Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 1

a) \(\frac{9}{{x - 3}} + \frac{{3x}}{{3 - x}} = \frac{9}{{x - 3}} - \frac{{3x}}{{x - 3}} = \frac{{9 - 3x}}{{x - 3}} = \frac{{ - 3\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = - 3.\)

b) \[\frac{{xy}}{{{x^2} - {y^2}}} - \frac{{{x^2}}}{{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{xy}}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{xy + {x^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{x}{{x - y}}.\]

c) \[\frac{{x + 5}}{{2x - 3}} - \frac{{2x - 7}}{{3 - 2x}} - \frac{{x + 4}}{{3 - 2x}} = \frac{{x + 5}}{{2x - 3}} + \frac{{2x - 7}}{{2x - 3}} + \frac{{x + 4}}{{2x - 3}}\]

\[ = \frac{{x + 5 + 2x - 7 + x + 4}}{{2x - 3}} = \frac{{4x + 2}}{{2x - 3}}.\]

d) \[\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{3 - x}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}} = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} - \frac{{2x - 2{x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}\]

\[ = \frac{{4 - {x^2} - 2x + 2{x^2} + 5 - 4x}}{{x - 3}} = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{x - 3}} = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{x - 3}} = x - 3.\]

e) \[\frac{{2{x^2} - 20x + 50}}{{3x + 3}} \cdot \frac{{{x^2} - 1}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} = \frac{{2{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{3\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} = \frac{{x - 1}}{{6\left( {x - 5} \right)}}.\]

f) \(\frac{{x - 2}}{{x + 1}}:\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{{x^2} - 2x - 3}} = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \cdot \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \cdot \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = 1.\)

g) \[\frac{x}{{x - 2y}} + \frac{x}{{x + 2y}} + \frac{{4xy}}{{4{y^2} - {x^2}}} = \frac{x}{{x - 2y}} + \frac{x}{{x + 2y}} - \frac{{4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\]

\[ = \frac{{x\left( {x + 2y} \right) + x\left( {x - 2y} \right) - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} = \frac{{{x^2} + 2xy + {x^2} - 2xy - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\]

\[ = \frac{{2{x^2} - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 2y} \right)}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} = \frac{{2x}}{{x + 2y}}.\]

h) \[\frac{1}{{x - y}} + \frac{{3xy}}{{{y^3} - {x^3}}} + \frac{{x - y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} = \frac{1}{{x - y}} - \frac{{3xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{x - y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + xy + {y^2} - 3xy + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\]\[ = \frac{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\]\[ = \frac{{2\left( {x - y} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\].

i) \(\left( {\frac{2}{{x + 2}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 4}}{{4{x^2} - 1}} = \frac{{2x - 2 + 2x + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{4x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}.\)

j) \(1 + \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right) = 1 + \frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left[ {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}} \right]\)

\( = 1 - \frac{{x\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{1 + x - 1}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} = 1 - \frac{{x\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\)

\( = 1 - \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{{{x^2} + 1}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(9 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 9} \right) = - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right).\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\\9 - {x^2} \ne 0\end{array} \right.\) hay \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\x \ne 3\\ - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0\end{array} \right.\)tức là \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3.\)

b) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3,\) ta có:

\(A = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} - \frac{{18}}{{9 - {x^2}}}\)\( = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} + \frac{{18}}{{{x^2} - 9}}\)

 \( = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

 \( = \frac{{3 \cdot \left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

 \( = \frac{{3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

 \( = \frac{{3x - 9 + x + 3 + 18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{4x + 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \frac{4}{{x - 3}}.\)

Vậy với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3,\) thì \(A = \frac{4}{{x - 3}}.\)

c) Với \(x = - 1\) thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức \(A = \frac{4}{{x - 3}},\) ta được:

\(A = \frac{4}{{ - 1 - 3}} = \frac{4}{{ - 4}} = - 1.\)

Vậy \(A = - 1\) khi \(x = - 1.\)

d) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3,\) thì \(A = \frac{4}{{x - 3}}.\)

Theo bài \(A = - 4,\) suy ra \(\frac{4}{{x - 3}} = - 4\)

Do đó \(x - 3 = - 1,\) nên \(x = 2\) (thoả mãn điều kiện xác định).

Vậy với \(x = 2\) thì \(A = - 4.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(1 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 1} \right) = - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\1 - {x^2} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right..\)

Vậy để \(B\) xác định thì \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1.\)

b) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) ta có:

\(B = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}\)\( = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

  \( = \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{4}{{x + 1}}\).

Vậy với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

c) Với \(x = - \frac{1}{2}\) thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức \(B = \frac{4}{{x + 1}},\) ta được:

\(B = \frac{4}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{4}{{\frac{1}{2}}} = 8.\)

Vậy với \(x = - \frac{1}{2}\) thì \(B = 8.\)

d) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

Với \(x\) là số nguyên, để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 1\) là ước của \(4.\)

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Do đó: \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,3} \right\}.\)

Mà \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) nên \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Vậy để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[{x^2} + x - 6 = {x^2} - 2x + 3x - 6 = x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right).\]

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(C\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\{x^2} + x - 6 \ne 0\\2 - x \ne 0\end{array} \right.,\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right.,\) tức là \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2.\)

Vậy biểu thức \(C\) xác định khi \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2.\)

b) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[C = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}\]\[ = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - 5 - 1\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{{x^2} - 4 - 5 - x - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} - x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

Vậy \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) thì \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

c) Ta có: \[{x^2} - 9 = 0\]

\[\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]

\[x = 3\] (thoả mãn điều kiện) hoặc \[x = - 3\] (không thỏa mãn điều kiện)

Thay \[x = 3\] vào biểu thức \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}},\] ta được: \[C = \frac{{3 - 4}}{{3 - 2}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1.\]

Vậy \[C = - 1\] khi \[{x^2} - 9 = 0.\]

d) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có: \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 - 2}}{{x - 2}} = 1 - \frac{2}{{x - 2}}.\]

Với \(x\) là số nguyên, để \[C\] cũng có giá trị nguyên thì \[x - 2\] là ước của \(2.\)

Mà Ư\(\left( 2 \right) = \left\{ { - 1;\,\,1;\,\, - 2;\,\,2} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Theo bài, \(C\) có giá trị là số nguyên dương lớn nhất nên \(C = 3.\)

Vậy \(x = 1\) thì \(C\) đạt giá trị nguyên dương lớn nhất là \(C = 3.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

⦁\({x^2} - 2x = x\left( {x - 2} \right).\)

⦁\[\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}.\]

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x - 2 \ne 0\\\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} \ne 0\end{array} \right.,\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 2\\\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \ne 0\end{array} \right.,\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..\]

Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[D = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}}} \right)\]

\[ = \left[ {\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x - 4} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - 4}} = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\]

Vậy với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(D = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\)

b) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có: \(D > 0\) khi \(\frac{{ - 3x + 4}}{4} > 0,\) do đó \( - 3x + 4 > 0\) vì \(4 > 0.\)

Suy ra \(3x < 4,\) nên \(x < \frac{4}{3}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta được \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0.\)

Vậy với \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0\) thì \(D > 0.\)

c) Để \(D\) là số nguyên âm lớn nhất thì \(D = - 1,\) khi đó:

\(\frac{{ - 3x + 4}}{4} = - 1\)

\( - 3x + 4 = - 4\)

\( - 3x = - 8\)

\(x = \frac{8}{3}\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy với \(x = \frac{8}{3}\) thì \(D\) có giá trị là số nguyên âm lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(M\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.,\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..\)

Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[M = \frac{1}{{{x^2} - 2x}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - \frac{{4x}}{x}} \right) + 1\]

\[ = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 4 - 4x}}{x} + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{x} + 1\]

\[ = \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.\]

Vậy với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.\)

b) Ta có \[\left| {4 - x} \right| = 2\]

Thay \[x = 6\] vào biểu thức \(M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}},\) ta được:

\[M = \frac{{{6^2} + 6 - 2}}{{{6^2}}} = \frac{{36 + 6 - 2}}{{36}} = \frac{{10}}{9}.\]

Vậy \(M = \frac{{10}}{9}\) khi \[\left| {4 - x} \right| = 2.\]

c) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có \[M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}.\]

Đặt \[\frac{1}{x} = t\,\,\,\left( {t \ne 0;\,\,t \ne \frac{1}{2}} \right),\] khi đó:

\[M = 1 + t - 2{t^2} = - 2\left( {{t^2} - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}} \right) = - 2\left( {{t^2} - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{16}}} \right)\]

\[ = - 2\left[ {{{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right] = \frac{9}{8} - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2}.\]

Vì \[{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\] nên \[ - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \le 0,\] do đó \[P \le \frac{9}{8}.\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi \[t - \frac{1}{4} = 0,\] tức là \[t = \frac{1}{4}\] (thoả mãn).

Với \(t = \frac{1}{4},\) ta có \[\frac{1}{x} = \frac{1}{4},\] suy ra \[x = 4.\]

Vậy giá trị lớn nhất của \[M\] là \[\frac{9}{8}\] khi \[x = 4.\]

a) \[50x - 60 = 0\]

\(50x = 60\)

\(x = \frac{6}{5}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{6}{5}.\)

b) \[4 - 3x = 5\]

\[3x = - 1\]

\(x = - \frac{1}{3}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - \frac{1}{3}.\)

c) \(\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0\)

\(\frac{2}{3}x = - 2\frac{1}{2}\)

\(\frac{2}{3}x = - \frac{5}{2}\)

\(x = - \frac{5}{3}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - \frac{5}{3}.\)

d) \(15 - 4x = x - 5\)

\(x - 4x = - 5 - 15\)

\( - 5x = - 20\)

\(x = 4.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 4.\)

e) \[3\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 4} \right) = x + 1\]

\[3x - 6 - 2x + 4 = x + 1\]

\[3x - 2x - x = 1 + 6 - 4\]

 \(0x = 3\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

f) \[x - 3\left( {2 - x} \right) = 2x - 4\]

\[x - 6 + 3x = 2x - 4\]

\[x + 3x - 2x = - 4 + 6\]

\[2x = 2\]

\[x = 1.\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x = 1.\]

g) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\)

\(\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{30}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{30}} - \frac{{2x \cdot 30}}{{30}}\)

\(35x - 5 = 96 - 6x - 60x\)

\(35x + 6x + 60x = 96 + 5\)

\(101x = 101\)

 \(x = 1.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1.\)

h) \(\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 7}}{4} = \frac{{5 - 3x}}{2}\)

\(\frac{{4\left( {2x - 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x + 7} \right)}}{{12}} = \frac{{6\left( {5 - 3x} \right)}}{{12}}\)

\(8x - 4 - 3x - 21 = 30 - 18x\)

\(8x - 3x + 18x = 30 + 4 + 21\)

\(23x = 55\)

\(x = \frac{{55}}{{23}}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{55}}{{23}}.\)

i) \[{\left( {x + 3} \right)^2} - 13 = x\left( {x + 4} \right)\]

\[{x^2} + 6x + 9 - 13 = {x^2} + 4x\]

\[{x^2} - {x^2} + 6x - 4x = 13 - 9\]

\[2x = 4\]

\(x = 2.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2.\)

j) \[\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}\]

\({x^2} - 25 - 4 = {x^2} - 4x + 4\)

\({x^2} - {x^2} + 4x = 4 + 25 + 4\)

\(4x = 33\)

\(x = \frac{{33}}{4}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{33}}{4}.\)

l) \(x - \frac{{x + \frac{{x + 1}}{5}}}{3} = 1 - \frac{{\frac{{1 - 2x}}{3}}}{5}\)

\(x - \frac{{5x + x + 1}}{5} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{{1 - 2x}}{3} \cdot \frac{1}{5}\)

\(x - \frac{{6x + 1}}{{15}} = 1 - \frac{{1 - 2x}}{{15}}\)

\[\frac{{15x - \left( {6x + 1} \right)}}{{15}} = \frac{{15 - \left( {1 - 2x} \right)}}{{15}}\]

\[15x - 6x - 1 = 15 - 1 + 2x\]

\[15x - 6x - 2x = 15 - 1 + 1\]

\[7x = 15\]

\(x = \frac{{15}}{7}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{15}}{7}.\)