Dạng 1: Bài tập tự luyện có đáp án

Ta lần lượt có:

$(-2)+3\le 2$

$6\le 2.(-3)$

$4+(-8)<15+(-8)$

$x^2+1\ge 1$

Ta lần lượt:

- Bất phương trình $x-5>0$ nhận  x = 6 làm một nghiệm.

- Bất phương trình $3x-2\le 0$ nhận x = 6 làm một nghiệm.

Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.

Quy tắc này dựa trên tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng trên tập số.

Quy tắc nhân với một số: Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

1. Giữ nguyên chiều của bất phương trình nếu số đó dương.

2. Đổi chiều của bất phương trình nếu số đó âm.

Quy tắc này dựa trên tính chất liện hệ giữa thứ tự và phép nhân trên tập số.

a. Với m  > n thì bằng việc cộng hai vế với 2, ta được m + 2 > n + 2

b. Với m > n thì bằng việc nhân hai vế với - 2, ta được -2m < -2n

c. Với m > n thì bằng việc:

- Nhân hai vế với 2, ta được 2m > 2n.

- Cộng hai vế với – 5, ta được 2m - 5 > 2n - 5

d. Với m > n thì bằng việc:

- Nhân hai vế với - 3, ta được -3m < -3n.

- Cộng hai vế với 3, ta được 4 - 3m < 4 - 3n

a. Với x = -2, bất phương trình có dạng:

$-3(-2)+2>-5\iff 6+2>-5\iff 8>-5$, đúng.

Vậy, x = -2 là một nghiệm của bất phương trình.

b. Với x = -2, bất phương trình có dạng:

$10-2(-2)<2\iff 10+4<2\iff 14<2$, sai.

Vậy, x = -2 không là một nghiệm của bất phương trình.

c. Với x = -2, bất phương trình có dạng:

${(-2)}^2-5<1\iff 4-5<1\iff -1<1$, đúng.

Vậy, x = -2 là một nghiệm của bất phương trình.

d. Với x = -2, bất phương trình có dạng:

$\left|-2\right|<3\iff 2<3$, đúng.

Vậy, x = -2 là một nghiệm của bất phương trình.

e. Với x = -2, bất phương trình có dạng:

$\left|-2\right|>2\iff 2>2$, sai.

Vậy, x = -2 không là một nghiệm của bất phương trình.

f. Với x = -2, bất phương trình có dạng:

$-2+1>7-2(-2)\iff -1>11$, sai.

Vậy, x = -2 không là một nghiệm của bất phương trình.

a. Biến đổi bất phương trình về dạng: $x<3+1\iff x<4$.

c. Biến đổi bất phương trình về dạng: x < 3.

a. Biến đổi bất phương trình về dạng:

$2-x<20\iff 2-20<x\iff x>-18$

Vậy, bất phương trình có nghiệm là  x > -18.

b. Biến đổi bất phương trình về dạng:

$15\le 2x+3\iff 2x\ge 12\iff x\ge 6$

Vậy, bất phương trình có nghiệm là $x\ge 6$.

c. Biến đổi bất phương trình về dạng:

$$\begin{gathered} 5(4x-5)>3(7-x)\iff 20x-25>21-3x \\ \iff 23x>46\iff x>2 \end{gathered}$$

Vậy, bất phương trình có nghiệm là x > 2

d. Biến đổi bất phương trình về dạng:

$$\begin{gathered} \frac{2x+3}{4}\le \frac{4-x}{3}\iff 3(2x+3)\le 4(4-x)\iff 6x+9\le 16-4x \\ \iff 10x\le 7\iff x\le \frac{7}{10} \end{gathered}$$

Vậy, bất phương trình có nghiệm là $x\le \frac{7}{10}$

a. Giá trị của biểu thức 5 -2x là số dương khi:

$5-2x>0\iff 2x<5\iff x<\frac{5}{2}$

Vậy, với $x<\frac{5}{2}$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.

b. Giá trị của biểu thức x + 3 nhỏ hơn giá trị của biểu thức 4x -5 khi:

$x+3<4x-5\iff 3x>8\iff x>\frac{8}{3}$

Vậy, với $x>\frac{8}{3}$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.

c. Giá trị của biểu thức 2x + 1 không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3khi:

$2x+1\ge x+3\iff x\ge 2$

Vậy, với $x\ge 2$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.

d. Giá trị của biểu thức $x^2+1$ không lớn hơn giá trị của biểu thức ${(x-2)}^2$ khi:

$x^2+1\le {(x-2)}^2\iff x^2+1\le x^2-4x+4\iff 4x\le 3\iff x\le \frac{3}{4}$

Vậy, với $x\le \frac{3}{4}$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.

a. Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu $x\ge 0$ thì phương trình có dạng:

$3x=x+8\iff 2x=8\iff x=4$, thỏa mãn điều kiện.

Trường hợp 2: Nếu x < 0 thì phương trình có dạng:

$-3x=x+8\iff 4x=-8\iff x=-2$, thỏa mãn điều kiện.

Vậy, phương trình có nghiệm là x = 4 và x = -2.

b. Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu $x\ge 0$ thì phương trình có dạng:

$2x=4x+18\iff 2x=-18\iff x=-9$, loại.

Trường hợp 2: Nếu x < 0 thì phương trình có dạng:

$-2x=4x+18\iff 6x=-18\iff x=-3$, thỏa mãn điều kiện.

Vậy, phương trình có nghiệm làx = -3.

c. Ta có:

$\left|x-5\right|=\left[\begin{array}{l}x-5khix\ge 5\\ 5-xkhix<5\end{array}\right.$

 Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu $x\ge 5$ thì phương trình có dạng:

$x-5=3x\iff 2x=-5\iff x=-\frac{5}{2}$, loại.

Trường hợp 2: Nếu x < 5 thì phương trình có dạng:

$5-x=3x\iff 4x=5\iff x=\frac{5}{4}$, thỏa mãn điều kiện.

Vậy, phương trình có nghiệm là $x=\frac{5}{4}$.

d. Ta có:

$\left|x+2\right|=\left[\begin{array}{l}x+2khix\ge -2\\ -x-2khix<-2\end{array}\right.$

 Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu $x\ge -2$ thì phương trình có dạng:

$x+2=2x-10\iff x=12$, thỏa mãn điều kiện.

Trường hợp 2: Nếu x < -2 thì phương trình có dạng:

$-x-2=2x-10\iff 3x=8\iff x=\frac{8}{3}$, loại.

Vậy, phương trình có nghiệm là = 12.