Dạng 4*. Vẽ thêm đường thẳng song song để chứng minhhệ thức hình học, tính tỉ số hai đoạn thẳng

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC. Đường thẳng này cắt  $BN,CP$ lần lượt ở E và F.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $AE\parallel BC$ và $FA\parallel BC$, ta được:

                         $\frac{NA}{NC}=\frac{EA}{BC}$(1); $\frac{PA}{PB}=\frac{AF}{BC}$ (2).

Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được: $\frac{NA}{NC}+\frac{PA}{PB}=\frac{IA}{IM}$.

Đặt $BD=CE=a$.

Cách 1: (hình 281)

Kẻ $DH\parallel AC$ thì $DH\parallel EC$.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $DH\parallel EC$ và $DH\parallel AC$,ta được:

                      $\frac{KE}{KD}=\frac{EC}{DH}=\frac{a}{DH}$   (1);

                       $\frac{DH}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{a}{BA}\Rightarrow \frac{a}{DH}=\frac{AB}{AC}$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{KE}{KD}=\frac{AB}{AC}$.

Cách 2: (hình 282)

Kẻ $DI\parallel BC$ thì $DI\parallel CK$.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $DI\parallel CK$ và $DI\parallel BC$, ta được:

                         $\frac{KE}{KD}=\frac{CE}{CI}=\frac{a}{CI}$(3); $\frac{CI}{CA}=\frac{BD}{BA}=\frac{a}{BA}\Rightarrow \frac{BA}{CA}=\frac{a}{CI}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{KE}{KD}=\frac{AB}{AC}$.

Cách 3: (hình 283)

Kẻ $EM\parallel AB$ thì $EM\parallel BD$.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho  $EM\parallel BD$ và EM//AB, ta được:

            $\frac{KE}{KD}=\frac{EM}{BD}=\frac{EM}{a}$ (5); $\frac{CE}{CA}=\frac{EM}{AB}=\frac{a}{CA}\Rightarrow \frac{EM}{a}=\frac{AB}{CA}$ (6).

Từ (5) và (6) suy ra $\frac{KE}{KD}=\frac{AB}{AC}$.

Cách 4: (hình 284)

Kẻ $EN\parallel BC$ thì $EN\parallel BK$.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $EN\parallel BK$ và $EN\parallel BC$,ta được:

           $\frac{KE}{KD}=\frac{BN}{BD}=\frac{BN}{a}$  (7); $\frac{BN}{BA}=\frac{CE}{CA}=\frac{a}{CA}\Rightarrow \frac{BN}{a}=\frac{BA}{CA}$ (8)

Từ (7) và (8) suy ra $\frac{KE}{KD}=\frac{AB}{AC}$.