Dạng 3: Bất đẳng thức cô-si có đáp án
11 câu hỏi
Cho a,b>0. Chứng minh rằng: (a+b)(1a+1b)≥4.
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
- Cho cặp số a, b, ta được:
a+b≥2ab (1)
- Cho cặp số 1a+1b, ta được:
1a+1b≥2ab (2)
Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được:
a+b(1a+1b)≥2ab.2ab=4, đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi: a=b1a=1b⇔a=b
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: ab+c+bc+a+ca+b≥32
Ta có:
ab+c+bc+a+ca+b=ab+c+1+bc+a+1+ca+b+1−3=(a+b+c)ab+c+bc+a+ca+b−3=12(a+b)+(b+c)+(c+a)1b+c+1c+a+1a+b−3≥12.3(a+b)(b+c)(c+a)3.31(a+b)(b+c)(c+a)3−3=92−3=32
Dấu đẳng thức xảy ra khi: a+b=b+c=c+a1a+b=1b+c=1c+a⇔a=b=c.
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: ab(a+b−2c)+bc(b+c−2a)+ca(c+a−2b)≥0
Biến đổi bất phương trình về dạng:
a+b−2cc+b+c−2aa+c+a−2bb≥0⇔ac+bc+ba+ca+cb+ab≥6
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho VT, ta được:
⇔ac+bc+ba+ca+cb+ab≥6.ac.bc.ba.ca.cb.ab6=6, đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi: ac=bc=ba=ca=cb=ab⇔a=b=c
Cho a,b>0,m∈ℕ*. Chứng minh rằng: 1+abm+1+bam≥2m+1
Ta có:
1+ab≥2ab⇔1+abm≥2mabm1+ba≥2ba⇔1+bam≥2mbam
Suy ra:
1+abm+1+bam≥2mabm+2mbam ≥2.2m.abm.2mbam=2m+1
Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1=ab1=ba1+abm=1+bam⇔a=b
Cho hai số a,b≥0.
a. Nếu a+b=k−const, tính giá trị lớn nhất của ab.
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: a+b≥2ab⇔ab≤a+b22=k24
Từ đó suy ra (ab)Max=k24, đạt được khi a=b=k2.
b. Nếu ab=k−const, tính giá trị nhỏ nhất của a + b.
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: a+b≥2ab=2k
Từ đó suy ra a+bMin=2k, đạt được khi a=b=k2
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=x3+15x, với x > 0.
Với x>0, ta được x3,15x>0.
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
y=x3+12x≥2.x3.12x=4
Từ đó suy ra yMin=4, đạt được khi:
x3=12x⇔x2=36⇔x=6 (x>0)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=x3+3x2, với x > 0
Biến đổi: y=12x3+12x3+1x2+1x2+1x2≥512x3.12x3.1x2.1x2.1x25=545
Từ đó suy ra yMin=545, đạt được khi:
12x3=12x3=1x2=1x2=1x2⇔x5=2⇔x=25
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y=(x+2)(3−x), với −2≤x≤3
Với −2≤x≤3, ta được x+2≥0 và 3−x≥0.
Do đó sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
y=(x+2)(3−x)≤(x+2)+(3−x)22=254
Từ đó suy ra yMax=254, đạt được khi:
x+2=3−x⇔x=12
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y=x(1−x)3, với 0≤x≤1.
Biến đổi: y=x(1−x)3=13.3x(1−x)3=13.3x(1−x)(1−x)(1−x),
Rồi áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số không âm gồm 3x và 3 số 1 - x, ta được:
y≤13.3x+(1−x)+(1−x)+(1−x)44=13.344=3344
Dấu đẳng thức xảy ra khi: 3x=1−x=1−x=1−x⇔x=14
Giải phương trình: 3x+1+x+13=2
Điều kiện x≠−1.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:
VT=3x+1+x+13≥2.3x+1.x+13=2=VP.
Vậy phương trình tương đương với:
3x+1=x+13⇔9=(x+1)2⇔x+1=3x+1=−3⇔x=2x=−4
Vậy, phương trình có 2 nghiệm x = 2 và x = -4.
