Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(M = \frac{{14}}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{{14}}{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 3}} = \frac{{14}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3}}.\)

Với mọi \(x,\) ta luôn có \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 3 \ge 0\)

Suy ra \(\frac{{14}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3}} \le \frac{{14}}{3},\) hay \(M \le \frac{{14}}{3}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0,\) tức là \(x = 1.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(M\) là \(\frac{{14}}{3}\) tại \(x = 1.\)

b) Ta có \(N = \frac{{11}}{{12 - 4x - {x^2}}} = \frac{{11}}{{ - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 16}} = \frac{{11}}{{ - {{\left( {x + 2} \right)}^2} + 16}}.\)

Với mọi \(x,\) ta luôn có \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\) nên \( - {\left( {x + 2} \right)^2} + 16 \le 16\)

Suy ra \(\frac{{11}}{{ - {{\left( {x + 2} \right)}^2} + 16}} \ge \frac{{11}}{{16}},\) hay \(N \ge \frac{{11}}{{16}}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x + 2} \right)^2} = 0,\) tức là \(x =  - 2.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(N\) là \(\frac{{11}}{{16}}\) tại \(x =  - 2.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(A = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^3} + {z^3} - 3xy\left( {x + y + z} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^3} - 3\left( {x + y} \right)z\left( {x + y + z} \right) - 3xy\left( {x + y + z} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\)

\[ = \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {x + y} \right)z - 3xy} \right]}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2zx - 3xz - 3yz - 3xy} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - xz}} = x + y + z.\]

b) Ta có: \(B = \frac{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}{{{x^{26}} + {x^{24}} + {x^{22}} + ... + {x^2} + 1}},\) xét phân thức nghịch đảo của phân thức \(B\) là:

\(\frac{1}{B} = \frac{{{x^{26}} + {x^{24}} + {x^{22}} + ... + {x^2} + 1}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^{26}} + {x^{22}} + {x^{18}} + ... + {x^6} + {x^2}} \right) + \left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + {x^4} + 1} \right)}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2}\left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + {x^4} + 1} \right) + \left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + {x^4} + 1} \right)}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^{24}} + {x^{20}} + ... + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^{24}} + {x^{20}} + {x^{16}} + ... + {x^4} + 1}} = {x^2} + 1.\)

Vậy \(B = \frac{1}{{{x^2} + 1}}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \({a_k} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^2}}} = \frac{{2k + 1}}{{{{\left[ {k\left( {k + 1} \right)} \right]}^2}}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {k^2}}}{{{k^2} \cdot {{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{k^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}.\)

Do đó \[{S_{2024}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} +  \ldots  + {a_{2024}}\]

\[{S_{2024}} = \left( {\frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{{2023}^2}}} - \frac{1}{{{{2024}^2}}}} \right)\]

\[ = 1 - \frac{1}{{{{2024}^2}}} = \frac{{{{2024}^2} - 1}}{{{{2024}^2}}}.\]

Hướng dẫn giải

Do \(x,\,\,y,\,\,z \ne 0\) nên từ giả thiết \(x + y + z = xyz\) ta có: \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 1.\)

Xét biểu thức: \(P = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}\)\( = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} - 2\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)\)

Khi đó \(P = {3^2} - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7.\)

Vậy \(P = 7.\)

Hướng dẫn giải

Với \(a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a\) ta xét \(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1.\)\(\left( 1 \right)\)

Do \(a \ne - b;\,\,b \ne - c;\,\,c \ne - a\) nên \(a + b + c \ne 0.\)

Khi đó ta nhân hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(a + b + c\) thì được:

\(\frac{{a\left( {a + b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{b\left( {a + b + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{c\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Hay \(\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {a + c} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c\)

Nên \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c\)

Suy ra \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)

Vậy \(\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0.\)

Hướng dẫn giải

Với \[x \ne --y;\]\[y \ne --z;\]\[z \ne --x,\] ta có:

\(A = \frac{{{x^2} - yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} + \frac{{{y^2} - xz}}{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}} + \frac{{{z^2} - xy}}{{\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {{x^2} - yz} \right)\left( {y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{y^2} - xz} \right)\left( {z + x} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} + \frac{{\left( {{z^2} - xy} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2}y + {x^2}z - {y^2}z - y{z^2} + {y^2}z + x{y^2} - x{z^2} - {x^2}z + {z^2}x + {z^2}y - {x^2}y - x{y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

\( = \frac{0}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}} = 0.\)

Vậy \(A = 0.\)

Hướng dẫn giải

Với \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0,\) ta có

\(B = \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - abc\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\)

\( = ab\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + bc\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + ca\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) - \left( {\frac{{abc}}{{{a^2}}} + \frac{{abc}}{{{b^2}}} + \frac{{abc}}{{{c^2}}}} \right)\)

\( = b + a + \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + c + b + c + \frac{{ca}}{b} + a - \frac{{bc}}{a} - \frac{{ac}}{b} - \frac{{ab}}{c}\)

\( = 2\left( {a + b + c} \right).\)

Vậy \(B = 2\left( {a + b + c} \right).\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0.\)

Với \[a + b + c = 0,\] ta có \(a + b = - c;\,\,b + c = - a;\,\,c + a = - b.\)

Ta có \(C = \left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)\left( {\frac{c}{{a - b}} + \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}}} \right)\)

\( = \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}}}_M + \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{a}{{b - c}}}_N + \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{b}{{c - a}}}_P\)

Xét \(M = \left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}}\)

\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \left( {\frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)\)\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{{b^2} - bc + ac - {a^2}}}{{ab}}\)

\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) - c\left( {b - a} \right)}}{{ab}}\)\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a - c} \right)}}{{ab}}\)

\[ = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{ - \left( {a - b} \right)\left( { - c - c} \right)}}{{ab}}\]\[ = 1 + \frac{{c \cdot 2c}}{{ab}} = 1 + \frac{{2{c^3}}}{{abc}}.\]

Tương tự, \(N = 1 + \frac{{2{a^3}}}{{abc}};\,\,P = 1 + \frac{{2{b^3}}}{{abc}}.\)

Khi đó \(C = M + N + P = 1 + \frac{{2{c^3}}}{{abc}} + 1 + \frac{{2{a^3}}}{{abc}} + 1 + \frac{{2{b^3}}}{{abc}} = 3 + \frac{{2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}}{{abc}}.\)

Mặt khác, do \[a + b + c = 0\] nên ta có \[{\left( {a + b + c} \right)^3} = 0\]

Suy ra \[{\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {ab + ac + bc + {c^2}} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left[ {a\left( {b + c} \right) + c\left( {b + c} \right)} \right] = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( { - c} \right)\left( { - a} \right)\left( { - b} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc.\]

Vậy \(C = 3 + \frac{{2 \cdot \left( {3abc} \right)}}{{abc}} = 3 + 6 = 9.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \[\widehat {BEF} = \widehat {xBE} = 30^\circ \] (Vì \[Bx\parallel AF\] và hai góc ở vị trí so le trong).

\[\widehat {BFA} = \widehat {xBF} = 60^\circ \].

Xét tam giác vuông \[ABF\] có \[\widehat {FBA} = 30^\circ \] suy ra \[AF = \frac{1}{2}BF.\]

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \[ABF\] có:

\[A{B^2} + A{F^2} = B{F^2}\]

\[A{B^2} + A{F^2} = {\left( {2AF} \right)^2}\]

\[A{B^2} = 3A{F^2}\]

\[{\left( {AC + BC} \right)^2} = 3A{F^2}\]

\[{\left( {42 + 1,65} \right)^2} = 3A{F^2}\]

\[43,{65^2} = 3A{F^2}\]

\[AF = \sqrt {\frac{{43,{{65}^2}}}{3}} \]

\[AF \approx 25,2\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]

Xét \[\Delta ABF\] và \[\Delta AEB\] có:

\[\widehat {ABF} = \widehat {AEB} = 30^\circ \]

\[\widehat A\] chung

Do đó, (g.g).

Suy ra \[\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AE}}\], do đó \[AE = \frac{{A{B^2}}}{{AF}} = \frac{{43,{{65}^2}}}{{25,2}} = 75,6{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Sau hai lần quan sát, tàu đã chạy được: \[75,6 - 25,5 = 50,4\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Hướng dẫn giải

Gọi \[x\] (nghìn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra (\[x > 400\]).

Thì giá chênh lệch sau khi tăng là: \[x - 400\] (nghìn đồng).

Số phòng cho thuê giảm đi nếu giá \[x\] nghìn đồng/ngày là: \[\frac{{\left( {x - 400} \right) \cdot 2}}{{20}} = \frac{{x - 400}}{{10}}\] (phòng).

Số phòng cho thuê với giá \[x\] nghìn đồng/ngày là: \[50 - \frac{{x - 400}}{{10}} = 90 - \frac{x}{{10}}\] (phòng).

Tổng doanh thu trong 1 ngày là: \[f\left( x \right) = x\left( {90 - \frac{x}{{10}}} \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{10}} + 90x\].

Suy ra \[f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 900x}}{{10}} = \frac{{ - {{\left( {x - 450} \right)}^2} - 202\,500}}{{10}} = \frac{{ - {{\left( {x - 450} \right)}^2}}}{{10}} - 20\,250 \le 20\,250\].

Dấu “=” xảy ra khi \[x = 450\].

Vậy nếu cho thuê phòng với giá 450 nghìn đồng/ngày thì doanh thu trong một ngày lớn nhất đạt \[20\,250\,000\] đồng.

Hướng dẫn giải

Đặt tên các đỉnh như hình vẽ. Đặt\[CJ = x\,\,\left( {{\rm{m}},\,x > 0} \right)\].

Chứng minh được tam giác \[AJC\]và \[BKA\] là hai tam giác đồng dạng nên

\[\frac{{CJ}}{{AK}} = \frac{{JA}}{{KB}}\] hay \[\frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}}\] do đó \[KB = \frac{{60}}{x}\].

Diện tích của khu nuôi cá là \[S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right)\]

                                              \[S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right)\]

\[S\left( x \right) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60 = 6\left( {x + \frac{{25}}{x} + 10} \right) = 6\left( {\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{x} + 20} \right) = 6\left[ {\frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{x} + 20} \right] \ge 120\].

Dấu “=” xảy ra khi \[x - 5 = 0\] nên \[x = 5.\]

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là \[120\,\,{{\rm{m}}^2},\] đạt được khi \[x = 5\;\left( {\rm{m}} \right)\].