Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

Xét phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\)

 \(2x - 2 - mx = 3\)

 \(\left( {2 - m} \right)x = 5\)

a) Để phương trình đã cho vô nghiệm thì phương trình \(\left( {2 - m} \right)x = 5\) vô nghiệm, hay nó có dạng \(0x = b\) với \(b \ne 0,\) điều này xảy ra khi và chỉ khi \(2 - m = 0,\) hay \(m = 2.\)

b) Để phương trình đã cho vô số nghiệm thì phương trình \(\left( {2 - m} \right)x = 5\) vô số nghiệm, hay nó có dạng \(0x = 0,\) điều này là vô lí.

Vậy không có giá trị nào của \(m\) để phương trình vô số nghiệm.

c) Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình \(\left( {2 - m} \right)x = 5\) có nghiệm duy nhất, hay nó có dạng \(ax = b\) với \(a \ne 0,\) điều này xảy ra khi và chỉ khi \(2 - m \ne 0,\) hay \(m \ne 2.\)

Hướng dẫn giải

Xét phương trình \[\left( {{m^2}--4} \right)x = 2--m.\,\,\left( * \right)\]

Trường hợp 1. \({m^2} - 4 = 0,\) tức là \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) = 0,\) nên \(m = 2\) hoặc \(m = - 2.\)

⦁ Nếu \(m = 2,\) thay vào phương trình \(\left( * \right),\) ta được: \(0x = 0.\) Phương trình này vô số nghiệm nên phương trình đã cho vô số nghiệm.

⦁ Nếu \(m = - 2,\) thay vào phương trình \(\left( * \right),\) ta được: \(0x = 4.\) Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Trường hợp 2. \({m^2} - 4 \ne 0,\) tức là \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0,\) nên \(m \ne 2\) và \(m \ne - 2.\)

Khi đó phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất là:

\[x = \frac{{2--m}}{{{m^2}--4}} = \frac{{ - \left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.\]

Vậy với \(m = 2,\) phương trình đã cho có vô số nghiệm;

\(m = - 2,\) phương trình đã cho vô nghiệm;

\(m \ne 2\) và \(m \ne - 2,\) phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \[x = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.\]

Hướng dẫn giải

Đổi \(20\)phút \[ = \frac{1}{3}\] giờ.

Gọi quãng đường AB là \[x\] (km) \(\left( {x > 0} \right).\)

Thời gian đi từ A đến B là \(\frac{x}{{40}}\) (giờ).

Lúc về người đó tăng vận tốc thêm \(5\) km/h nên vận tốc lúc về của người đó là \[40 + 5 = 45\] (km/h).

Thời gian đi từ B về A là \(\frac{x}{{45}}\) (giờ).

Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là \(20\) phút \[( = \frac{1}{3}\] giờ) nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{40}} - \frac{x}{{45}} = \frac{1}{3}\)

\(\frac{{9x}}{{360}} - \frac{{8x}}{{360}} = \frac{{120}}{{360}}\)

\(9x - 8x = 120\)

\(x = 120\) (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB là \(120\) km.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 0} \right).\)

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(x - 5\) (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút \( = 4,8\) giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: \(4,8x\) (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút \( = 1,8\) giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là \(4,8 - 1,8 = 3\) (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: \(3\left( {x - 5} \right)\) (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

\(4,8x = 3\left( {x - 5} \right) + 87\)

\(4,8x = 3x - 15 + 87\)

\(4,8x - 3x = - 15 + 87\)

\(1,8x = 72\)

\(x = 40\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(40\) km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(40 - 5 = 35\) km/h.

Hướng dẫn giải

Đổi 1 giờ 20 phút \[ = \frac{4}{3}\] giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là \[x\] (km/h) \[\left( {x > 3} \right).\]

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là \[x + 3\] (km/h).

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là \[x - 3\] (km/h).

Quãng đường ca nô khi xuôi dòng là \[\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right)\] (km).

Quãng đường ca nô khi ngược dòng là \[2\left( {x--3} \right)\](km).

Vì quãng đường ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng bằng nhau nên ta có phương trình:

\[\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)\]

\[4\left( {x + 3} \right) = 6\left( {x - 3} \right)\]

\[4x + 12 = 6x - 18\]

\[4x - 6x = - 18 - 12\]

\[ - 2x = - 30\]

\[x = 15\] (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là \[15\] km/h.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số thứ nhất thì số thứ hai là \(100 - x.\)

Khi tăng số thứ nhất lên 2 lần thì số thứ nhất lúc này là \(2x.\)

Khi cộng thêm số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ hai lúc này là \(100 - x + 5 = 105 - x.\)

Khi đó, số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai nên ta có phương trình:

\(2x = 5\left( {105 - x} \right)\).

\(2x = 525 - 5x\)

\(2x + 5x = 525\)

\(7x = 525\)         \[\]

\(x = 75\) (thỏa mãn).

Khi đó số thứ nhất là 75, số thứ hai là \(100 - 75 = 25.\)

Vậy hai số cần tìm là: 75 và 25.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là chữ số hàng chục của số cần tìm \((x \in \mathbb{N}\) và \(0 < x \le 9).\)

Vì số tự nhiên cần tìm là số chia hết cho 5 nên chữ số hàng đơn vị có thể là 0 hoặc 5.

Mà số tự nhiên này là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị của nó chỉ có thể là 5.

Độ lớn của số cần tìm là: \(\overline {x5} = 10x + 5.\)

Vì hiệu của số đó và chữ số hàng chục bằng 86 nên ta có phương trình:

\(10x + 5 - x = 86\)

\(9x = 81\)

\(x = 9\) (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là: 95.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là chữ số hàng chục của số cần tìm \((x \in \mathbb{N}\) và \(0 < x \le 9).\)

Khi đó chữ số hàng đơn vị là: \(12 - x.\)

Độ lớn số ban đầu là: \[10x + \left( {12 - x} \right).\]

Khi đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì số mới có chữ số hàng chục là: \(12 - x\) và chữ số hàng đơn vị là \(x.\) Số mới có độ lớn là: \(10\left( {12 - x} \right) + x.\)

Sau khi đổi chỗ thì số mới bé hơn số ban đầu là 18 đơn vị nên ta có phương trình:

\(\left[ {10x + \left( {12 - x} \right)} \right] - \left[ {10\left( {12 - x} \right) + x} \right] = 18\)

\(10x + 12 - x - 120 + 10x - x = 18\)

\[10x - x + 10x - x = 18 - 12 + 120\]

\(18x = 126\)

\(x = 7\) (thỏa mãn).

Khi số cần tìm có chữ số hàng chục là 7 và chữ số hàng đơn vị là \(12 - 7 = 5.\)

Vậy số cần tìm là: 75.

Hướng dẫn giải

Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là \(x\) (tấn) \(\left( {x > 0} \right).\)

Số ngày để thu hoạch hết số thóc theo dự định là \(\frac{x}{{20}}\) (ngày).

Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là \(x + 10\) (tấn).

Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là \(20 + 6 = 26\) (tấn).

Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là \(\frac{{x + 10}}{{26}}\) (ngày).

Vì hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}\)

\(\frac{{13x}}{{260}} - \frac{{260}}{{260}} = \frac{{10\left( {x + 10} \right)}}{{260}}\)

\(13x - 260 = 10x + 100\)

\(13x - 10x = 100 + 260\)

\(3x = 360\)

  \(x = 120\) (thỏa mãn).

Vậy số thóc theo dự định là 120 tấn.

Hướng dẫn giải

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là \[x\,\,\left( \% \right)\]\(\left( {x > 0} \right).\)

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là: \(200 \cdot \frac{x}{{100}} = 2x\) (g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là \(x - 20\,\,\left( \% \right).\)

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là: \(300 \cdot \frac{{x - 20}}{{100}} = 3\left( {x - 20} \right)\) (g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là: \(2x + 3\left( {x - 20} \right)\) (g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: \(200 + 300 = 500\) (g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: \(\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}} \cdot 100\% = 33\% \)

\(2x + 3x - 60 = 33 \cdot 5\)

\(5x = 225\)

\(x = 45\) (thỏa mãn).

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là \(45\% \) và \(25\% .\)

Hướng dẫn giải

Gọi trọng lượng bạc trong mũ \(x\) (Newton) \(\left( {0 < x < 5} \right).\)

Trọng lượng vàng trong mũ là \(5 - x\) (Newton).

Khi nhúng ngập trong nước, trọng lượng bạc giảm \(\frac{x}{{10}}\) (Newton), trọng lượng vàng giảm \(\frac{{5 - x}}{{20}}\) (Newton).

Mà trọng lượng của mũ giảm đi 0,3 Newton nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{10}} + \frac{{5 - x}}{{20}} = 0,3\)

\(\frac{{2x}}{{20}} + \frac{{5 - x}}{{20}} = \frac{{0,3 \cdot 20}}{{20}}\)

\(2x + 5 - x = 6\)

\(x = 1\) (thỏa mãn).

Do đó trọng lượng bạc trong mũ là 1 Newton.

Vậy chiếc mũ chứa 100 gam bạc.

Hướng dẫn giải

Gọi tuổi của Minh hiện nay là \(x\,\,\left( {x \in \mathbb{N}} \right)\) thì tuổi của bố Minh hiện nay là \(10x.\)

Sau 24 năm nữa tuổi của Minh là \(x + 24.\)

Sau 24 năm nữa tuổi của bố Minh là \(10x + 24.\)

Vì sau 24 năm nữa thì tuổi của bố chỉ gấp 2 lần tuổi của Minh nên ta có phương trình:

\(10x + 24 = 2\left( {x + 24} \right)\)

\(10x + 24 = 2x + 48\)

\(10x - 2x = 48 - 24\)

\(8x = 24\)

\(x = 3\) (thỏa mãn).

Vậy tuổi Minh hiện nay là 3 tuổi.

Hướng dẫn giải

Gọi tuổi con hiện nay là \(x\,\,\left( {x \in \mathbb{N}} \right).\)

Cách đây 4 năm, tuổi con là \(x - 4.\) Khi đó tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con nên tuổi mẹ là: \(5\left( {x - 4} \right).\)

Sau đây 2 năm, tuổi con là \(x + 2.\) Khi đó tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con nên tuổi mẹ là:\(3\left( {x + 2} \right)\).

Khoảng cách giữa hai lần này là 6 năm nên ta có phương trình:

\(3\left( {x + 2} \right) - 5\left( {x - 4} \right) = 6\)

\(3x + 6 - 5x + 20 = 6\)

\( - 2x = - 20\)

    \(x = 10\) (thỏa mãn).

Khi đó tuổi con hiện nay là 10. Sau 2 năm thì tuổi con là \(12,\) tuổi mẹ là \(3 \cdot 12 = 36.\) Do đó tuổi mẹ hiện nay là \(36 - 2 = 34.\)

Vậy tuổi con hiện nay là 10, tuổi mẹ hiện nay là 34.

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật có chu vi bằng 100 m nên có nửa chu vi là \(\frac{{100}}{2} = 50\) (m).

Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \(x\) (m) \(\left( {0 < x < 50} \right).\)

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: \(50 - x\) (m).

Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: \(x\left( {50 - x} \right)\) (m²).

Nếu tăng chiều rộng thêm 10 m thì chiều rộng mới là \(x + 10\) (m).

Nếu giảm chiều dài đi 10 m thì chiều dài mới là \(50 - x - 10 = 40 - x\) (m).

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)\) (m²).

Sau khi thay đổi kích thước thì diện tích hình chữ nhật không thay đổi nên ta có phương trình:

\(x\left( {50 - x} \right) = \left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)\)

\(50x - {x^2} = 40x - {x^2} + 400 - 10x\)

\(50x - 40x + 10x = 400\)

\(20x = 400\)

    \(x = 20\) (thỏa mãn).

Vậy diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: \(20 \cdot \left( {50 - 20} \right) = 600\;\) (m²).

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông nhỏ là \(x\) (m) \(\left( {x > 0} \right).\)

Chu vi của hình vuông nhỏ là \(4x\) (m).

Do hiệu số đo chu vi của hai hình vuông bằng 20 m nên chu vi của hình vuông lớn là \(4x + 20\) (m).

Khi đó, cạnh của hình vuông lớn là: \(\frac{{4x + 20}}{4} = \frac{{4\left( {x + 5} \right)}}{4} = x + 5\) (m).

Diện tích của hình vuông nhỏ là \({x^2}\) (m²) và diện tích của hình vuông lớn là \({\left( {x + 5} \right)^2}\) (m²).

Vì hiệu số đo diện tích của chúng bằng \(65\;{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình:

\({\left( {x + 5} \right)^2} - {x^2} = 65\)

\({x^2} + 10x + 25 - {x^2} = 65\)

\(10x = 40\)

    \(x = 4\) (thỏa mãn).

Vậy cạnh của hình vuông nhỏ và lớn lần lượt là: \(4\;{\rm{m}}\) và \(9\;\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADC\) có: \(\widehat {BAE}\) là góc chung; \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\,\,\left( {\frac{8}{{10}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}} \right).\] Do đó ΔABE∽ΔADC (c.g.c). b) Vì ΔABE∽ΔADC (câu a) nên \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BE}}{{DC}}\) Suy ra \(AB \cdot DC = AD \cdot BE.\) Do đó \(DC = \frac{{AD \cdot BE}}{{AB}} = \frac{{10 \cdot 10}}{8} = 12,5{\rm{\;cm}}.\)

c) Vì ΔABE∽ΔADC (câu a) nên \(\widehat {AEB} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta CBI\) và \(\Delta EDI\) có:

\(\widehat {BCI} = \widehat {DEI}\) (do \(\widehat {AEB} = \widehat {ACD})\) và \(\widehat {BIC} = \widehat {DIE}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó ΔCBI∽ΔEDI (g.g).

Suy ra \(\frac{{IC}}{{IE}} = \frac{{IB}}{{ID}}\)(tỉ số cạnh tương ứng) nên \[IB \cdot IE = ID \cdot IC.\]

Hướng dẫn giải

a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AD\,{\rm{//}}\,BC.\) Xét \(\Delta ADK\)có \(AD\,{\rm{//}}\,CN\) (do \(AD\,{\rm{//}}\,BC)\) nên ΔADK∽ΔCNK (g.g). b) Xét \(\Delta KAM\)có \(AM\,{\rm{//}}\,CD\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) nên  (g.g). Suy ra \(\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{KA}}{{KC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Mà ΔADK∽ΔCNK (câu a) nên \(\frac{{KD}}{{KN}} = \frac{{AK}}{{CK}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra \(\frac{{KD}}{{KN}} = \frac{{KM}}{{KD}}\) nên \(K{D^2} = KM \cdot KN.\)

c) Do ΔADK∽ΔCNK nên \(\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{AD}}{{CN}}\)(tỉ số cạnh tương ứng).

Do ΔKAM∽ΔKCD nên \(\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{AM}}{{CD}}\)(tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra \(\frac{{AD}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CD}}\) hay \(\frac{9}{{CN}} = \frac{6}{{10}},\) do đó \(CN = \frac{{9 \cdot 10}}{6} = 15\) (cm).

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ \) và \(\widehat B\) là góc chung. Do đó ΔABC∽ΔHBA (g.g). b) Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100.\) Suy ra \(BC = 10{\rm{\;cm}}.\)

Theo câu a), ΔABC∽ΔHBA nên \(\frac{{AC}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Suy ra \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4,8{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\)

c) ⦁ Chứng minh tương tự câu a), ta cũng có: (g.g).

Mà ΔABC∽ΔHBA hay ΔCBA∽ΔABH nên ΔABH∽ΔCAH  ∽ΔCBA.

Suy ra \[\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{CA}}\] (tỉ số cạnh tương ứng), do đó \[BH = \frac{{AB}}{{AC}} \cdot AH = \frac{6}{8} \cdot 4,8 = 3,6{\rm{\;cm}}.\]

Khi đó \[HC = BC - BH = 10 - 3,6 = 6,4{\rm{\;cm}}.\]

⦁ Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta HCE\) có:

\(\widehat {DAC} = \widehat {EHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACD} = \widehat {HCE}\) (do \(CD\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}).\)

Do đó ΔACD∽ΔHCE (g.g).

Suy ra \[\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AD}}{{HE}}\] (tỉ số cạnh tương ứng) nên \[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{HC}}{{HE}}\] (*)

⦁ Ta có \(CD\) là phân giác \(\widehat {ACB}\) nên \(\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{DA}}{{DB}},\) do đó \[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}}.\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AD + BD}} = \frac{{AC + BC}}{{AB}} = \frac{{8 + 10}}{6} = 3.\]

Suy ra \(AD = \frac{{AC}}{3} = \frac{8}{3}{\rm{\;cm}}\) và \[\frac{{HC}}{{HE}} = \frac{{AC}}{{AD}} = 3.\]

Khi đó \[HE = \frac{{HC}}{3} = \frac{{6,4}}{3} = \frac{{32}}{{15}}.\]

Ta có \[\frac{{{S_{\Delta ACD}}}}{{{S_{\Delta HCE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AD \cdot AC}}{{\frac{1}{2}HE \cdot HC}} = \frac{{AD \cdot AC}}{{HE \cdot HC}} = \frac{{\frac{8}{3} \cdot 8}}{{\frac{{32}}{{15}} \cdot 6,4}} = \frac{{25}}{{16}}.\]

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pytagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100\) Suy ra \(BC = \sqrt {100} = 10{\rm{\;cm}}.\) Vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\) nên suy ra: \[\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.\] b) Theo đề bài, \(CE \bot BD\) tại \(E\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBC\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC)\)

Do đó  (g.g).

Suy ra: \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{EC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Do đó \(BD \cdot EC = AD \cdot BC.\)

c) Từ \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\)\(\left( 1 \right)\)

Vì (câu b) nên \(\frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{EB}},\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EB}}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.\)

d) Tương tự câu b ta chứng minh được: ⦁ (g.g) nên \(\frac{{CH}}{{CE}} = \frac{{CE}}{{CB}}.\) Suy ra \(CH \cdot CB = C{E^2}\,\,\left( 3 \right)\) ⦁ (g.g) nên \(\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.\) Suy ra \(ED \cdot EB = C{E^2}\left( 4 \right)\) Từ\(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra: \(CH \cdot HB = ED \cdot EB.\)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BEC\) có: \(\widehat {ADC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACB}\)là góc chung. Do đó ΔADC∽ΔBEC (g.g). b) Xét \(\Delta HEA\) và \(\Delta HDB\) có: \(\widehat {HEA} = \widehat {HDB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh) Do đó ΔHEA∽ΔHDB (g.g).

Suy ra \(\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(HE \cdot HB = HA \cdot HD.\)

c) Vì \(H\) là giao điểm của hai đường cao \(AD,\,\,BE\) của tam giác \(ABC\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác, nên \(CH \bot AB,\) hay \(\widehat {AFC} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta AFH\) và \(\Delta ADB\) có:

\(\widehat {AFH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat {DAB}\)là góc chung

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(AF \cdot AB = AD \cdot AH.\)

d) Ta có \(\frac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HD \cdot BC}}{{\frac{1}{2}AD \cdot BC}} = \frac{{HD}}{{AD}}.\)

Tương tự: \(\frac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HE}}{{BE}};\)\(\frac{{{S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HF}}{{CF}}.\)

Khi đó \(\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}}\)\[ = \frac{{{S_{\Delta AHB}} + {S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta CHA}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 1.\]

a) Ta có \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\)\(\left( 1 \right)\) (tính chất hình bình hành)

Mà \(\widehat {HBC} = 180^\circ - \widehat {ABC}\)\(\left( 2 \right)\) (hai góc kề bù)

      \(\widehat {KDC} = 180^\circ - \widehat {ADC}\)\(\left( 3 \right)\) (hai góc kề bù)

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\) suy ra \(\widehat {HBC} = \widehat {KDC}.\)

Xét \(\Delta CHB\) và \(\Delta CKD\) có:

\(\widehat {BHC} = \widehat {DKC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBC} = \widehat {KDC}\)

Do đó ΔCHK∽ΔBCA (g.g).

Suy ra \(\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CB}}{{CD}}\) (tỉ số cạnh tương ứng), hay \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}\) (tính chất tỉ lệ thức).

b) Ta có \(\widehat {ABC}\) là góc ngoài của \(\Delta BHC\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BHC} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}\)\(\left( 4 \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC\,{\rm{//}}\,AD\) và \(AB = CD\) (tính chất hình bình hành)

Mà \(CK \bot AD\) nên \(CK \bot BC\) nên \(\widehat {BCK} = 90^\circ .\)

Do đó \(\widehat {KCH} = \widehat {BCK} + \widehat {BCH} = 90^\circ + \widehat {BCH}\)\(\left( 5 \right)\)

Từ \(\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {KCH}.\)

Theo câu a, \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CD}}\) mà \(AB = CD\) nên \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}.\)

Xét \(\Delta CHK\) và \(\Delta BCA\) có: \(\widehat {KCH} = \widehat {ABC}\) và \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{BA}}\)

Do đó ΔCHK∽ΔBCA (c.g.c).

c) Kẻ \(BE \bot AC\) tại \(E\)\(\left( {E \in AC} \right).\)

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AHC\) có:\(\widehat {AEB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HAC}\) là góc chung.

Do đó ΔAEB ∽ ΔAHC (g.g).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AH}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(AB \cdot AH = AC \cdot AE\)\(\left( 6 \right)\)

Xét \(\Delta BCE\) và \(\Delta CAK\) có:

\(\widehat {BEC} = \widehat {CKA} = 90^\circ \) và \(\widehat {BCE} = \widehat {CAK}\) (hai góc so le trong, \(BC\,{\rm{//}}\,DA)\)

Do đó ΔBCE∽ΔCAK (g.g).

Suy ra \(\frac{{BC}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{AK}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(BC \cdot AK = AC \cdot CE\)

Mà \(BC = AD\) nên \(AD \cdot AK = AC \cdot CE\)\(\left( 7 \right)\)

Từ \(\left( 6 \right)\) và \(\left( 7 \right)\) suy ra: \(AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC \cdot AE + AC \cdot CE\)

Hay \(AB \cdot AH + AD \cdot AK = AC\left( {AE + CE} \right) = A{C^2}.\)

d) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,BC\) (tính chất hình bình hành)

Hay \(AM\,{\rm{//}}\,CD;\;AD\,{\rm{//}}\,NC.\)

Vì \(AD\,{\rm{//}}\,NC\) nên  do đó \(\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IA}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 8 \right)\)

Vì \(AM\,{\rm{//}}\,DC\) nên do đó \(\frac{{ID}}{{IM}} = \frac{{IC}}{{IA}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 9 \right)\)

Từ \(\left( 8 \right)\) và \(\left( 9 \right)\) suy ra \(\frac{{IN}}{{ID}} = \frac{{ID}}{{IM}},\) nên \(IM \cdot IN = I{D^2}.\)

e) Theo câu d, ta có: \(IM \cdot IN = I{D^2},\) mà \(ID = IJ\) (vì \(J\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(I)\)

Do đó \(I{J^2} = IM \cdot IN\) nên \(\frac{{IJ}}{{IM}} = \frac{{IN}}{{IJ}}.\)

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có: \(\frac{{IJ - IM}}{{IM}} = \frac{{IN - IJ}}{{IJ}}\) hay \(\frac{{MJ}}{{IM}} = \frac{{NJ}}{{IJ}}\)

Suy ra \(\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{IM}}{{IJ}} = \frac{{IM}}{{ID}}\) (do \(ID = IJ).\)

Lại có\(AM\,{\rm{//}}\,CD,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{IM}}{{ID}} = \frac{{AM}}{{CD}}.\)

 Suy ra \(\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{AM}}{{CD}},\) mà \(CD = AB\) nên \(\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{AM}}{{AB}}\)\(\left( {10} \right)\)

Mặt khác, có \(NB\,{\rm{//}}\,AD\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{DM}}{{NM}}.\)

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có: \(\frac{{AM}}{{MB + AM}} = \frac{{DM}}{{MN + DM}}\) hay \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{DM}}{{DN}}\)\(\left( {11} \right)\)

Từ \(\left( {10} \right)\) và \(\left( {11} \right)\) suy ra \(\frac{{MJ}}{{NJ}} = \frac{{DM}}{{DN}}.\)

a) Vì \(O\) là giao điểm ba đường trung trực nên \(OM \bot AB.\)

Lại có \(AH \bot BC\)\((H\) là trực tâm) nên \(AH\,{\rm{//}}\,OM.\)

Tương tự, \(BH\,{\rm{//}}\,ON.\)

Do đó \(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét tam giác \[BAC\] có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\)

Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,AB,\)\(MN = \frac{1}{2}AB.\)

Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét \(\Delta OMN\) và \(\Delta HAB\) có:

\(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) và \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\)

Do đó ΔOMN∽ΔHAB (g.g).

b) Vì ΔOMN∽ΔHAB (câu a) nên \[\frac{{OM}}{{HA}} = \frac{{NO}}{{HB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\] (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC,\)\(AM\) là trung tuyến nên \(\frac{{AG}}{{GM}} = 2,\) hay \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{1}{2}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}.\)

Xét \(\Delta GOM\) và \(\Delta GHA\) có:

\(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}\) và \(\widehat {OMG} = \widehat {HAG}\) (so le trong của \(AH\,{\rm{//}}\,OM)\)

Do đó ΔGOM∽ΔGHA (c.g.c).

c) Vì ΔGOM∽ΔGHA (câu b) nên \(\widehat {OGM} = \widehat {HGA}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HGM} + \widehat {HGA} = 180^\circ \) (kề bù) nên \[\widehat {HGM} + \widehat {OGM} = 180^\circ .\]

Do đó 3 điểm \(O;\,\,G;\,\,H\) thẳng hàng.

Mặt khác, nên \(\frac{{GO}}{{GH}} = \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{2},\) suy ra \(GH = 2GO.\)

a) Mặt khác: \(MN\,{\rm{//}}\,QP\) (do \(MNPQ\) là hình thang) nên \(\widehat {MNQ} = \widehat {NQP}\) (so le trong)

Xét \(\Delta MNQ\) và \(\Delta NQP\) có:

\(\widehat {QMN} = \widehat {QNP}\) và \(\widehat {MNQ} = \widehat {NQP}\)

Do đó ΔMNQ∽ΔNQP  (g.g).

b) ⦁ Ta có: ΔMNQ∽ΔNQP (câu a) nên \(\frac{{MN}}{{NQ}} = \frac{{NQ}}{{QP}}\) (tỉ số cạnh tương ứng)

Suy ra \(N{Q^2} = MN \cdot PQ = 9 \cdot 16 = 144,\) do đó \(NQ = \sqrt {144} = 12{\rm{\;cm}}.\)

⦁ Ta có: \(MN\,{\rm{//}}\,QP,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{MN}}{{PQ}} = \frac{{NO}}{{QO}}.\)

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có: \(\frac{{MN}}{{PQ + MN}} = \frac{{NO}}{{QO + NO}}\) hay \(\frac{{MN}}{{PQ + MN}} = \frac{{NO}}{{QO + NO}}\)

Suy ra \(\frac{9}{{16 + 9}} = \frac{{NO}}{{NQ}},\) do đó \(NO = \frac{{9 \cdot NQ}}{{25}} = \frac{{9 \cdot 12}}{{25}} = 4,32\) cm.

⦁ Từ đó suy ra: \(OQ = NQ - NO = 12 - 4,32 = 7,68\) cm.

c) Ta có: \(NA\) là đường phân giác của \(\Delta MNQ\) nên \[\frac{{NM}}{{NQ}} = \frac{{AM}}{{AQ}}\] (tính chất).

Tương tự, \(QB\) là đường phân giác của \(\Delta NPQ\) nên \(\frac{{QN}}{{QP}} = \frac{{BN}}{{BP}}\) (tính chất).

Mặt khác, \(\frac{{MN}}{{NQ}} = \frac{{NQ}}{{QP}}\) (chứng minh ở câu b).

Do đó \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{BN}}{{BP}},\) nên \(AM \cdot BP = AQ \cdot BN.\)

d) Cách 1. Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(QP,\) cắt \(MP\) tại \(I.\)

Theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{MI}}{{IP}}.\)

Lại có \(\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{BN}}{{BP}}\) (chứng minh câu c) nên \(\frac{{BN}}{{BP}} = \frac{{MI}}{{IP}},\) theo định lí Thalès đảo ta suy ra \(IB\,{\rm{//}}\,MN.\)

Qua \(I\) có \(AI\,{\rm{//}}\,MN\) (do cùng song song \(QP),\)\(BI\,{\rm{//}}\,MN\) nên theo tiên đề Euclid thì \(A,\,\,I,\,\,B\) thẳng hàng hay \(AB\,{\rm{//}}\,MN.\)

Cách 2. Xét tứ giác \(ANBQ\) có:

\(\widehat {ANQ} = \widehat {ANM} = \frac{1}{2}\widehat {MNQ}\) (do \(AN\) là tia phân giác của \(\widehat {MNQ});\)

\(\widehat {BQN} = \frac{1}{2}\widehat {NQP}\) (do \(QB\) là tia phân giác của \(\widehat {NQP})\)

Mà \(\widehat {MNQ} = \widehat {NQP}\) (chứng minh ở câu a) nên \(\widehat {ANQ} = \widehat {BQN}.\)

Lại có \(\widehat {ANQ}\) và \(\widehat {BQN}\) nằm ở vị trí so le trong nên \(AN\,{\rm{//}}\,BQ\)\(\left( 1 \right)\)

Mặt khác: \(\widehat {QAN} = \widehat {AMN} + \widehat {MNA}\) (góc ngoài của \(\Delta AMN)\) và \(\widehat {ANB} = \widehat {ANQ} + \widehat {QNB}.\)

Mà \(\widehat {AMN} = \widehat {QNP}\) và \(\widehat {MNA} = \widehat {ANQ}\)

Do đó \(\widehat {QAN} = \widehat {ANB}\)    \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right),\) suy ra tứ giác \(ANBQ\) là hình thang cân.

Do đó \(\widehat {AQB} = \widehat {NBQ}\) (tính chất hình thang cân).   \(\left( 3 \right)\)

Xét \(\Delta ABQ\) và \(\Delta NQB\) có:

\(AQ = BN;\)\(AB = NQ\) (do \(ANBQ\) là hình thang cân) và \(BQ\) là cạnh chung

Do đó \(\Delta ABQ = \Delta NQB\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {ABQ} = \widehat {NQB}\) \(\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và\(\left( 4 \right),\) suy ra \(\widehat {AQB} - \widehat {NQB} = \widehat {NBQ} - \widehat {ABQ}\) hay \(\widehat {AQN} = \widehat {ABN}.\)

Lại có: \(\widehat {AQN} = \widehat {QPN}\) (do

Do đó \(\widehat {ABN} = \widehat {QPN},\) mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị nên \(AB\,{\rm{//}}\,MN.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(\widehat {IEF} + \widehat {IFE} = 90^\circ \) (do \(\Delta IEF\) vuông tại \(I);\)

\(\widehat {KIF} + \widehat {IFE} = 90^\circ \) (do \(\Delta IEF\) vuông tại \(I).\)

Do đó \(\widehat {IEF} = \widehat {KIF}.\)

Xét \(\Delta IEK\) và \(\Delta FIK\) có:

\[\widehat {IKE} = \widehat {FKI} = 90^\circ \] và \(\widehat {IEF} = \widehat {KIF}\)

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{IK}}{{FK}} = \frac{{EK}}{{IK}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Nên \(I{K^2} = KE \cdot KF = 90 \cdot 160 = 14\,\,400.\) Suy ra \(IK = 120{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách giữa hai bờ sông là \(120\) m.

Gọi \(F\) là giao điểm của \(AB\) và \(ED.\)

Quan sát đường đi của bạn An theo hình vẽ thì đó là tứ giác \(BCDF,\) tứ giác này có \(\widehat {B\,} = \widehat {C\,} = \widehat {D\,} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.

Mà \(CD = CB = 300\) m nên hình chữ nhật \(BCDF\) là hình vuông.

Do đó \(BC = CD = DF = FB = 300\) (m) và \(\widehat {BFD} = 90^\circ .\)

Ta có \(AF = AB + BF = 900 + 300 = 1\,\,200\) (m); \(EF = FD + DE = 300 + 200 = 500\) (m).

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta AEF\) vuông tại \(F\) ta có:

\(A{E^2} = A{F^2} + E{F^2}\)\( = 1\,\,{200^2} + {500^2} = 1{\rm{ }}690{\rm{ }}000.\)

Suy ra \(AE = \sqrt {1{\rm{ }}690{\rm{ }}000} = 1\,\,300\) (m) \( = 1,3\) (km).

Thời gian đi hết quãng đường \(AE\) là: \(\frac{{1,3}}{{13}} = 0,1\) (giờ) \( = 6\) (phút).

Vậy bạn An đi từ nhà đến trường (bằng xe đạp điện) là lúc \(7\) giờ \(6\) phút.