Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Tự luận
40 câu hỏi
Hướng dẫn giải
a) Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)
\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x.\)
Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1.\)
Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1.\)
b) Với \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1,\) ta có:
\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]
\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)
\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)
\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)
\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]
Vậy với \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)
c) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 = - 1\)
Do đó \(x = - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = - 4\) (thỏa mãn điều kiện)
Thay \(x = - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được: \(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} = - \frac{1}{6}.\)
Vậy \(A = - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)
Hướng dẫn giải
a) Với mọi \(x\) ta có \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 4 \ge 4 > 0.\)
Do đó biểu thức \(P\) xác định khi và chỉ khi \(x - 10 \ne 0\) và \(x + 10 \ne 0\) hay \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10.\)
b) Với \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10,\) ta có:
\(P = \left( {\frac{{5x + 2}}{{x - 10}} + \frac{{5x - 2}}{{x + 10}}} \right) \cdot \frac{{x - 10}}{{{x^2} + 4}}\)
\( = \frac{{\left( {5x + 2} \right)\left( {x + 10} \right) + \left( {5x - 2} \right)\left( {x - 10} \right)}}{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}} \cdot \frac{{x - 10}}{{{x^2} + 4}}\)
\( = \frac{{5{x^2} + 50x + 2x + 20 + 5{x^2} - 50x - 2x + 20}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}\)
\( = \frac{{10{x^2} + 40}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}\) \( = \frac{{10\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \frac{{10}}{{x + 10}}.\)
Vậy với \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10\) thì \(P = \frac{{10}}{{x + 10}}.\)
c) Thay \[x = \frac{2}{5}\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P = \frac{{10}}{{x + 10}},\) ta được:
\(P = \frac{{10}}{{\frac{2}{5} + 10}} = \frac{{10}}{{\frac{{52}}{5}}} = \frac{{25}}{{26}}.\)
Vậy \(P = \frac{{25}}{{26}}\) khi \[x = \frac{2}{5}.\]
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định của biểu thức \[P\] là:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\{x^2} + 2x \ne 0\\{x^3} - 4x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 \ne 0}\\{x + 2 \ne 0}\\{x \ne 0\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2\;\;}\\{x \ne - 2}\\{x \ne 0\;\;}\end{array}} \right.\].
b) Với \[x \ne 2\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne 0\], ta có:
\(P = \left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{4}{{{x^3} - 4x}}} \right):\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)\)
\( = \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]:\frac{{x - 2}}{x}\)
\( = \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)
\( = \frac{{x - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^2} - x + 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{{x^2} + x - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^2} + x - 2 + {x^2} - x - 2 - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{2{x^2} - 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{2}{{x - 2}}\).
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn giải
|
a) \(\frac{{x - 2}}{6} - \frac{x}{2} = \frac{{5 - 2x}}{3}\) \(\frac{{x - 2}}{6} - \frac{{3x}}{6} = \frac{{2\left( {5 - 2x} \right)}}{6}\) \(x - 2 - 3x = 2\left( {5 - 2x} \right)\) \( - 2x - 2 = 10 - 4x\) \(2x = 12\). \(x = 6\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 6.\)
|
b) \(\frac{{2x - 1}}{3} + \frac{{x + 4}}{2} = \frac{{5x + 20}}{6}\) \[\frac{{2\left( {2x - 1} \right)}}{6} + \frac{{3\left( {x + 4} \right)}}{6} = \frac{{5x + 20}}{6}\] \[\frac{{4x - 2}}{6} + \frac{{3x + 12}}{6} = \frac{{5x + 20}}{6}\] \[\frac{{7x + 10}}{6} = \frac{{5x + 20}}{6}\] \[7x + 10 = 5x + 20\] \[7x - 5x = 20 - 10\] \[2x = 10\] \[x = 5\] Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 5.\] |
|
c) \[x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\] \[x\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + 1\] \[{x^3} + 6{x^2} + 9 - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 9\] \[15x = 0\] \[x = 0\] Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 0\]. |
d) \[{x^3} - 1 + \left( {1 - x} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\] \[{x^3} - 1 + x - {x^2} - 5 + 5x = 0\] \[{x^3} - {x^2} + 6x - 6 = 0\] \[{x^2}\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right) = 0\] \[\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = 0\] \[x - 1 = 0\] (vì \[{x^2} + 6 > 0\]) \[x = 1\] Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 1\] |
Hướng dẫn giải
Gọi x (km) là quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Quy Nhơn (\(x > 0\)).
Thời gian xe đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Quy Nhơn là \(\frac{x}{{80}}\) (giờ).
Thời gian về của ô tô là \(\frac{x}{{90}}\) (giờ).
Đổi 54 phút \( = \frac{9}{{10}}\) giờ
Thời gian về ít hơn thời gian đi 54 phút nên ta có phương trình:
\(\frac{x}{{80}} - \frac{x}{{90}} = \frac{9}{{10}}\)
\(\frac{x}{8} - \frac{x}{9} = 9\)
\(9x - 8x = 648\)
\(x = 648\) (nhận).
Vậy quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Quy Nhơn là 648 km.
Hướng dẫn giải
Gọi\[x\] (đồng) là số tiền người mua hàng phải trả nếu mua trước ngày chủ nhật \[\left( {x > 0} \right)\]
Nếu mua hàng vào ngày chủ nhật thì số tiền người đó phải trả là:
\[x + 20\% x = 1,2x\] (đồng).
Vì sang ngày thứ hai, cửa hàng lại giảm giá tất cả các mặt hàng \[20\% \] so với ngày chủ nhật nên số tiền người đó đã trả là \[1,2x - 20\% \cdot 1,2x = 0,96x\] (đồng).
Theo bài ra ta có phương trình \[0,96x = 24\,\,000\]
\[x = 25\,\,000\] (thỏa mãn)
Vậy số tiền người mua hàng phải trả nếu mua trước ngày chủ nhật là \[25\,\,000\] đồng.
Hướng dẫn giải
Gọi x (phút) là thời gian đi xe đạp (\(x > 0\)).
Thời gian đi bộ là \(60 - x\) (phút).
Lượng calo tiêu thụ do đạp xe là 15x (calo).
Lượng calo tiêu thụ do đi bộ là \(10\left( {60 - x} \right)\) (calo).
Vì cả hai hoạt động tiêu hao 775 calo nên ta có phương trình:
\(15x + 10\left( {60 - x} \right) = 775\)
\(5x = 175\)
\(x = 35\) (nhận).
Hướng dẫn giải
Gọi x (đồng) là giá một lốc sữa chua khi chưa tính thuế (\(x > 0\)x).
Giá một gói kẹo sô-cô-la: 2,5x (đồng).
Giá tám gói kẹo sô-cô-la và năm lốc sữa chua khi chưa tính thuế: \(\left( {2,5x} \right)8 + 5x = 25x\) (đồng).
Vì bạn Hằng phải trả \[660\,\,000\] đồng (đã bao gồm 10% thuế VAT) nên:
\(25x + 10\% \cdot 25x = 660\;000\)
\(27,5x = 660\;000\)
\(x = 24\;000\) (nhận)
Vậy khi chưa tính thuế, giá một lốc sữa chua là \(24\;000\) đồng, giá một gói kẹo sô-cô-la là \[2,5x = 60\,\,000\] đồng.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 40 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Hướng dẫn giải
Gọi \[x\] (giờ) là thời gian từ lúc mở vòi thứ ba đến khi đầy bể \[\left( {x > 0} \right)\]
Mỗi giờ vòi thứ nhất, vòi thứ hai, vòi thứ ba chảy được lần lượt là \[\frac{1}{8}\,;\,\,\frac{1}{6}\,;\,\,\frac{1}{4}\] (bể)
Mỗi giờ cả ba vòi chảy được \[\frac{1}{8} + \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}\] (bể)
Mỗi giờ vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{7}{{24}}\] (bể)
Sau \[2\] giờ, vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được \[2 \cdot \frac{7}{{24}} = \frac{7}{{12}}\] (bể)
Sau \[x\] giờ, lượng nước trong bể là \[x \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{x}{{24}}\] (bể)
Theo bài ra ta có phương trình \[\frac{7}{{12}} + \frac{x}{{24}} = 1\]
\[\frac{x}{{24}} = \frac{5}{{12}}\]
\[x = \frac{{24 \cdot 5}}{{12}}\]
\[x = 10\] (TMĐK)
Vậy sau \[10\] giờ kể từ lúc mở vòi thứ ba thì đầy bể.
Hướng dẫn giải
a) Vì đồ thị của hàm số \(y = ax - 4\) đi qua điểm \(M\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\) nên thay \(x = 1\,;\,\,y = - 2\) vào hàm số, ta có: \(1 \cdot a - 4 = - 2\) hay \(a = 2\).
Vậy hàm số có dạng \(y = 2x - 4\).
b) Bảng giá trị:
|
\(x\) |
0 |
1 |
|
\(y = 2x - 4\) |
\( - \,4\) |
\( - 2\) |
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {0;\,\, - \,4} \right)\) và \(\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\).
Ta có đồ thị hàm số \(y = 2x - 4\) như sau:
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng \(\left( d \right):y = - 3x\) đi qua gốc tọa độ \(O\,(0;\,\,0)\) và điểm \(P\left( {1\,;\,\,3} \right)\).
Đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = x + 2\) đi qua gốc tọa độ \(M\,( - 2;\,\,0)\) và cắt trục tung tại điểm \(M\,(0\,;\,\,2).\)
b) Vì đường thẳng \(\left( {d''} \right):y = ax + b\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = x + 2\) nên \(a = 1.\)
Khi đó \(\left( d \right):y = x + b\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\) nên \(3 = - 1 + b\), suy ra \(b = 4.\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = x + 4.\)
Một công ty viễn thông A cung cấp dịch vụ truyền hình cáp với mức phí ban đầu là 300 000 đồng và mỗi tháng phải đóng 150 000 đồng. Công ty viễn thông B cũng cung cấp dịch vụ truyền hình cáp nhưng không tính phí ban đầu và mỗi tháng khách hàng sẽ phải đóng 200 000 đồng.
a) Gọi \[T\] (đồng) là số tiền khách hàng phải trả cho mỗi công ty viễn thông trong \[t\] (tháng) sử dụng dịch vụ truyền hình cáp. Khi đó hãy lập hàm số \[T\] theo t đối với mỗi công ty.
b) Tính số tiền khách hàng phải trả sau khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trong 5 tháng đối với mỗi công ty.
c) Khách hàng cần sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trên mấy tháng thì đăng kí bên công ty viễn thông A sẽ tiết kiệm chi phí hơn?
Hướng dẫn giải
a) Hàm số \[T\] theo t đối với công ty A là: \[T = 150\,\,000t + 300\,\,000.\]
Hàm số \[T\] theo t đối với công ty B là: \[T = 200\,\,000t.\]
b) w Thay \[t = 5\] vào công thức \[T = 150\,\,000t + 300\,\,000\], ta được:
\[T = 15\,\,0000 \cdot 5 + 300\,\,000 = 1\,\,050\,\,000\] (đồng).
Vậy đối với công ty A, sau khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trong 5 tháng thì số tiền phải trả là \(1\,\,050\,\,000\) đồng.
w Thay \[t = 5\] vào công thức \[T = 200\,\,000t\], ta được:
\[T = 200\,\,000 \cdot 5 = 1\,\,000\,\,000\] (đồng).
Vậy đối với công ty B, sau khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trong 5 tháng thì số tiền phải trả là \(1\,\,000\,\,000\) đồng.
c) Để dịch vụ truyền hình cáp của công ty A lợi hơn dịch vụ truyền hình cáp của công ty B thì:
\[150\,\,000t + 300\,\,000 < 200\,\,000t\].
Suy ra \[300\,\,000 < 50{\rm{ }}000t\] hay \[t > 6.\]
Vậy nếu sử dụng từ 7 tháng trở lên thì sử dụng dịch vụ truyền hình cáp bên công ty A sẽ có lợi hơn.
Một cửa hàng sách cũ có một chính sách như sau: nếu khách hàng đăng kí làm hội viên của cửa hàng sách thì mỗi năm phải đóng \[50\,\,000\] đồng chi phí và chỉ phải mướn sách với giá \[5\,\,000\] đồng/cuốn sách, còn nếu khách hàng không phải hội viên thì sẽ mướn sách với giá \[10\,\,000\] đồng/cuốn sách. Gọi \[s\] (đồng) là tổng số tiền mỗi khách hàng phải trả trong mỗi năm và \[t\] là số cuốn sách mà khách hàng mướn.
a) Lập hàm số của \[s\] theo \[t\] đối với khách hàng là hội viên và với khách hàng không phải là hội viên.
b) Trung là một hội viên của cửa hàng sách, năm ngoái thì Trung đã trả cho cửa hàng sách tổng cộng \[90\,\,000\] đồng. Hỏi nếu Trung không phải là hội viên của cửa hàng sách thì số tiền phải trả là bao nhiêu?
c) Một hội viên cần thuê tối thiểu bao nhiêu cuốn sách để có thể bù được phí hội viên?
Hướng dẫn giải
a) w Đối với khách hàng là hội viên, ta có hàm số: \[s = 5\,\,000t + 50\,\,000.\]
w Đối với khách hàng không là hội viên, ta có hàm số: \[s = 10\,\,000t\].
b) Trung là hội viên nên số tiền Trung bỏ ra cho mỗi năm sẽ được tính theo công thức:
\[s = 5\,\,000t + 50\,\,000.\]
w Thay \[s = 90\,\,000\] vào công thức \[s = 5\,\,000t + 50\,\,000\], ta được:
\[90\,\,000 = 5\,\,000t + 50\,\,000\] nên \(t = \frac{{90\,\,000 - 50\,\,000}}{{5\,\,000}} = 8\).
Do đó, năm ngoái Trung trả tổng cộng 90 000 đồng nên số sách Trung đã mượn là 8 cuốn.
w Thay \[t = 8\] vào công thức \[s = 10\,\,000t\], ta được: \[s = 10\,\,000 \cdot 8 = 80\,\,000.\]
Vậy nếu không phải là hội viên thì số tiền Trung phải trả cho năm ngoái là \[80\,\,000\] đồng.
c) Khi là hội viên thì với mỗi cuốn sách mướn khách hàng sẽ tiết kiệm được \(5\,\,000\) đồng so với khách không phải là hội viên.
Để bù được phí hội viên thì số tiền tiết kiệm được khi mướn t cuốn sách phải lớn hơn hoặc bằng phí hội viên: \(5\,\,000t \ge 50\,\,000\) nên \(t \ge 10\).
Vậy cần phải mướn ít nhất 10 cuốn sách để có thể bù được phí hội viên
Một xí nghiệp may cứ mỗi tháng thì phải trả tiền lương cho công nhân viên, tiền vật liệu, tiền điện, tiền thuế,… tổng cộng là \[410\,\,000\,\,000\] đồng. Mỗi chiếc áo được bán với giá là \[350\,\,000\] đồng. Gọi số tiền lời (hoặc lỗ) mà xí nghiệp thu được sau mỗi tháng là \[L\] (đồng) và mỗi tháng xí nghiệp sản xuất được \[a\] chiếc áo.
a) Lập hàm số của \[L\] theo \[a\].
b) Nếu trong một tháng, công ty bán được \[1\,\,000\] chiếc áo thì công ty lời hay lỗ bao nhiêu?
c) Mỗi tháng phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc áo để xí nghiệp không bị lỗ?
d) Hỏi cần phải sản xuất trung bình bao nhiêu chiếc áo mỗi tháng để sau 1 năm, xí nghiệp thu được tiền lời là \[1\,\,380\,\,000\,\,000\] đồng.
Hướng dẫn giải
a) Hàm số của \[L\] theo \[a\] là: \[L = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000.\]
b) Thay \[a = 1\,\,000\] vào công thức \[L = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000\], ta được:
\[L = 350\,\,000 \cdot 1\,\,000--410\,\,000\,\,000 = 60\,\,000\,\,000\].
Vậy xí nghiệp sẽ lỗ \[60\,\,000\,\,000\] đồng.
c) Xét \[L \ge 0\] hay \(350\,\,000A - 410\,\,000\,\,000 \ge 0\).
Khi đó \(a \ge \frac{{410\,\,000\,\,000}}{{350\,\,000}} = 1171,4\).
Vậy xí nghiệp cần phải bán ít nhất \[1\,\,172\] chiếc áo thì xí nghiệp không bị lỗ.
d) Trung bình mỗi tháng, xí nghiệp cần phải lời:
\(\frac{{1\,\,380\,\,000\,\,000}}{{12}} = 115\,\,000\,\,000\) (đồng).
w Thay \[L = 115\,\,000\,\,000\] vào công thức \[L = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000\], ta được:
\[115\,\,000\,\,000 = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000\].
Do đó \(a = \frac{{115\,\,000\,\,000 + 410\,\,000\,\,000}}{{350\,\,000}} = 1\,\,500\).
Vậy trung bình mỗi tháng, xí nghiệp cần bán được \[1\,\,500\] chiếc áo.
Hướng dẫn giải
a) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: \(\frac{7}{{35}} = \frac{1}{5}\).
b) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: \(\frac{{22 - 8}}{{22}} = \frac{{14}}{{22}} = \frac{7}{{11}}\).
c) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: \(\frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).
d) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: \(\frac{{18 - 9}}{{18}} = \frac{9}{{18}} = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
a) Có 25 học viên học tiếng Trung.
Tổng số học viên là 60 học viên.
Xác suất của biến cố “Học viên học tiếng Trung” là: \(\frac{{25}}{{60}} = \frac{5}{{12}}\).
b) Số học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn là \(\left( {25 + 7 + 3} \right) - 3 = 32\) (học viên).
Xác suất của biến cố “Học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn” là: \(\frac{{32}}{{60}} = \frac{8}{{15}}\).
Hướng dẫn giải
a) Có tổng cộng 90 lá thăm.
Có 10 khả năng bốc trúng lá thăm có chứa chữ số 9 là: \[9\,;\,\,19\,;\,\,29\,;\,\,39\,;\,\,49\,;\,\,59\,;\,\,69\,;\,\,79\,;\,\,89\,;\,\,90.\]
Vậy xác suất để khách hàng nhận được quà là: \(\frac{{10}}{{90}} = \frac{1}{9}\).
b) Chỉ có 1 khả năng khách bốc trúng số 99.
Vậy xác suất khách dành giải đặc biệt là: \(\frac{1}{{90}}\).
A: "Mũi tên chỉ vào ô ghi số chẵn";
B: "Mũi tên chỉ vào ô ghi số chia hết cho 4";
C: "Mũi tên chỉ vào ô ghi số nhỏ hơn 3";
Hãy nêu các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố trên.
Hướng dẫn giải
Ta có các kết quả có thể xảy ra khi mũi tên chỉ vào một trong những ô số trên là:
\[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8.\]
• Các ô ghi số chẵn là: \[2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8.\]
Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: \[2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8.\]
• Các ô ghi số chia hết cho 4 là: \[4\,;\,\,8.\]
Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: \[4\,;\,\,8.\]
• Các ô ghi số nhỏ hơn 3 là: \[1\,;\,\,2.\]
Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố C là: \[1\,;\,\,2.\]
Hướng dẫn giải
Số kết quả có thể là 34.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp nên các kết quả có thể là đồng khả năng.
Số bạn nam trong lớp là \[34--16 = 18\] (bạn).
Số bạn nam có tham gia câu lạc bộ đọc sách là \[18--8 = 10\] (bạn).
Nên có 10 kết quả thuận lợi cho biến cố.
Vậy xác suất để học sinh đó là một bạn nam có tham gia câu lạc bộ đọc sách là \[\frac{{10}}{{34}} = \frac{5}{{17}}.\]
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\]. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AH,{\rm{ }}BH.\] Chứng minh:
a) \[H{A^2} = HB \cdot HC\]; b) . 
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta CAH\] có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \]; \[\widehat {ABH} = \widehat {HAC}\] (cùng phụ với \[\widehat {HAB}\])
Do đó 
Suy ra \[\frac{{HA}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{HA}}\] hay \[H{A^2} = HB \cdot HC\] (đpcm).
b) Vì (cmt) nên \[\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\].
Vì \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AH,\,\,BH\] nên \[AH = 2HM\,;\,\,BH = 2HN.\]
Do đó \(\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{2HN}}{{2HM}} = \frac{{HN}}{{HM}}\) suy ra \[\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{HN}}{{HM}}\].
Xét \[\Delta AHN\] và \[\Delta CHM\] có:
\[\widehat {AHN} = \widehat {CHM} = 90^\circ \]; \[\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{HN}}{{HM}}\] (cmt)
Do đó 
Người ta dùng máy ảnh để chụp một người có chiều cao \[1,5{\rm{ m}}\] (như hình vẽ). Sau khi rửa phim thấy ảnh \[CD\] cao \[4{\rm{ cm}}\]. Biết khoảng cách từ phim đến vật kính của máy ảnh lúc chụp là \[ED = 6{\rm{ cm}}.\] Hỏi khoảng cách từ người đó đến vật kính máy ảnh một đoạn \[BE\] là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đổi: \[1,5{\rm{ m}} = 150{\rm{ cm}}\].
Xét \[\Delta ABE\] và \[\Delta CDE\] có:
\[\widehat {ABE} = \widehat {CDE} = 90^\circ \]; \[\widehat {BEA} = \widehat {DEC}\] (hai góc đối đỉnh)
Do đó (g.g)
Suy ra \[\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{BE}}{{DE}}\].
Do đó \[BE = \frac{{AB \cdot DE}}{{CD}} = \frac{{150 \cdot 6}}{4} = 225\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].
Vậy người đó đứng cách vật kính máy ảnh một đoạn \[BE\] là 225 cm.
Theo quy định của khu phố, mỗi gia đình sử dụng bậc tam cấp di động để dắt xe vào nhà không được lấn chiếm vỉa hè quá \[85{\rm{ cm}}\] ra phía vỉa hè. Biết rằng nhà bạn Nam có nền cao \[60{\rm{ cm}}\] so với vỉa hè và có chiều dài bậc tam cấp là \[1{\rm{ m}}.\] Theo em, nhà bạn Nam có thực hiện đúng quy định của khu phố không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \[A\], theo định lý Pythagore, ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\).
Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^{2\;}} = {100^2} - {60^2} = 6400\].
Khi đó \[AC = \sqrt {6\,400} = 80\,\,{\rm{(cm)}}\]
Vì \[80\,\,{\rm{cm}} < 85\,\,{\rm{cm}}\] nên nhà bạn Nam đã thực hiện đúng quy định của khu phố.
Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn, các đường cao \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại điểm \[H.\]
a) Chứng minh rằng: 
b) Cho \[AB = 4\,\,{\rm{cm}};{\rm{ }}AC = 5\,\,{\rm{cm}};{\rm{ }}AD = 2\,\,{\rm{cm}}.\] Tính độ dài đoạn thẳng \[AE\];
c) Chứng minh rằng: \(\widehat {EDH} = \widehat {BCH}.\)
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta ACE\] có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAE}\); \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó 
b) Từ câu a: 
suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}\).
Do đó \(AE = \frac{{AC \cdot AD}}{{AB}} = \frac{{5 \cdot 2}}{4} = 2,5\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Vậy \(AE = 2,5\;{\rm{cm}}.\)
c) Từ câu a: 
suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}\) hay \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\).
Xét \[\Delta ADE\] và \[\Delta ABC\] có:
\(\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\); \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\) (cmt)
Do đó 
Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng) (1)
Mặt khác, ta có:
• \(\widehat {ADE} + \widehat {EDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) (2)
• \(\widehat {ABC} + \widehat {BCH} = 180^\circ - \widehat {BEC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) (3)
Từ (1), (2) và (3) nên suy ra \(\widehat {EDH} = \widehat {BCH}.\)
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta CBA\] có:
\(\widehat {ABH} = \widehat {CBA}\); \(\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó .
Suy ra \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\) hay \(A{B^2} = BH \cdot BC\) (đpcm).
b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{18}^2} + {{24}^2}} = 30\,\;{\rm{(cm)}}\).
Áp dụng tính chất đường phân giác với \[CD\] là đường phân giác của \[\widehat {ACB}\] nên
\(\frac{{DA}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{24}}{{30}} = \frac{4}{5}\) hay \(BD = \frac{5}{4}DA\).
Lại có \[BD + DA = BA = 18\]
\(\frac{5}{4}DA + DA = 18\)
\(\frac{9}{4}DA = 18\)
\(DA = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8\;\,{\rm{(cm)}}\)
c) Ta có \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\) nên \(\frac{{BG}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BG}}\) suy ra \[B{G^2} = BH \cdot BC{\rm{ }}\,\,\left( 1 \right)\]
• Xét \[\Delta EBC\] và \[\Delta HBF\] có:
\[\widehat {BEC} = \widehat {BHF}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]; \[\widehat {EBC} = \widehat {HBF}\].
Do đó .
Suy ra \(\frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) hay \(BH \cdot BC = BE \cdot BF\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[B{G^2} = BE \cdot BF\] hay \(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}.\)
• Xét \[\Delta BGE\] và \[\Delta BFG\] có
\[\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]; \[\widehat {EBG} = \widehat {GBF}\].
Do đó .
Suy ra \(\widehat {BEG} = \widehat {BGF}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {BEG} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BGF} = 90^\circ \).
Do đó \[BG \bot FG\] (đpcm).
Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] có ba đường cao \[AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF\] cắt nhau tại \[H.\]
a) Chứng minh 
b) Chứng minh 
c) Chứng minh: \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = B{C^2}\] và \(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.\)
Hướng dẫn giải
Vì \[H\] là giao của ba đường cao \[AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF\] nên \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC.\]
a) Xét DABD và DACF có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAF}\); \(\widehat {ADB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó 
b) Ta có (cmt) suy ra \(\frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}.\)
Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta ADF\] có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {DAF}\); \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)
Do đó 
c) • Xét \[\Delta BEH\] và \[\Delta BDC\] có:
\(\widehat {EBH} = \widehat {DBC}\); \(\widehat {BEH} = \widehat {BDC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó 
Suy ra \(\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BH}}{{BC}}\) hay \(BH \cdot BD = BE \cdot BC\) (1)
• Xét \[\Delta CEH\] và \[\Delta CFB\] có:
\(\widehat {ECH} = \widehat {FCB}\); \(\widehat {CEH} = \widehat {CFB}\,\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó 
Suy ra \(\frac{{CE}}{{CF}} = \frac{{CH}}{{CB}}\) hay \(CH \cdot CF = CE \cdot CB\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = BE \cdot BC + CE \cdot BC\]
\[ = BC\left( {BE + CE} \right) = BC \cdot BC = B{C^2}\] (đpcm)
• Mặt khác, ta có:
\(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}}\)\( = \frac{{\frac{1}{2} \cdot HE \cdot BC}}{{\frac{1}{2} \cdot AE \cdot BC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HD \cdot AC}}{{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HF \cdot AB}}{{\frac{1}{2} \cdot CF \cdot AB}}\)
\( = \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{BAC}}}} + \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{CAB}}}}\)\( = \frac{{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\) (đpcm).
Vậy \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = B{C^2}\] và \(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.\)
Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước như hình vẽ.
Tính thể tích hình chóp tam giác đều \(O.A'B'C'D'\).
Hướng dẫn giải
Diện tích đáy của hình lăng trụ là: \(S = {6^2} = 36\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Thể tích hình lăng trụ là \(V = S \cdot h = 36 \cdot 7 = 252\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Khi đó, thể tích khối chóp \(O.A'B'C'D'\) là:
\({V_{O.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}V = \frac{1}{3} \cdot 252 = 84\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Vậy thể tích khối chóp \(O.A'B'C'D'\) là \(84\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\)Bạn Hà làm một cái lòng đèn hình quả trám (như hình bên) là hình ghép từ hai hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy \[20\,\,{\rm{cm}}\], cạnh bên \[32\,\,{\rm{cm}}\], khoảng cách giữa hai đỉnh của hai hình chóp là \[30\,\,{\rm{cm}}.\]
a) Tính thể tích của lòng đèn.
b) Bạn Hà muốn làm 50 cái lòng đèn hình quả trám này cần phải chuẩn bị bao nhiêu mét thanh tre? (mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể).
Hướng dẫn giải
a) Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là: \[30:2 = 15{\rm{ (cm)}}.\]
Thể tích của lòng đèn quả trám là: \(V = 2.\left( {\frac{1}{3}.\,20\,.\,20\,.\,\,15} \right) = 4\,\,000\,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
b) Bạn Hà muốn làm 50 cái lòng đèn hình quả trám này cần phải chuẩn bị số mét thanh tre là:
\[50\,.\,\,\left( {20\,\,.\,\,4 + 32\,\,{\rm{.}}\,\,8} \right) = 16\,\,800 (cm) = 168\,\,(m)\]
Vậy bạn Hà muốn làm 50 cái lòng đèn hình quả trám này cần phải chuẩn bị 168 mét thanh tre.
a) Một chiếc đèn thả trần có dạng hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều khoảng \[20\,\,{\rm{cm}}.\] Độ dài trung đoạn khoảng \[17,32{\rm{ cm}}.\] Tính diện tích xung quanh của chiếc đèn thả trần đó.
b) Cho hình chóp tam giác đều \[S.ABC\] có cạnh đáy bằng \[4\,\,cm\] và chiều cao tam giác đáy là \[3,5\,\,{\rm{cm;}}\] trung đoạn bằng \[5\,\,{\rm{cm}}.\] Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần (tức là tổng diện tích các mặt) của hình chóp.
Hướng dẫn giải
a) Diện tích xung quanh của chiếc đèn thả trần đó là:
\({S_{xq}} = \frac{1}{2}\,.\,C\,.\,d = \frac{1}{2}\,.\,\left( {3\,.\,20} \right)\,.\,\,17,32 = 519,6\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
b) Diện tích xung quanh của hình chóp là:
\({S_{xq}} = \frac{1}{2}\,.\,C\,.\,d = \frac{1}{2}\,.\,\left( {3\,.\,4} \right)\,.\,5 = 30\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Kim tự tháp Louvre là một công trình kiến trúc tuyệt đẹp bằng kính tọa lạc ngay lối vào của bảo tàng Louvre, Pari. Kim tự tháp có dạng là hình chóp tứ giác đều với chiều cao 21 m và độ dài cạnh đáy là 34 m. Các mặt bên của kim tự tháp là các tam giác đều (hình ảnh minh họa).
a) Tính thể tích của kim tự tháp Louvre.
b) Tổng diện tích thật sự của sàn kim tự tháp là \(1\,\,000\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Hỏi nếu sử dụng loại gạch hình vuông có cạnh là \[60\,\,{\rm{cm}}\] để lót sàn thì cần bao nhiêu viên gạch?
c) Mỗi mặt của Kim tự tháp (trừ mặt có cổng ra vào) được tạo thành từ 18 tấm kính hình tam giác đều và 17 hàng kính hình thoi xếp chồng lên nhau. Hỏi có bao nhiêu tấm kính hình thoi trên mỗi mặt?
Hướng dẫn giải
a) Thể tích kim tự tháp là: \[V = \frac{1}{3}.\,{34^2}.\,21 = 8\,\,092\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].
b) Diện tích một viên gạch hình vuông là: \[S = {\left( {0,6} \right)^2} = 0,36\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]
Số viên gạch hình vuông cần dùng là: \(\frac{{1\,\,000}}{{0,36}} \approx 2\,\,778\) (viên)
c) Số tấm kính hình thoi trên mỗi mặt là: \(\frac{{17\,.\,\left( {17 + 1} \right)}}{2} = 153\) (tấm)
Vậy có 153 tấm kính hình thoi trên mỗi mặt.
Hướng dẫn giải
a) Ta có \({x^2} - 2x + 6 = {x^2} - 2x + 1 + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 5\).
Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 5 \ge 5\).
Để phân thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất thì biểu thức \({x^2} - 2x + 5\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Khi đó, \(A = \frac{{35}}{{{x^2} - 2x + 6}} = \frac{{35}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 5}} \le \frac{{35}}{5} = 7\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = 1\).
Vậy giá trị lớn nhất của phân thức \(A\) là 7 khi \(x = 1\).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \[B = \frac{{12}}{{12 - 4x - {x^2}}}\].
Ta có \(12 - 4x - {x^2} = - {x^2} - 4x - 4 + 16 = - {\left( {x + 4} \right)^2} + 16\).
Vì \( - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 0\) nên \( - {\left( {x + 4} \right)^2} + 16 \le 16\).
Để phân thức \(B\) đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức \[12 - 4x - {x^2}\] đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó, \[B = \frac{{12}}{{12 - 4x - {x^2}}} = \frac{{12}}{{ - {{\left( {x + 4} \right)}^2} + 16}} \le \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\].
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x + 4} \right)^2} = 0\) hay \(x = - 4\).
Vậy giá trị lớn nhất của phân thức \(B\) là \[\frac{3}{4}\] khi \(x = - 4\).
Hướng dẫn giải
a) \[\frac{{x + 1}}{{2024}} + \frac{{x + 2}}{{2023}} = \frac{{x + 3}}{{2022}} + \frac{{x + 4}}{{2021}}\]
\[\left( {\frac{{x + 1}}{{2024}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 2}}{{2023}} + 1} \right) = \left( {\frac{{x + 3}}{{2022}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 4}}{{2021}} + 1} \right)\]
\[\frac{{x + 2025}}{{2024}} + \frac{{x + 2025}}{{2023}} = \frac{{x + 2025}}{{2022}} + \frac{{x + 2025}}{{2021}}\]
\[\frac{{x + 2025}}{{2024}} + \frac{{x + 2025}}{{2023}} - \frac{{x + 2025}}{{2022}} - \frac{{x + 2025}}{{2021}} = 0\]
\[\left( {x + 2025} \right)\left( {\frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2021}}} \right) = 0\]
Vì \[\frac{1}{{2024}} < \frac{1}{{2022}}\] nên \[\frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2022}} < 0\].
Vì \[\frac{1}{{2023}} < \frac{1}{{2021}}\] nên \[\frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2021}} < 0\].
Do đó \[\frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2021}} < 0\] hay \[\frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2021}} \ne 0\].
Khi đó \[x + 2025 = 0\] nên \[x = - 2025\].
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = - 2025\].
b) \[\frac{{2027 - x}}{{73}} + \frac{{2025 - x}}{{75}} + \frac{{2023 - x}}{{77}} + \frac{{2021 - x}}{{79}} + 4 = 0\]
\[\left( {\frac{{2027 - x}}{{73}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2025 - x}}{{75}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2023 - x}}{{77}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2021 - x}}{{79}} + 1} \right) = 0\]
\[\frac{{2100 - x}}{{73}} + \frac{{2100 - x}}{{75}} + \frac{{2100 - x}}{{77}} + \frac{{2100 - x}}{{79}} = 0\]
\[\left( {2100 - x} \right)\left( {\frac{1}{{73}} + \frac{1}{{75}} + \frac{1}{{77}} + \frac{1}{{79}}} \right) = 0\]
\[2100 - x = 0\] (vì \[\frac{1}{{73}} + \frac{1}{{75}} + \frac{1}{{77}} + \frac{1}{{79}} > 0\])
\[x = 2100\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 2100\].
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \[x \ne 4\,;\,\,x \ne 5;\,\,x \ne 6;\,\,x \ne 7\]
Ta có \[\frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}} + \frac{1}{{{x^2} + 13x + 42}} = \frac{1}{{18}}\].
\[\frac{1}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 6} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}\]
\[\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 5}} + \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 6}} + \frac{1}{{x + 6}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\]
\[\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\]
\[\frac{3}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}\]
\[{x^2} + 11x - 26 = 0\]
\[\left( {x + 13} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\]
\[x + 13 = 0\] hoặc \[x - 2 = 0\]
\[x = - 13\] hoặc \[x = 2\].
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ { - 13\,;\,\,2} \right\}\].
Hướng dẫn giải
Ta có: \[\left( {a - \frac{1}{b}} \right)\left( {b - \frac{1}{c}} \right)\left( {c - \frac{1}{a}} \right)\]\[ = \left( {\frac{{ab - 1}}{b}} \right)\left( {\frac{{bc - 1}}{c}} \right)\left( {\frac{{ac - 1}}{a}} \right)\]
\[ = \frac{{\left( {ab - 1} \right)\left( {bc - 1} \right)\left( {ac - 1} \right)}}{{abc}}\]\[ = \frac{{\left( {a{b^2}c - ab - bc + 1} \right)\left( {ac - 1} \right)}}{{abc}}\]
\[ = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2} - a{b^2}c - {a^2}bc + ab - ab{c^2} + bc + ac + 1}}{{abc}}\]
\[ = abc - a - b - c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{{abc}}\]
\[ = abc - (a + b + c) + \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{{abc}}\]
Để \(\left( {a - \frac{1}{b}} \right)\left( {b - \frac{1}{c}} \right)\left( {c - \frac{1}{a}} \right) \in \mathbb{N}*\) thì \(a\,,\,\,b\,,\,\,c \in \mathbb{N}*\) và \[abc \in \] Ư\[\left( 1 \right) = \left\{ 1 \right\}.\]
Với \[a = b = c = 1\], ta có: \[abc - (a + b + c) + \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{{abc}}\]
\[ = 1 \cdot 1 \cdot 1 - \left( {1 + 1 + 1} \right) + \left( {1 + 1 + 1} \right) + 1 = 2\].
Vậy \[a = b = c = 1\].
Hướng dẫn giải
Với \(a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a\) ta xét \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.\) \(\left( 1 \right)\)
Do \(a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a\) nên \(a + b + c \ne 0.\)
Khi đó ta nhân hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(a + b + c\) thì được:
\(\frac{{a\left( {a + b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)
Hay \(\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {a + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)
Nên \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c\)
Suy ra \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)
Vậy \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)
Hướng dẫn giải
Gọi \[x\] (viên) số bi đỏ trong túi \[\left( {0 < x < 48} \right).\]
Khi đó, số bi xanh trong túi là \[\left( {48--x} \right)\] viên.
Xác suất lấy được viên bi màu đỏ là \[\frac{x}{{48}}.\]
Xác suất lấy được viên bi màu xanh là: \[\frac{{48 - x}}{{48}}.\]
Theo đề bài, xác suất lấy được viên bi màu đỏ bằng 92% xác suất lấy được viên bi màu xanh nên ta có phương trình \[\frac{x}{{48}} = 92\% \cdot \frac{{48 - x}}{{48}}\]
\[x = 0,92\left( {48 - x} \right)\]
\[x = 44,16 - 0,92x\]
\[1,92x = 44,16\]
\[x = 23\] (TMĐK)
Vậy số viên bi màu đỏ và viên bi màu xanh có trong túi lần lượt là 23 viên và 25 viên.
Hướng dẫn giải
Gọi \(x,\,\,y\) (viên) lần lượt là số viên bi đỏ và xanh cần thêm \(\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right)\).
Tổng số viên bi trong hộp ban đầu là: \(6 + 3 = 9\) (viên bi).
Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp nên có 9 kết quả có thể xảy ra.
Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi đỏ ban đầu là 6.
Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu đỏ là \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}.\)
Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi xanh ban đầu là 3.
Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu xanh là \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\)
Sau khi số bi tăng thêm, trong hộp có tất cả \(\left( {9 + x + y} \right)\) viên bi, trong đó có \(\left( {6 + x} \right)\) viên bi đỏ và \(\left( {3 + y} \right)\) viên bi xanh.
Do đó xác suất chọn được một viên bi mỗi màu không đổi nên ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{6 + x}}{{9 + x + y}} = \frac{2}{3}\\\frac{{3 + y}}{{9 + x + y}} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\), suy ra \(6 + x = 2\left( {3 + y} \right)\) nên \(x = 2y.\)
Do \(x,\,\,y \in \mathbb{N}*\) và số bi cần thêm vào là ít nhất nên \(y = 1\) và \(x = 2.\)
Vậy cần phải thêm ít nhất 2 viên bi màu đỏ, 1 viên bi xanh.
Hướng dẫn giải
Tổng số sản phẩm loại A và loại B là \(10 + 7 = 17\) (sản phẩm).
Khi lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm:
Chọn sản phẩm thứ nhất chọn 1 trong 17 sản phẩm nên có 17 cách;
Chiếc sản phẩm thứ hai chọn \[1\] trong 16 sản phẩm còn lại nên có 16 cách.
Số cách chọn 2 sản phẩm trong số 17 sản phẩm là: \(\frac{{17.16}}{2} = 136\) (cách) (cứ mỗi cặp bị lặp lại 2 lần).
Có \(\frac{{10.9}}{2} = 45\) cách chọn chỉ lấy ra 2 sản phẩm loại A.
Số kết quả thuận lợi của biến cố E là \[136--45 = 91.\]
Vậy xác suất của biến cố E là \(\frac{{91}}{{136}}\).
Hướng dẫn giải
Các trường hợp có thể xảy ra khi chọn hai tấm thẻ bất kì là:
\[\left\{ { - 2\,;\,\, - 1} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 2\,;\,\,0} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 2\,;\,\,3} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 2\,;\,\,4} \right\};\left\{ { - 2;5} \right\}\];
\[\left\{ { - 1\,;\,\,0} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 1\,;\,\,3} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 1\,;\,\,4} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 1\,;\,\,5} \right\}\];
\[\left\{ {0\,;\,\,3} \right\};\left\{ {0\,;\,\,4} \right\}\,;\,\,\left\{ {0\,;\,\,5} \right\}\]; \[\left\{ {3\,;\,\,4} \right\}\,;\,\,\left\{ {3\,;\,\,5} \right\}\,;\,\,\left\{ {4;5} \right\}\].
Và ngược lại đổi vị trí hai số trong các cặp số trên.
Số các kết quả xảy ra khi chọn hai tấm thẻ phân biệt từ tập hợp đã cho là \[15 \cdot 2 = 30\].
Khi tích của hai số đã chọn bằng 0 thì số hạng đầu tiên bằng 0 hoặc số hạng thứ 2 bằng 0, ta có 10 trường hợp như thế.
Vậy xác xuất cần tìm là \[\frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\].
Một công ty muốn xây dựng một đường ống dẫn dầu từ điểm \[A\] trên bờ biển đến một điểm \[C\] trên một hòn đảo như hình vẽ. Giá để xây dựng đường ống trên bờ là \[40\,\,000{\rm{ USD}}\] mỗi km và \[130\,\,000{\rm{ USD}}\] mỗi km để xây dưới nước. Hỏi công ty nên xây đường ống theo phương án nào để tiết kiệm chi phí nhất? Biết rằng công ty đưa ra ba phương án:
Phương án 1: Xây đường ống từ điểm \[A\] trên bờ đến điểm \[C\] trên đảo.
Phương án 2: Xây đường ống từ điểm \[A\] đến điểm \[M\] trên bờ biển, rồi xây đường ống từ điểm \[M\] đến điểm \[C\] trên hòn đảo.
Phương án 3: Xây đường ống từ điểm \[A\] đến điểm \[B\] trên bờ biển, rồi xây đường ống từ điểm \[B\] đến điểm \[C\] trên hòn đảo. Biết: \[BC = 60\,\,{\rm{km}},{\rm{ }}AB = 100\,\,{\rm{km}},{\rm{ }}AM = 55\,\,{\rm{km}}\,{\rm{.}}\]
Hướng dẫn giải
Độ dài đoạn \[BM\] là: \[BM = {\rm{ }}AB--AM = 100 - 55 = 45{\rm{ }}\left( {{\rm{km}}} \right).\]
• Áp dụng định lý Pythagore vào \[\Delta MBC\] vuông tại \[B\], ta có:
\(CM = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = \sqrt {{{60}^2} + {{45}^2}} = \sqrt {5625} = 75\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).\)
• Áp dụng định lý Pythagore vào \[\Delta ABC\] vuông tại \[B\], ta có :
\(AC{\rm{ }} = \sqrt {B{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{60}^2} + {{100}^2}} = \sqrt {13\,\,600} \approx 116,62\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\)
Tổng số tiền xây dựng theo phương án 1 là:
\[{T_1} = 130\,\,000 \cdot 116,62 = 15\,\,160\,\,474,93\,\,\left( {{\rm{USD}}} \right)\].
Tổng số tiền xây dựng theo phương án 2:
\[{T_2} = 40\,\,000 \cdot 55 + 130\,\,000 \cdot 75 = 11\,\,950\,\,000\;\,\,\left( {{\rm{USD}}} \right)\].
Tổng số tiền xây dựng theo phương án 3:
\[{T_3} = 40\,\,000 \cdot 100 + 130\,\,000 \cdot 60 = 11\,\,800\,\,000\,\,{\rm{\;}}\left( {{\rm{USD}}} \right)\].
Do \[{T_1} > {T_2} > {T_3}\] nên phương án 3 là phương án xây dựng đường ống mà tiết kiệm chi phí nhất.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
