Dạng 4: Trắc nghiệm Phương trình có đáp án

$\left[\begin{array}{l}{x}_1=\frac{-\left(-1\right)+9}{2.1}=5\\ x_2=\frac{-\left(-1\right)-9}{2.1}=-4\end{array}\right.$

Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$

a) Thay  $m=-2$ vào phương trình (1) ta có: $x^2+4x+3=0\iff x\left(x+3\right)+\left(x+3\right)=0\iff \left(x+3\right)\left(x+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=-1\end{array}\right.$

Vậy với $m=-2$ thì phương trình có tập nghiệm $S=\left\{-3;-1\right\}$

b) Ta có: ${\Delta }^{\text{'}}=m^2-\left(-4m-5\right)={\left(m+2\right)}^2+1>0,\forall m$

Do đó phương trình  luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.

c) Do phương trình  luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m, gọi  là hai nghiệm của phương trình

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=-4m-5\end{array}\right.$

Ta có: $\frac{1}{2}{x}_1^2-\left(m-1\right)x_1+x_2-2m+\frac{33}{2}=762019$

$\begin{array}{l}\iff x_{{}_1}^2-2\left(m-1\right)x_1+2x_2-4m+33=1524038\\ \iff x_{{}_1}^2-2m{x}_1-4m-5+2\left(x_1+x_2\right)=1524000\end{array}$

 $\iff 2\left(x_1+x_2\right)=1524000$(do x1 là nghiệm của (1)  nên  $x_{{}_1}^2-2m{x}_1-4m-5=0$)

$\iff 2.2m=1524000\iff m=381000$

Vậy $m=381000$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có 1 + 4 – 5 = 0, phương trình đã cho có hai nghiệm   $x_1=1;x_2=-5$

Vậy phường trình có tập nghiệm là $S=\left\{-5;1\right\}$

a = 1; b = – m; c = – 1.

Vì a và c khác dấu, phương trình luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$ khác dấu.

Theo hệ thức Viete ta có: $x_1+x_2=m$ (1)

Vì $x_1;x_2$  khác dấu mà $x_1<x_2$ $\Rightarrow x_1<0<x_2\Rightarrow \left|x_1\right|=-x_1;\left|x_2\right|=x_2$.

Ta có: $\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=6\iff -x_1-x_2=6\iff x_1+x_2=-6$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra m = – 6.

Điều kiện: $x\ge 0$. Với  ta có:

$2\sqrt{x}-\sqrt{3x+1}=x-1$

$\iff \left(2\sqrt{x}-\sqrt{3x+1}\right)\left(2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}\right)=\left(x-1\right)\left(2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}\right)$

$\iff x-1=\left(x-1\right)\left(2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}\right)$

$\iff x-1-\left(x-1\right)\left(2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(1-2\sqrt{x}-\sqrt{3x+1}\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-1=0\\ 1-2\sqrt{x}-\sqrt{3x+1}=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ 2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}=1(*)\end{array}\right.$

Giải (*) $2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}=1$.

Với $x\ge 0$ta có: $\left.\begin{array}{l}2\sqrt{x}\ge 0\\ \sqrt{3x+1}\ge 1\end{array}\right\}\Rightarrow 2\sqrt{x}+\sqrt{3x+1}\ge 1$.

Dấu ‘=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy (*) có nghiệm x = 0.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm {0; 1}.

a)      Với  $m=-1$ thì phương trình (1) trở thành  $x^2-x-6=0$$\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-2\end{array}\right.$.

Vậy khi $m=-1$ thì phương trình có hai nghiệm  và .

b) Yêu cầu bài toán tương đương phương trình  có hai nghiệm dương phân biệt  thỏa mãn

 Khi đó $\left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(3m-3\right)>0\\ x_1+x_2=m+2>0\\ x_1.x_2=3m-3>0\\ x_1^2+x_2^2=25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m-4\right)}^2>0\\ m>-2\\ m>1\\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=25\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 4\\ m>1\\ {\left(m+2\right)}^2-2\left(3m-3\right)=25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 4\\ m>1\\ m^2-2m-15=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 4\\ m>1\\ \left[\begin{array}{l}m=5\\ m=-3\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy m phải tìm là $m=5.$

Vậy $S=\left\{3;2\right\}.$

a) Với m = -3 ta có phương trình: $x^2+5x-3=0$

Ta có: $\Delta =37>0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $\left[\begin{array}{c}x=\frac{-5+\sqrt{37}}{2}\\ x=\frac{-5-\sqrt{37}}{2}\end{array}\right.$

b) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm  thỏa mãn

Ta có $\Delta =25-4m$ 

Phương trình (*) có 2 nghiệm  $\iff \Delta \ge 0\iff 25-4m\ge 0\iff m\le \frac{25}{4}$

Theo hệ thức Viet, ta có :  $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-5\\ x_1.x_2=m\end{array}\right.$

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-5\\ 9x_1+2x_2=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1=4\\ x_2=-9\end{array}\right.$

nên $m=x_1.x_2=4(-9)=-36$ (thỏa điều kiện)

Vậy m = -36

Điều kiện:

.

a)      Vì $x=2$là nghiệm của phương trình nên: $2^2-2\left(m+1\right).2+m^2+2=0$

$\iff m^2-4m+2=0$ $\Delta =2>0\Rightarrow m_1=2+\sqrt{2};m_2=2-\sqrt{2}$

                  ${\Delta }^{,}={\left(m+1\right)}^2-\left(m^2+2\right)=2m-1$

b)      Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $2m-1>0\iff m>\frac{1}{2}$

Theo định lý Viet, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2(m+1)\left(1\right)\\ x_1.x_2=m^2+2\left(2\right)\end{array}\right.$

$x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=4{\left(m+1\right)}^2-2\left(m^2+2\right)=2m^2+8m$

Theo đề bài $x_1^2+x_2^2=10\Rightarrow 2m^2+8m=10\iff 2m^2+8m-10=0\iff m^2+4m-5=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-5\end{array}\right.$

Đối chiếu điều kiện suy ra với  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=10$.

Giả sử  

Giả sử $x_1^2=x_2^2;$ $x_3^2=x_4^2$

Phương trình $x^4+2m{x}^2+4=0$ có 4 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3,x_4$ thỏa:  

$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=32\iff 2x_1^4+2x_3^4=32$ 

Đặt  $x^2=t$($t\ge 0$) (1) $\iff t^2+2mt+4=0$       (2)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\iff -4m+9>0\iff -4m>-9\iff m<\frac{9}{4}$

Áp dụng định lý Vi et ta có:

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=2m-3\\ P=x_1.x_2=m^2-2m\end{array}\right.$ 

$\left|x_1-x_2\right|=7\iff {\left(x_1-x_2\right)}^2=49\iff {x_1}^2+{x_2}^2-2x_1.x_2=49\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1.x_2=49$

Thay   $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-3\\ x_1.x_2=m^2-2m\end{array}\right.$

Ta được  ${\left(2m-3\right)}^2-4\left(m^2-2m\right)=49\iff -4m+9=49\iff m=-10$ (t/m đk)

Điều kiện: $1\le x\le 6$

Ta có ${\Delta }^{\text{'}}=12>0$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Áp dụng định lí Viét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1.x_2=-11\end{array}\right.$

$T=x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=2^2-3.(-11)=37$

Ta có phương trinh hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

 $\begin{array}{l}{x}^2=3x-2\iff x^2-3x+2=0\\ \Delta =-\mathrm{4.1.2}=1\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3-\sqrt{1}}{2}=1\Rightarrow y=1\\ x_2=\frac{3+\sqrt{1}}{2}=2\Rightarrow y=4\end{array}\right.\end{array}$

Vậy (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt là (1;1) và (2;4)

Ta có $\Delta ={(-1)}^2-\mathrm{4.3.}(-1)=13>0$ nên áp dụng hệ thức Vi et ta có:

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{1}{3}\\ x_1{x}_2=\frac{-1}{3}\end{array}\right.\Rightarrow A=x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2.\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{7}{9}$

Vậy   $A=\frac{7}{9}$

a) Ta có:

 $\begin{array}{l}{T}_F=\mathrm{1,8.}{T}_C+32\\ hay{T}_F=\mathrm{1,8.25}+32=77\end{array}$

Vậy $25°C$  ứng với   $77°F$

b) Ta có A =  $\mathrm{5,6.}{T}_F-275$

hay   $106=\mathrm{5,6.}{T}_F-275$ $\Rightarrow T_F=\frac{106+275}{\mathrm{5,6}}\approx \mathrm{68,036}$

Vậy nhiệt độ tính theo độ C của con dế là:

$T_C=\frac{T_F-32}{\mathrm{1,8}}=\frac{\mathrm{68,036}-32}{\mathrm{1,8}}\approx 20(°C)$ 

Vậy con dế kêu 106 tiếng thì lúc đó nó 20 độ C.

Ta có: $\frac{1}{2}{x}_1^2-\left(m-1\right)x_1+x_2-2m+\frac{33}{2}=762019$

$\begin{array}{l}\iff x_{{}_1}^2-2\left(m-1\right)x_1+2x_2-4m+33=1524038\\ \iff x_{{}_1}^2-2m{x}_1-4m-5+2\left(x_1+x_2\right)=1524000\end{array}$ 

$\iff 2\left(x_1+x_2\right)=1524000$(do $x_1$ là nghiệm của  nên $x_{{}_1}^2-2m{x}_1-4m-5=0$ )

$\iff 2.2m=1524000\iff m=381000$

Vậy $m=381000$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

                        $\begin{array}{l}{x}^2-6x+5=0\iff x^2-5x-x+5=0\\ \iff x(x-5)-(x-5)=0\iff \left(x-1\right)\left(x-5\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=5\end{array}\right.\end{array}$                              Vậy $S=\left\{1;5\right\}$

Kết hợp            Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình là $x=-\frac{9}{4},x=3$.

Khi đó,     Áp dụng định lí Vi - ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-2\\ x_1{x}_2=-(2m+7)\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}A=x_1^2+x_2^2+6x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2+4x_1{x}_2\\ hayA={\left(2m-2\right)}^2-4(2m+7)=4m^2-8m+4-8m-28=4m^2-16m-24\\ \\ \end{array}$

Gọi x và     x+2 là hai cạnh của tam giác vuông (0 <x<24)

       Theo đề ra và áp dụng định lý Py ta go, ta có phương trình

               $\begin{array}{l}{x}^2+{\left(x+2\right)}^2=\\ \iff x^2+x^2+4x+4={\left(22-2x\right)}^2\\ \iff 2x^2+4x+4=484-88x+4x^2\\ \iff 2x^2-92x+480=0\iff \left[\begin{array}{l}x=40\left(loại\right)\\ x=6\left(chọn\right)\end{array}\right.\end{array}$

            Độ dài 2 cạnh là 6m và 8 cm

           $S=\frac{6.8}{2}=24\left(c{m}^2\right)$

Đặt  $t=x^2,t\ge 0$. Phương trình đã cho trở thành: $t^2+3t-4=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-4\left(loai\right)\end{array}\right.$

Với   t=1 => x²=1 => x=-1; x=1

Phương trình thành  $a^2+a-20=0$

 $\Delta =1^2-\mathrm{4.1.}(-20)=81>0$

Nên phương trình có hai nghiệm  $\left[\begin{array}{l}{a}_1=\frac{-1-\sqrt{81}}{2}=-5(lo¹i)\\ a_2=\frac{-1+\sqrt{81}}{2}=4\left(chän\right)\end{array}\right.$

$\text{Vì\hspace{0.17em}}a=4\Rightarrow x^2=4\iff x=\pm 2$

$VậyS=\left\{\pm 2\right\}$

Ta có a =3; b = - 7 ; c = 2   $\Rightarrow \Delta =b^2-4ac={\left(-7\right)}^2-\mathrm{4.3.2}=25>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=5$

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

 $\left[\begin{array}{l}{x}_1=\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2=\frac{7+5}{6}=2\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là  $S=\left\{\frac{1}{3};2\right\}$

Ta có  $\Delta ={\left(m-1\right)}^2+4m={\left(m+1\right)}^2$

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2\iff \Delta >0\iff m\ne -1$.

ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m-1\\ x_1.x_2=-m\end{array}\right.$.

Theo đề bài ta có: $x_1\left(3-x_2\right)+20\ge 3\left(3-x_2\right)$

$\iff 3\left(x_1+x_2\right)-x_1{x}_2\ge -11\iff 3\left(m-1\right)+m\ge -11\iff 4m\ge -8\iff m\ge -2.$

Vậy  $m\ge -2\text{;}m\ne -1$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1\left(3-x_2\right)+20\ge 3\left(3-x_2\right)$

.

Ta có    $\Delta =1>0$         

Phương trình có 2 nghiệm $x_1=1$, $x_2=2$.

Ta có $\Delta =0$

Đặt $t=x^2,t\ge 0$, phương trình trở thành $t^2-9t=0$

Giải ra được $t=0$ (nhận); $t=9$ (nhận)

Khi $t=9$, ta có $x^2=9\iff x=\pm 3$.

Khi $t=0$, ta có $x^2=0\iff x=0$.

Ta có  $\Delta ={\left(m-1\right)}^2+4m={\left(m+1\right)}^2$

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2\iff \Delta >0\iff m\ne -1$.

ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m-1\\ x_1.x_2=-m\end{array}\right.$.

Theo đề bài ta có: $x_1\left(3-x_2\right)+20\ge 3\left(3-x_2\right)$

$\iff 3\left(x_1+x_2\right)-x_1{x}_2\ge -11\iff 3\left(m-1\right)+m\ge -11\iff 4m\ge -8\iff m\ge -2.$