Dạng 4: Bất đẳng thức bu-nhi-a-cốp-xki có đáp án

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

(x3+y3)2≤(x2+y2)(x4+y4)

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

ab+bc+ca≤a2+b2+c2

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: p<p−a+p−b+p−c≤3p

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: a2b2+b2c2+c2a2≥ab+bc+ca

Hai số x, y thỏa mãn x2+y2=1. Chứng minh rằng −5≤3x+4y≤5.

Cho các số không âm a, y thỏa mãn x3+y3=2. Chứng minh rằng: x2+y2≤2

Chứng minh bất đẳng thức:

a12a2+a3+a4+a22a3+a4+a5+a32a4+a5+a1+a42a5+a1+a2+a52a1+a2+a3≥53

Trong đó: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ là các số dương thỏa mãn điều kiện:

a12+a22+a32+a42+a52≥1

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1

Hãy chỉ ra nghiệm có tổng 3x2+2y2 nhỏ nhất.