Dạng 4: Bài luyện tập 2 có đáp án

Xét $∆AED$và $∆ABC$ ta có:

$\widehat{\text{A}}$ chung

$\frac{AE}{AB}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3};\frac{AD}{AC}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AC}$

Hay $\Delta AED~$$\Delta ABC$(c - g - c)

Vì $\Delta AED~$$\Delta ABC$ nên ta có:

Xét$\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ ta có:

$\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$( 2 góc so le trong)

$\frac{AB}{BD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\frac{BD}{DC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}$

Vậy $\Delta ABD~$$\Delta BDC$(c - g - c)

Do $BC//AF$nên ta có:$\frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CF}$

Mà $CD//AE$nên ta có:$\frac{AD}{DF}=\frac{EC}{CF}$

Do đó: $\frac{EB}{BA}=\frac{AD}{DF}$

Vì $AB=BD=AD$ theo a ta có:$\frac{EB}{BD}=\frac{BD}{DF}$

Mà $\widehat{\text{EBD}}=\widehat{\text{BDF}}$ = 120⁰

Vẽ tia phân giác BE của $\widehat{\text{ABC}}$

$\Rightarrow$$∆$ABE $~$$∆$ACB (c – g - c)

$\frac{\text{AB}}{\text{AC}}\text{ = }\frac{\text{AE}}{\text{AB}}=\frac{\text{BE}}{\text{CB}}=\frac{\text{AE + BE}}{\text{AB + CB}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB + CB}}$

$\Rightarrow {\text{AC}}^{\text{2}}\text{ = AB(AB + CB) }$= 8(8 + 10) = 144

$\Rightarrow$ AC = 12 cm

Xét $\Delta BAD$ và $\Delta DBC$ có

$\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (2 góc so le trong)

$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow$$\Delta BAD~$$\Delta DBC$ (c - g - c)

$\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{DBC}={90}^0$

Ta có : $S{}_{ABCD}=AH.DC=AK.BC$

$\begin{array}{l}\Rightarrow AH.AB=AK.BC\\ \Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{AK}{AH}\end{array}$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta KAH$ có

$\widehat{B}=\widehat{KAH}$ (cùng phụ với $\widehat{BAK}$)

$\frac{AB}{BC}=\frac{AK}{AH}$ (chứng minh trên)

Ta có $AB//CM\Rightarrow \frac{AB}{CM}=\frac{EB}{EC}$     (1)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{AB}{CM}=\frac{BN}{CD}$              (3)

Mặt khác $AB=BC=CD$ nên từ (3) suy ra

Gọi Olà giao điểm của BM và CN.

Xét $\Delta OCM$ có $\widehat{OMC}+\widehat{MCO}=\widehat{BCN}+\widehat{MCO}={90}^0$

$\widehat{MOC}={90}^0\Rightarrow BM\perp CN$

Ta có:BF là đường phân giác của $\Delta BAD$

$\Rightarrow \frac{FD}{FA}=\frac{BD}{AB}$                                     (1)

BE là đường phân giác của $\Delta BAC$

$\Rightarrow \frac{EA}{EC}=\frac{AB}{BC}$                                       (2)

Mặt khác $\Delta DBA$$~$$\Delta ABC$(c – g - c)

$\Rightarrow \frac{DB}{AB}=\frac{AB}{BC}$                                     (3)

Ta có $\Delta BAD~$$\Delta BCF$ (Hai tam giác vuông cân)

$\Rightarrow \frac{BD}{BF}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow \frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BC}$

Mặt khác $\widehat{DBF}=\widehat{ABC}\left(={45}^0+\widehat{B_1}\right)$

$\Rightarrow \Delta BDF~$$\Delta BAC$ (c - g - c)

Gọi độ dài cạnh của hình thoi ABCD là a

Ta có $BC//AN\Rightarrow \frac{MB}{BA}=\frac{CM}{CN}$(1)

$CD//AM \Rightarrow \frac{CM}{CN}=\frac{AD}{DN}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{\text{MB}}{\text{BA}}\text{ = }\frac{\text{AD}}{\text{DN}}\Rightarrow {\text{MB.DN = BA.AD = a.a = a}}^{\text{2}}$

$∆MBD$ và$∆BDN$  có$\widehat{\text{MBD}}\text{ = }\widehat{\text{BDN}}{\text{ =120}}^0$

Mặt khác $\frac{\text{MB}}{\text{BD}}\text{ = }\frac{\text{MB}}{\text{BA}}=\frac{\text{CM}}{\text{CN}}\text{ = }\frac{\text{AD}}{\text{DN}}=\frac{\text{BD}}{\text{DN}}$ ( Do ABCD  là hình thoi có $\widehat{\text{A}}{\text{ = 60}}^{\text{0}}$ nên$AB=BC=CD=DA$)

$\Rightarrow \frac{MB}{BD}=\frac{BD}{DN}$$\Rightarrow$$∆MBD$ $~$$∆BDN$ (c - g - c)

Suy ra ${\widehat{\text{M}}}_{\text{1}}\text{ = }{\widehat{\text{B}}}_1$.

Mặt khác $∆MBD$ và$∆BDN$ có $\widehat{\text{BDM}}\text{ = }\widehat{\text{BDK}}$ và ${\widehat{\text{M}}}_{\text{1}}\text{ = }{\widehat{\text{B}}}_1$ nên $\widehat{\text{BKD}}\text{ = }\widehat{\text{MBD}}{\text{ = 120}}^{\text{0}}$