Dạng 4: Bài tập tự luyện có đáp án

a. $a>b\iff -3a<-3b\iff -3a+4<-3b+4$

b. $a>b\iff 3a>3b\iff 3a+2>3b+2$

c. $a>b\iff 2a>2b\iff 2a-3>2b-3$

d. $2a-4<2b-4<2b+5$

a. $-8<4\Rightarrow -8a>4a$ khi và chỉ khi a < 0

b. a > 0

c. a > 0

d. a < 0

a. $a<b$

b. $a\ge b$

a < b

$a\le b$

${(a-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}>0,\forall a$

b. $\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1=(a^2+5a+4).(a^2+5a+5)+1$

Đặt $a^2+5a+4=t$, ta được $t\left(t+1\right)+1=t^2+t+1={(t+\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}>0,\forall t.$

c. ${(a+b)}^2\le 2(a^2+b^2)$

a. ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-ab=\frac{{(a-b)}^2}{4}\ge 0; \frac{a^2+b^2}{2}-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{{(a-b)}^2}{4}\ge 0$

b. $\iff \frac{3}{8}(a+b){(a-b)}^2\ge 0$

c. $\iff (a^3-b^3)(a-b)\ge 0$

d. $\iff {(a-1)}^2(a^2+2a+3)\ge 0$

$\frac{a}{b}<1\Rightarrow a<b$

$\iff \left(a–b\right)c<0\Rightarrow ac<bc\Rightarrow ac+ab<bc+ab\Rightarrow a.(b+c)<b(a+c)\Rightarrow \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$

Sử dụng (1) ta được: $\frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c};$ $\frac{b}{a+b+c}<\frac{b}{b+c}<\frac{b+a}{a+b+c}$; $\frac{c}{a+b+c}<\frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}$.