \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2020}}} \right)\]
\[A = {2^{2021}} - 1\]
Do đó, \[{2^x} \cdot \left( {{2^{2021}} - 1} \right) = {2^3} \cdot \left( {{2^{2021}} - 1} \right)\]
Suy ra \[{2^x} = {2^3}\], do đó \[x = 3\].
Một người bán năm giỏi xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là 65 kg, 71 kg, 58 kg, 72 kg, 93 kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?
Hướng dẫn giải
Tổng số xoài và cam lúc đầu là: \(65 + 71 + 58 + 72 + 93 = 359{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).
Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam chia hết cho 4.
Mà nhận thấy \(359\) chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3.
Vì \(71:4 = 17\) dư 3 nên giỏ cam bán đi là giỏ có khối lượng \(71{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).
Số xoài và cam còn lại là: \(359 - 71 = 288{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).
Khối lượng cam còn lại là: \(288:4 = 72{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).
Vậy các giỏ đựng cam có khối lượng 71 kg, 72 kg các giỏi đựng xoài có khối lượng 65 kg, 58 kg, \(93{\rm{ kg}}\).
Trên một bàn cờ vua, Minh muốn xếp gạo vào ô vuông theo quy luật sau: ô thứ nhất bỏ vào 1 hạt, ô thứ hai bỏ vào 2 hạt, ô thứ ba bỏ vào 4 hạt, ô thứ tư bỏ vào 8 hạt, ở ô tiếp theo xếp số hạt gạo gấp đôi ô trước đó đến khi hết 64 ô trong bàn cờ. Hãy tính tổng số hạt gạo được Minh xếp trên bản cờ vua.
Hướng dẫn giải
Theo đề, ô thứ nhất bỏ vào 1 hạt.
Ô thứ hai bỏ vào \(2 = {2^1}\) (hạt).
Ô thứ ba bỏ vào \(4 = {2^2}\) (hạt).
Ô thứ tư vỏ vào \(8 = {2^3}\) (hạt) và cứ như vậy, ở ô tiếp theo số hạt gạo gấp đôi ô trước đó nên ô thứ 64 bỏ vào \({2^{63}}\) hạt.
Khi đó, tổng số hạt gạo được Minh xếp lên bàn cờ vua là:
\(S = 1 + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{63}}\)
\(2S = {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{64}}\)
Suy ra \(2S - S = {2^{64}} - 1\) hay \(S = {2^{64}} - 1\).
Vậy tổng số hạt gạo được Minh xếp lên trên bàn cờ vua là \({2^{64}} - 1\) hạt.
Một trường học không có quá 600 học sinh. Biết rằng khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì lần lượt dư 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh còn nếu khi xếp thành 13 hàng thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường này.
Hướng dẫn giải
Gọi số học sinh của trường đó là \(a\) học sinh \(\left( {a \in \mathbb{N},600 > a > 13} \right)\).
Khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì dư lần lượt 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh nên ta có \(a - 6\) chia hết cho 8, \(a - 10\) chia hết cho 10; \(a - 13\) chia hết cho 15.
Hay nhận thấy \(\left( {a + 2} \right) \vdots 8\); \(\left( {a + 2} \right) \vdots 10\); \(\left( {a + 2} \right) \vdots 15\).
Do đó, \(\left( {a + 2} \right)\) là BC\(\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)\)
Ta có: \(8 = {2^3};{\rm{ }}12 = {2^2} \cdot 3;{\rm{ 1}}5 = 3 \cdot 5\) suy ra BCNN\(\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)\)\( = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 = 120\).
Do đó, \(a + 2 = 120 \cdot k\) (với \(k\) là số tự nhiên)
Nếu \(k = 0\) thì \(a = - 2\) (loại)
Nếu \(k = 1\) thì \(a = 118\) (loại) (vì 118 không chia hết cho 13)
Nếu \(k = 2\) thì \(a = 238\) (loại) (vì 238 không chia hết cho 13)
Nếu \(k = 3\) thì \(a = 358\) (loại) (vì 358 không chia hết cho 13)
Nếu \(k = 4\) thì \(a = 478\) (loại) (vì 478 không chia hết cho 13)
Nếu \(k = 5\) thì \(a = 598\) (thỏa mãn vì 598 chia hết cho 13).
Nếu \(k = 6\) thì \(a = 718\) (loại vì \(a < 600\)).
Vậy số học sinh của trường này là 598 học sinh.
Một khu vườn hình chữ nhật \(ABCD\) có chu vi là \(102{\rm{ m}}\) được chia thành 7 hình chữ nhật như nhau như hình vẽ minh họa dưới đây.
Nếu tăng chiều rộng thêm 5 m và giảm chiều dài đi 5 m thì diện tích khu vườn thay đổi như thế nào?
Hướng dẫn giải
Gọi chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là \(b\), chiều dài hình chữ nhật nhỏ là \(a\).
Do đó, chiều dài khu vườn hình chữ nhật \(ABCD\) là \(2a = 5b{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Chiều rộng khu vườn hình chữ nhật \(ABCD\) là \(a + b{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Chu vi của khu vườn hình chữ nhật \(ABCD\) là \(\left( {2a + a + b} \right) \cdot 2 = 102\)
Hay \(10b + 2a + 2b = 102\)
Mà \(2a = 5b\) nên \(10b + 5b + 2b = 102\) do đó \(17b = 102\) hay \(b = 102:17 = 6{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Suy ra \(a = 15{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)
Suy ra chiều dài ban đầu của khu vườn là \(2 \cdot 15 = 30{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Chiều rộng ban đầu của khu vườn là: \(15 + 6 = 21{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Diện tích ban đầu của khu vườn là: \(30 \cdot 21 = 630{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích sau khi thay đổi của khu vườn là: \(\left( {21 - 5} \right)\left( {21 + 5} \right) = 650{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Do đó, diện tích khu vườn thay đổi là: \(650 - 630 = 20{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy diện tích khu vườn tăng \(20{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)
Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu có thể sử dụng ít nhất một trong ba thứ tiếng: Nga, Trung Quốc và Anh. Biết rằng có 30 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh, 40 đại biểu nói được tiếng Nga, 45 đại biểu nói được tiếng trung và 10 đại biểu chỉ nói được hai thứ tiếng Nga và
Trung Quốc. Hỏi có bao nhiêu đại biểu nói được cả ba thứ tiếng?
Hướng dẫn giải
Số đại biểu nói được tiếng Nga hoặc tiếng Trung Quốc là: \(100 - 30 = 70\) (đại biểu).
Số đại biểu nói được tiếng Nga nhưng không nói được tiếng Trung Quốc là: \(70 - 45 = 25\) (đại biểu).
Số đại biểu nói được tiếng Trung Quốc nhưng không nói được tiếng Nga là: \(70 - 40 = 30\) (đại biểu).
Số đại biểu nói được tiếng Nga và tiếng Trung Quốc là: \(70 - \left( {25 + 30} \right) = 15\) (đại biểu).
Số đại biểu nói được cả ba thứ tiếng là: \(15 - 10 = 5\) (đại biểu).
Tìm số tự nhiên a và b, biết:ƯCLNa, b=15, BCNNa, b=300 và a+15=b.
Vì ƯCLN\[\left( {a,\,\,b} \right) = 15\] nên \(a = 15k;\,\,\,b = 15m\) với ƯCLN\(\left( {k,m} \right) = 1\).
Mà BCNN\(\left( {a,\,\,b} \right) = 300\) nên \(15 \cdot k \cdot m = 300\) hay \(km = 20 = 1 \cdot 20 = 2 \cdot 10 = 4 \cdot 5\) (1)
Vì \(a + 15 = b\) nên \(15k + 15 = 15m,\) suy ra \(k + 1 = m\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(k = 4,\,\,m = 5\) nên \(a = 15 \cdot 4 = 60,\,\,b = 15 \cdot 5 = 75.\)
Vậy \(a = 60\) và \(b = 75\).
