Dạng 1: Bài tập tự luyện có đáp án
35 câu hỏi
Cho ví dụ về bất đẳng thức theo từng loại có chứa dấu <, ≤, >, ≥.
Ta lần lượt có:
(−2)+3≤2
6≤2.(−3)
4+(−8)<15+(−8)
x2+1≥1
Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng như thế nào? Cho ví dụ.
Bất phương trình dạng:
ax+b>0, ax+b<0, ax+b≤0, ax+b≥0
Với a và b là hai số đã cho và a≠0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ: Các bất phương trình bậc nhất một ẩn:
x - 5 > 0 3x−2≤0
Hãy chỉ ra một nghiệm của bất phương trình trong ví dụ của câu hỏi 2.
Ta lần lượt:
- Bất phương trình x−5>0 nhận x = 6 làm một nghiệm.
- Bất phương trình 3x−2≤0 nhận x = 6 làm một nghiệm.
Hãy phát biểu quy tắc chuyển vế để biến đổi bất phương trình. Quy tắc này dựa trên tính chất nào của thứ tự trên tập số?
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc này dựa trên tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng trên tập số.
Hãy phát biểu quy tắc nhân để biến đổi bất phương trình. Quy tắc này dựa trên tính chất nào của thứ tự trên tập số?
Quy tắc nhân với một số: Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
1. Giữ nguyên chiều của bất phương trình nếu số đó dương.
2. Đổi chiều của bất phương trình nếu số đó âm.
Quy tắc này dựa trên tính chất liện hệ giữa thứ tự và phép nhân trên tập số.
Cho m > n , chứng minh:a. m + 2 > n + 2
a. Với m > n thì bằng việc cộng hai vế với 2, ta được m + 2 > n + 2
b. -2m < -2n
b. Với m > n thì bằng việc nhân hai vế với - 2, ta được -2m < -2n
c. 2m - 5 > 2n - 5
c. Với m > n thì bằng việc:
- Nhân hai vế với 2, ta được 2m > 2n.
- Cộng hai vế với – 5, ta được 2m - 5 > 2n - 5
d. 4 - 3m < 4 - 3n
d. Với m > n thì bằng việc:
- Nhân hai vế với - 3, ta được -3m < -3n.
- Cộng hai vế với 3, ta được 4 - 3m < 4 - 3n
Kiểm tra xem – 2 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:a. -3x + 2 > -5
a. Với x = -2, bất phương trình có dạng:
−3(−2)+2>−5⇔6+2>−5⇔8>−5, đúng.
Vậy, x = -2 là một nghiệm của bất phương trình.
b. 10 - 2x < 2
b. Với x = -2, bất phương trình có dạng:
10−2(−2)<2⇔10+4<2⇔14<2, sai.
Vậy, x = -2 không là một nghiệm của bất phương trình.
c. x2−5<1
c. Với x = -2, bất phương trình có dạng:
(−2)2−5<1⇔4−5<1⇔−1<1, đúng.
Vậy, x = -2 là một nghiệm của bất phương trình.
d. x<3
d. Với x = -2, bất phương trình có dạng:
−2<3⇔2<3, đúng.
Vậy, x = -2 là một nghiệm của bất phương trình.
e. x>2
e. Với x = -2, bất phương trình có dạng:
−2>2⇔2>2, sai.
Vậy, x = -2 không là một nghiệm của bất phương trình.
f. x+1>7−2x
f. Với x = -2, bất phương trình có dạng:
−2+1>7−2(−2)⇔−1>11, sai.
Vậy, x = -2 không là một nghiệm của bất phương trình.
Giải các bất phương trình:a. x - 1 < 3
a. Biến đổi bất phương trình về dạng: x<3+1⇔x<4.
b. x + 2 > 1
b. Biến đổi bất phương trình về dạng: x>1−2⇔x>−1
c. 0,2x < 0,6
c. Biến đổi bất phương trình về dạng: x < 3.
d. 4 + 2x < 5
d. Biến đổi bất phương trình về dạng: 2x<5−4⇔2x<1⇔x<12
Giải các bất phương trình:
a. 2−x4<5
a. Biến đổi bất phương trình về dạng:
2−x<20⇔2−20<x⇔x>−18
Vậy, bất phương trình có nghiệm là x > -18.
b. 3≤2x+35
b. Biến đổi bất phương trình về dạng:
15≤2x+3⇔2x≥12⇔x≥6
Vậy, bất phương trình có nghiệm là x≥6.
c. 4x−53>7−x5
c. Biến đổi bất phương trình về dạng:
5(4x−5)>3(7−x)⇔20x−25>21−3x⇔23x>46⇔x>2
Vậy, bất phương trình có nghiệm là x > 2
d. 2x+3−4≥4−x−3
d. Biến đổi bất phương trình về dạng:
2x+34≤4−x3⇔3(2x+3)≤4(4−x)⇔6x+9≤16−4x⇔10x≤7⇔x≤710
Vậy, bất phương trình có nghiệm là x≤710
Giải các bất phương trình:a. 3 - 2x > 4
a. Biến đổi bất phương trình về dạng:
−1>2x⇔x<−12
Vậy, bất phương trình có nghiệm là x<−12
b. 3x + 4 < 2
b. Biến đổi bất phương trình về dạng:
3x<−2⇔x<−23
Vậy, bất phương trình có nghiệm là x<−23
c. (x−3)2<x2−3
c. Biến đổi bất phương trình về dạng:
x2−6x+9<x2−3⇔6x>12⇔x>2
Vậy, bất phương trình có nghiệm là x > 2
d. (x−3)(x+3)<(x+2)2+3
d. Biến đổi bất phương trình về dạng:
x2−9<x2+4x+4+3⇔4x>−16⇔x>−4
Vậy, bất phương trình có nghiệm là x > -4
Tìm x sao choa. Giá trị của biểu thức 5 - 2x là số dương.
a. Giá trị của biểu thức 5 -2x là số dương khi:
5−2x>0⇔2x<5⇔x<52
Vậy, với x<52 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
b. Giá trị của biểu thức x + 3 nhỏ hơn giá trị của biểu thức 4x - 5.
b. Giá trị của biểu thức x + 3 nhỏ hơn giá trị của biểu thức 4x -5 khi:
x+3<4x−5⇔3x>8⇔x>83
Vậy, với x>83 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
c. Giá trị của biểu thức 2x + 1 không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3.
c. Giá trị của biểu thức 2x + 1 không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3khi:
2x+1≥x+3⇔x≥2
Vậy, với x≥2 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
d. Giá trị của biểu thức x2+1 không lớn hơn giá trị của biểu thức (x−2)2
d. Giá trị của biểu thức x2+1 không lớn hơn giá trị của biểu thức (x−2)2 khi:
x2+1≤(x−2)2⇔x2+1≤x2−4x+4⇔4x≤3⇔x≤34
Vậy, với x≤34 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Giải các phương trình:
a. 3x=x+8
a. Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x≥0 thì phương trình có dạng:
3x=x+8⇔2x=8⇔x=4, thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x < 0 thì phương trình có dạng:
−3x=x+8⇔4x=−8⇔x=−2, thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương trình có nghiệm là x = 4 và x = -2.
b. −2x=4x+18
b. Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x≥0 thì phương trình có dạng:
2x=4x+18⇔2x=−18⇔x=−9, loại.
Trường hợp 2: Nếu x < 0 thì phương trình có dạng:
−2x=4x+18⇔6x=−18⇔x=−3, thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương trình có nghiệm làx = -3.
c. x−5=3x
c. Ta có:
x−5=x−5 khi x≥55−x khi x<5
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x≥5 thì phương trình có dạng:
x−5=3x⇔2x=−5⇔x=−52, loại.
Trường hợp 2: Nếu x < 5 thì phương trình có dạng:
5−x=3x⇔4x=5⇔x=54, thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương trình có nghiệm là x=54.
d. x+2=2x−10
d. Ta có:
x+2=x+2 khi x≥−2−x−2 khi x<−2
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x≥−2 thì phương trình có dạng:
x+2=2x−10⇔x=12, thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x < -2 thì phương trình có dạng:
−x−2=2x−10⇔3x=8⇔x=83, loại.
Vậy, phương trình có nghiệm là = 12.
