Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3
27 câu hỏi
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}.\)
a) Ta có \(A = 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}\) nên \(5A = 5 \cdot \left( {5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}} \right) = {5^2} + {5^3} + {5^4} + ... + {5^{101}}\).
Suy ra \(5A - A = \left( {{5^2} + {5^3} + {5^4} + ... + {5^{101}}} \right) - \left( {5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}} \right)\)
Do đó \(4A = {5^{101}} - 5\) nên \(A = \frac{{{5^{101}} - 5}}{4}.\)
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
b) \(B = 1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}\).
b) Ta có \(B = 1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}\) nên \({3^2} \cdot B = {3^2} \cdot \left( {1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}} \right) = {3^2} + {3^4} + {3^6} + ... + {3^{102}}\).
Suy ra \[{3^2}B - B = \left( {{3^2} + {3^4} + {3^6} + ... + {3^{102}}} \right) - \left( {1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}} \right)\]
Do đó \[8B = {3^{102}} - 1\] nên \[B = \frac{{{3^{102}} - 1}}{8}.\]
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
c) \(C = 2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}.\).
c) Ta có \[C = 2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... - {2^{100}}\] nên
\(2C = 2 \cdot \left( {2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}} \right) = {2^2} - {2^3} + {2^4} - {2^5} + ... + {2^{100}} - {2^{101}}\)
Suy ra \[2C + C = \left( {{2^2} - {2^3} + {2^4} - {2^5} + ... + {2^{100}} - {2^{101}}} \right) + \left( {2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}} \right)\]
Do đó \[3C = 2 - {2^{101}}\] nên \[C = \frac{{2 - {2^{101}}}}{3}.\]
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
d) \(D = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100\).
d) Ta có \(D = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100\) nên \(3D = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 3\)
Suy ra \(3D = 1 \cdot 2 \cdot \left( {3 - 0} \right) + 2 \cdot 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot 100 \cdot \left( {101 - 98} \right)\)
\[ = 1 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 101 - 99 \cdot 100 \cdot 98\]
\[ = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 3 \cdot 1} \right) + \left( {2 \cdot 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4 \cdot 2} \right) + ... + \left( {98 \cdot 99 \cdot 100 - 99 \cdot 100 \cdot 98} \right) + \left( {99 \cdot 100 \cdot 101 - 1 \cdot 2 \cdot 0} \right)\]
\[ = 99 \cdot 100 \cdot 101 - 0 = 99 \cdot 100 \cdot 101\].
Do đó \(D = \frac{{99 \cdot 100 \cdot 101}}{3} = 33 \cdot 100 \cdot 101 = 333\,\,300\).
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:e) \(E = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100.\)
e) Ta có \(E = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100\) nên \(4E = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 4\)
Suy ra \(4E = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left( {5 - 1} \right) + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot \left( {101 - 97} \right)\)
\( = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101 - 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 97\)
\( = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1} \right) + \left( {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 2} \right) + ...\left( {97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100 - 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 97} \right) + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101\)
\( = 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101\)
Do đó \(E = \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101}}{4} = 24\,\,497\,\,550.\)
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
f) \(F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}.\)
f) \(F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}\)
\( = 1 \cdot \left( {2 - 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot \left( {100 - 1} \right) + 100 \cdot \left( {101 - 1} \right)\)
\[ = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 - 99 \cdot 1 + 100 \cdot 101 - 100 \cdot 1\]
\[ = 1 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 3 - 2 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 - 99 + 100 \cdot 101 - 100\]
\[ = \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 + 100 \cdot 101} \right) - \left( {1 + 2 + ... + 99 + 100} \right)\]
\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot \left( {100 + 1} \right)}}{2}\] (tương tự câu d)
\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot 101}}{2}\]
\[ = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot 2 - 100 \cdot 101 \cdot 3}}{6}\]
\( = \frac{{100 \cdot 101 \cdot 201}}{6} = 338\,\,350.\)
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
g) \(G = 1 \cdot 99 + 2 \cdot 98 + 3 \cdot 97 + ... + 98 \cdot 2 + 99 \cdot 1\).
g) \(G = 1 \cdot 99 + 2 \cdot 98 + 3 \cdot 97 + ... + 98 \cdot 2 + 99 \cdot 1\)
\( = 1 \cdot 99 + 2 \cdot \left( {99 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {99 - 2} \right) + ... + 98 \cdot \left( {99 - 97} \right) + 99 \cdot \left( {99 - 98} \right)\)
\[ = 1 \cdot 99 + 2 \cdot 99 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 99 - 3 \cdot 2 + ... + 98 \cdot 99 - 98 \cdot 97 + 99 \cdot 99 - 99 \cdot 98\]
\[ = \left( {1 \cdot 99 + 2 \cdot 99 + 3 \cdot 99 + ... + 98 \cdot 99 + 99 \cdot 99} \right) - \left( {2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + ... + 98 \cdot 97 + 99 \cdot 98} \right)\]
\[ = 99 \cdot \left( {1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99} \right) - \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100}}{3}\] (tương tự câu d)
\[ = 99 \cdot \frac{{99 \cdot \left( {99 + 1} \right)}}{2} - 98 \cdot 33 \cdot 100\]
\[ = 99 \cdot 99 \cdot 50 - 98 \cdot 33 \cdot 100 = 166\,\,650.\]
Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
h) \(H = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + ... + 97 \cdot 99 + 98 \cdot 100\).
h) \(H = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + ... + 97 \cdot 99 + 98 \cdot 100\)
\( = 1 \cdot \left( {2 + 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 + 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 + 1} \right) + ... + 97 \cdot \left( {98 + 1} \right) + 98 \cdot \left( {99 + 1} \right)\)
\( = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + ... + 97 \cdot 98 + 97 \cdot 1 + 98 \cdot 99 + 98 \cdot 1\)
\[ = \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ... + 97 \cdot 98 + 98 \cdot 99} \right) + \left( {1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98} \right)\]
\[ = \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100}}{3} + \frac{{98 \cdot \left( {98 + 1} \right)}}{2}\] (tương tự câu d)
\[ = 98 \cdot 33 \cdot 100 + 49 \cdot 99 = 328\,\,251.\]
Cho \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}}.\) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức \(A\) chia hết cho cả \(3,\,\,5,\,\,7.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
⦁ \[A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}}\]
\[ = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8}} \right) + ... + \left( {{2^{117}} + {2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)\] (30 nhóm)
\( = 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + {2^5} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + ... + {2^{117}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right)\)
\( = \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)
\( = 15 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)
\( = 3 \cdot 5 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)\)
Kết quả trên chia hết cho 3 và 5 nên \(A\,\, \vdots \,\,3,\,\,\,A\,\, \vdots \,\,5.\)
⦁ \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}} = \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + ... + \left( {{2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)\) (40 nhóm)
\( = 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + ... + {2^{118}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\)
\( = \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)\)
\( = 7 \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,7.\)
Do đó \(A\,\, \vdots \,\,7.\)
Tìm số nguyên \(n\) sao cho:
a) \(5\,\, \vdots \,\,\left( {n + 1} \right)\).
a) Vì \(n \in \mathbb{Z}\) nên \(5\,\, \vdots \,\,\left( {n + 1} \right)\) khi \(\left( {n + 1} \right) \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5} \right\}.\)
⦁ Với \(n + 1 = 1,\) suy ra \(n = 0\) (thỏa mãn);
⦁ Với \(n + 1 = - 1,\) suy ra \(n = - 2\) (thỏa mãn);
⦁ Với \(n + 1 = 5,\) suy ra \(n = 4\) (thỏa mãn);
⦁ Với \(n + 1 = - 5,\) suy ra \(n = - 6\) (thỏa mãn).
Vậy \(n \in \left\{ {0;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 6} \right\}.\)
Tìm số nguyên \(n\) sao cho:
b) \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\).
b) Vì \(n \in \mathbb{Z}\) nên \(\left( {n - 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\).
Mà \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\) nên \[\left[ {\left( {n + 3} \right) - \left( {n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\] hay \[1\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\].
Do đó \(\left( {n - 2} \right) \in \)Ư\(\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.\)
⦁ Với \(n - 2 = 1,\) suy ra \(n = 3\) (thỏa mãn);
⦁ Với \(n - 2 = - 1,\) suy ra \(n = 1\) (thỏa mãn).
Vậy \(n \in \left\{ {3;\,\,1} \right\}.\)
Tìm số nguyên \(n\) sao cho:
c) \(\left( {4n - 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)\).
c) Vì \(n \in \mathbb{Z}\) nên \(\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)\), suy ra \(2\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)\) hay \(\left( {4n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)\).
Mà \(\left( {4n - 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)\) nên \(\left[ {\left( {4n + 2} \right) - \left( {4n - 1} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)\) hay \(3\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)\)
Do đó \(\left( {2n + 1} \right) \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,3;\,\, - 3} \right\}.\)
⦁ Với \(2n + 1 = 1,\) suy ra \(n = 0\) (thỏa mãn);
⦁ Với \(2n + 1 = - 1,\) suy ra \(n = - 1\) (thỏa mãn);
⦁ Với \(2n + 1 = 3,\) suy ra \(n = 1\) (thỏa mãn);
⦁ Với \(2n + 1 = - 3,\) suy ra \(n = - 2\) (thỏa mãn).
Vậy \(n \in \left\{ {0;\,\, - 1;\,\,1;\,\, - 2} \right\}.\)
Tìm số nguyên \(n\) sao cho:
d) \(\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)\).
d) Vì \(n \in \mathbb{Z}\) nên \(\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)\).
Mà \(\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)\) nên \(3\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)\) hay \(\left( {3n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\left( {3n + 3} \right) - \left( {3n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)\) hay \(1\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)\)
Do đó \(\left( {3n + 2} \right) \in \)Ư\(\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.\)
⦁ Với \(3n + 2 = 1,\) suy ra \(n = - \frac{1}{3}\) (không thỏa mãn);
⦁ Với \(3n + 2 = - 1,\) suy ra \(n = - 1\) (thỏa mãn).
Thử lại, với \(n = - 1\) ta có \(n + 1 = 0\) và \(3n + 2 = - 1,\) nên \(\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)\).
Vậy \(n = - 1.\)
Tìm các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn:
a) \(\left( {x + 3} \right)\left( {y - 5} \right) = - 5.\)
a) Với \(x \in \mathbb{Z},\) từ \(\left( {x + 3} \right)\left( {y - 5} \right) = - 5\) ta có \(x + 3 \in \)Ư\(\left( { - 5} \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5} \right\}\).
Ta có bảng sau:
\(x + 3\) | \(1\) | \( - 1\) | \(5\) | \( - 5\) |
\(y - 5\) | \( - 5\) | \(5\) | \( - 1\) | \(1\) |
\(x \in \mathbb{Z}\) | \( - 2\) | \( - 4\) | \(2\) | \( - 8\) |
\(y \in \mathbb{Z}\) | \(0\) | \(10\) | \(4\) | \(6\) |
| Thỏa mãn | Thỏa mãn | Thỏa mãn | Thỏa mãn |
Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;\,\,0} \right);\,\,\left( { - 4;\,\,10} \right);\,\,\left( {2;\,\,4} \right);\,\,\left( { - 8;6} \right)} \right\}.\)
Tìm các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn:
b) \[\left( {2x - 3} \right)\left( {y + 2} \right) = 12.\]
b) Với \(x \in \mathbb{Z},\) từ \[\left( {2x - 3} \right)\left( {y + 2} \right) = 12\]
ta có \(2x - 3 \in \)Ư\(\left( {12} \right) = \left\{ {1;\, - 1;\,\,2;\, - 2;\,\,3;\, - 3;\,\,4;\, - 4;\,\,6;\, - 6;\,\,12;\, - 12} \right\}\)
Mà \(2x - 3\) là số nguyên lẻ nên ta có \[2x - 3 \in \left\{ {1;\, - 1;\,\,3;\, - 3} \right\}\].
Ta có bảng sau:
\(2x - 3\) | \(1\) | \( - 1\) | \(3\) | \( - 3\) |
\(y + 2\) | \(12\) | \( - 12\) | \(4\) | \( - 4\) |
\(x \in \mathbb{Z}\) | \(2\) | \(1\) | \(3\) | \(0\) |
\(y \in \mathbb{Z}\) | \(10\) | \( - 14\) | \(2\) | \( - 6\) |
| Thỏa mãn | Thỏa mãn | Thỏa mãn | Thỏa mãn |
Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {2;\,\,10} \right);\,\,\left( {2;\,\, - 14} \right);\,\,\left( {3;\,\,2} \right);\,\,\left( {0;\,\, - 6} \right)} \right\}.\)
Tìm các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn:
c) \[xy + 2x + 3y = 0.\]
c) Ta có: \[xy + 2x + 3y = 0\]
\(x\left( {y + 2} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 6\)
\(\left( {y + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\).
Với \(x \in \mathbb{Z},\) từ \(\left( {y + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\) ta có \(x + 3 \in \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ {1;\, - 1;\,\,2;\, - 2;\,\,3;\, - 3;\,\,6;\, - 6} \right\}\)
Ta có bảng sau:
\(x + 3\) | \(1\) | \( - 1\) | \(2\) | \( - 2\) | \(3\) | \( - 3\) | \(6\) | \( - 6\) |
\(y + 2\) | \(6\) | \( - 6\) | \(3\) | \( - 3\) | \(2\) | \( - 2\) | \(1\) | \( - 1\) |
\(x \in \mathbb{Z}\) | \( - 2\) | \( - 4\) | \( - 1\) | \( - 5\) | \(0\) | \( - 6\) | \(3\) | \( - 9\) |
\(y \in \mathbb{Z}\) | \(4\) | \( - 8\) | \(1\) | \( - 5\) | \(0\) | \( - 4\) | \( - 1\) | \( - 3\) |
| Thỏa mãn | Thỏa mãn | Thỏa mãn | Thỏa mãn | Thỏa mãn | Thỏa mãn | Thỏa mãn | Thỏa mãn |
Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;\,\,4} \right);\,\,\left( { - 4;\,\, - 8} \right);\,\,\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\left( { - 5;\,\, - 5} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( { - 6;\,\, - 4} \right);\,\,\left( {3;\,\, - 1} \right);\,\,\left( { - 9;\,\, - 3} \right)} \right\}.\)
Tìm các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn:
d) \(3xy - x + y - 2 = 0.\)
d) Ta có: \(3xy - x + y - 2 = 0\)
\[9xy - 3x + 3y - 6 = 0\]
\[3x\left( {3y - 1} \right) + \left( {3y - 1} \right) = 5\]
\[\left( {3y - 1} \right)\left( {3x + 1} \right) = 5\].
Với \(x \in \mathbb{Z},\) từ \[\left( {3y - 1} \right)\left( {3x + 1} \right) = 5\] ta có \(3x + 1 \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5} \right\}\).
Ta có bảng sau:
\(3x + 1\) | \(1\) | \( - 1\) | \(5\) | \( - 5\) |
\(3y - 1\) | \(5\) | \( - 5\) | \(1\) | \( - 1\) |
\(x \in \mathbb{Z}\) | \(0\) |
|
| \( - 2\) |
\(y \in \mathbb{Z}\) | \(2\) |
|
| \(0\) |
| Thỏa mãn | Loại | Loại | Thỏa mãn |
Vậy \[\left( {x;\,\,y} \right) = \left\{ {\left( {0;\,\,2} \right);\,\,\left( { - 2;\,\,0} \right)} \right\}.\]
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[n,\] các cặp số sau là các số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1):
a) \(n + 5\) và \(n + 6\). b) \(5n + 3\) và \(3n + 2\).
a) Gọi ƯCLN\(\left( {n + 5,\,\,n + 6} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),\) suy ra \(\left( {n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {n + 6} \right)\,\, \vdots \,\,d\).
Do đó \(\left[ {\left( {n + 6} \right) - \left( {n + 5} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\) hay \(1\,\, \vdots \,\,d\) nên \(d = 1.\)
Vậy \(n + 5\) và \(n + 6\)là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Gọi ƯCLN\(\left( {5n + 3,\,\,3n + 2} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),\) suy ra \(\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d\).
Từ \(\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \[3\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\] hay \(\left( {15n + 9} \right)\,\, \vdots \,\,d\).
Từ \(\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(5\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {15n + 10} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Do đó \(\left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\) hay \(1\,\, \vdots \,\,d\) nên \(d = 1.\)
Vậy \(5n + 3\) và \(3n + 2\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Cho \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng \(5a + 2b\) và \(7a + 3b\) cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi ƯCLN\(\left( {5a + 2b,\,\,7a + 3b} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),\) suy ra \(\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\).
⦁ Từ \(\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(3\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {15a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Từ \(\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(2\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {14a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Do đó \(\left[ {\left( {15a + 6b} \right) - \left( {14a + 6b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\) hay \(a\,\, \vdots \,\,d\) (1).
⦁ Từ \(\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(7\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {35a + 14b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Từ \(\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(5\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {35a + 15b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Do đó \(\left[ {\left( {35a + 15b} \right) - \left( {35a + 14b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\) hay \(b\,\, \vdots \,\,d\) (2).
⦁ Từ (1) và (2) suy ra \(d = \)ƯC\(\left( {a,\,\,b} \right)\).
Mà \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN\(\left( {a,\,\,b} \right) = 1.\) Do đó \(d = 1.\)
Vậy \(5a + 2b\) và \(7a + 3b\) là hai số nguyên số cùng nhau.
Tìm các số tự nhiên \(n\) để mỗicặp số sau là hai số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là \(1).\)
a) \(3n + 4\) và \(9n + 5\).
Hướng dẫn giải
a) Gọi ƯCLN\(\left( {3n + 4,\,\,9n + 5} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Suy ra \(\left( {3n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {9n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Từ \(\left( {3n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(3\left( {3n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {9n + 12} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Do đó \[\left[ {\left( {9n + 12} \right) - \left( {9n + 5} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\] hay \[7\,\, \vdots \,\,d\] nên \[d \in \left\{ {1;\,\,7} \right\}.\]
Để \(3n + 4\) và \(9n + 5\) là hai số nguyên tố cùng nhau thì \(d \ne 7\), tức là \(\left( {3n + 4} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7,\) suy ra \(\left( {3n + 4 - 7} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7,\) do đó \(\left( {3n - 3} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7,\) hay \(\left( {n - 1} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7\) nên \(n \ne 7k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).
Vậy \(n \ne 7k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì \(3n + 4\) và \(9n + 5\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Tìm các số tự nhiên \(n\) để mỗicặp số sau là hai số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là \(1).\)
b) \(n + 3\) và \(6n + 1\).
b) Gọi ƯCLN\(\left( {n + 3,\,\,6n + 1} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Suy ra \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {6n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Từ \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(6\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {6n + 18} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
Do đó \[\left[ {\left( {6n + 18} \right) - \left( {6n + 1} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\] hay \[17\,\, \vdots \,\,d\] nên \[d \in \left\{ {1;\,\,17} \right\}.\]
Để \(18n + 3\) và \(21n + 7\) là hai số nguyên tố cùng nhau thì \(d \ne 17,\) tức là \(\left( {n + 3} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,17\) suy ra \(n \ne 17k - 3\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).
Vậy \(n \ne 17k - 3\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì \(n + 3\) và \(6n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Một con robot xuất phát từ A đi thẳng đến B. Nó được lập trình cứ tiến 6 bước thì lùi lại 2 bước và để đến được B thì con robot đã thực hiện tổng cộng 126 bước. Hỏi khoảng cách từ A đến B dài bao nhiêu mét, biết mỗi bước đi của robot dài \(5{\rm{\;dm}}.\)
Hướng dẫn giải
Vì robot được lập trình cứ tiến 6 bước thì lùi 2 bước nên mỗi lượt thực hiện một lập trình, robot đi được quãng đường là: \(6 \cdot 5 - 2 \cdot 5 = 20{\rm{\;dm}}{\rm{.}}\)
Như vậy, mỗi lần thực hiện một lập trình robot đi được quãng đường \(20{\rm{\;dm}}\) và bước tổng \(6 + 2 = 8\) bước.
Ta có: \(126:8 = 15\) dư 6.
Do đó để đến B thì robot đã thực hiện 15 lập trình và bước thêm 6 bước.
Khi đó, quãng đường robot đi được là: \(15 \cdot 20 + 6 \cdot 5 = 330{\rm{\;(dm)}}{\rm{.}}\)
Vậy khoảng cách từ A đến B dài 330 dm.
Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là \[65{\rm{\;kg,}}\,\,71{\rm{\;kg}},\,\,58{\rm{\;kg}},\,\,72{\rm{\;kg}},\,\,93{\rm{\;kg}}.\] Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xoài gấp ba lần số lượng cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam và giỏ nào đựng xoài.
Hướng dẫn giải
Tổng khối lượng xoài và xam lúc đầu là:
\(65 + 71 + 58 + 72 + 93 = 359\) (kg).
Vì sau khi bán một giỏ cam khối lượng xoài gấp ba lần số lượng cam còn lại nên tổng khối lượng xoài và cam còn lại là một số chia hết cho 4.
Mà số \(359\) chia 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi phải có khối lượng là một số chia 4 dư 3.
Trong các số \(65,\,\,71,\,\,58,\,\,72,\,\,93\) thì chỉ có số \(71\) chia 4 dư 3.
Như vậy, giỏ cam bán đi là giỏ có khối lượng \[71{\rm{\;kg}}{\rm{.}}\]
Khối lượng xoài và cam còn lại là: \(359 - 71 = 288{\rm{\;(kg)}}{\rm{.}}\)
Khối lượng cam còn lại là: \(288:4 = 72{\rm{\;(kg)}}{\rm{.}}\)
Vậy, các giỏ cam là các giỏ có khối lượng: \[71{\rm{\;kg}},\,\,72{\rm{\;kg;}}\] các giỏ xoài là các giỏ có khối lượng \[65{\rm{\;kg,}}\,\,58{\rm{\;kg}},\,\,93{\rm{\;kg}}.\]
Trong các nhà máy luyện kim, những ống thép thường được xếp rất đều đặn như hình bên. Xếp như vậy không những đẹp mắt mà lại còn đếm rất tiện. Xếp như vậy không những đẹp mắt mà đếm cũng rất tiện. Một đống thép có kích thước như nhau, người công nhân chỉ cần đếm xem ở đáy có bao nhiêu ống là lập tức có thể biết đống thép ấy có bao nhiêu ống. Nếu người công nhân có \(465\) ống thì cần xếp bao nhiêu hàng và hàng dưới cùng có bao nhiêu ống? Biết rằng khi xếp ống thì người công nhân xếp hàng bên trên ít hơn hàng bên dưới 1 ống và hàng trên cùng có 1 ống.
Hướng dẫn giải
Gọi \(n\) là số ống mà hàng dưới cùng người công nhân đã xếp.
Theo bài, tổng số ống mà người công nhân xếp là: \(1 + 2 + 3 + ... + n\) (ống).
Tổng trên là tổng của dãy số \(1,\,\,2,\,\,3,\,\,...,\,\,\,n\) có \(n\) số hạng và cách đều nhau 1 đơn vị.
Như vậy, tổng của dãy số trên là: \(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2}.\)
Theo bài, người công nhân cần xếp 465 ống nên ta có: \(\frac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2} = 465.\)
Suy ra \(n \cdot \left( {n + 1} \right) = 930.\)
Hai số \(n\), \(n + 1\) là hai số tự nhiên liên tiếp và ta thấy rằng \(30 \cdot 31 = 930\) nên \(n = 30.\)
Vậy người công nhân cần xếp 30 hàng và hàng dưới cùng xếp 30 ống.
Biết ngày 14/11/2024 vào Thứ Năm. Hãy tính xem ngày Quốc Khánh năm 1945 của Việt Nam là vào ngày nào trong tuần.
Hướng dẫn giải
⦁ Từ ngày 02/09/1945 đến ngày 02/09/2024 có \(2\,\,024 - 1\,\,945 = 79\) (năm).
Vì cứ 4 năm lại có 1 năm nhuận, mà \(79:4 = 19\) dư 3 nên trong 79 năm có 19 năm nhuận.
Như vậy, 79 năm này có số ngày là: \(79 \cdot 365 + 19 = 28\,\,854\) (ngày).
⦁ Tháng 9 có 30 ngày và tháng 10 có 31 ngày.
Từ ngày 02/09/2024 đến ngày 14/11/2024 có: \(29 + 31 + 14 = 74\) (ngày).
Như vậy, từ ngày 02/09/1945 đến ngày 31/10/2024 có: \(28\,\,854 + 74 = 28\,\,928\) (ngày).
Ta có: \(28\,\,928:7 = 4\,\,132\) dư 4.
Do đó từ ngày 02/09/1945 đến ngày 14/11/2024 có: \(4\,\,132\) tuần và 4 ngày.
Vậy ngày Quốc Khánh 02/09/1945 vào Chủ Nhật.
Một trường học không có quá 600 học sinh. Biết rằng khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì lần lượt dư 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh còn nếu khi xếp thành 13 hàng thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường này.
Hướng dẫn giải
Gọi số học sinh của trường đó là \(a\) học sinh \(\left( {a \in \mathbb{N},600 > a > 13} \right)\).
Khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì dư lần lượt 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh nên ta có \(a - 6\) chia hết cho 8, \(a - 10\) chia hết cho 10; \(a - 13\) chia hết cho 15.
Hay nhận thấy \(\left( {a + 2} \right) \vdots 8\); \(\left( {a + 2} \right) \vdots 10\); \(\left( {a + 2} \right) \vdots 15\).
Do đó, \(\left( {a + 2} \right)\) là BC\(\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)\)
Ta có: \(8 = {2^3};{\rm{ }}12 = {2^2} \cdot 3;{\rm{ 1}}5 = 3 \cdot 5\) suy ra BCNN\(\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)\)\( = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 = 120\).
Do đó, \(a + 2 = 120 \cdot k\) (với \(k\) là số tự nhiên)
Nếu \(k = 0\) thì \(a = - 2\) (loại)
Nếu \(k = 1\) thì \(a = 118\) (loại) (vì 118 không chia hết cho 13)
Nếu \(k = 2\) thì \(a = 238\) (loại) (vì 238 không chia hết cho 13)
Nếu \(k = 3\) thì \(a = 358\) (loại) (vì 358 không chia hết cho 13)
Nếu \(k = 4\) thì \(a = 478\) (loại) (vì 478 không chia hết cho 13)
Nếu \(k = 5\) thì \(a = 598\) (thỏa mãn vì 598 chia hết cho 13).
Nếu \(k = 6\) thì \(a = 718\) (loại vì \(a < 600\)).
Vậy số học sinh của trường này là 598 học sinh.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là \(76\,\,{\rm{m}}\) được chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ có các chiều dài bằng nhau và các chiều rộng bằng nhau.
Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu.
Hướng dẫn giải
Gọi chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là \(b\), chiều dài hình chữ nhật nhỏ là \(a\,\,\left( {x,b > 0,\,\,{\rm{m}}} \right)\).
Chu vi của khu vườn hình chữ nhật là \(\left( {2a + a + 2b} \right) \cdot 2 = 76\)
Hay \(6a + 4b = 76\) (1)
Ta có \(2a = 5b\) nên \(6a = 15b\) (2)
Thay (2) vào (1) ta được \(15b + 4b = 76\) hay \(19b = 76\) nên \(b = 76:19\) suy ra \(b = 4.\)
Suy ra \(a = 10\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Suy ra chiều dài ban đầu của khu vườn là \(2 \cdot 10 = 20{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Chiều rộng ban đầu của khu vườn là: \(a + 2b = 10 + 2 \cdot 4 = 18{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Diện tích ban đầu của khu vườn là: \(20 \cdot 18 = 360{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy diện tích khu vườn ban đầu là \(360{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)
