Dạng 3:Bài tập tự luyện có đáp án

Xét $\text{Δ}ABC$ có AM là đường phân giác trong nên: $\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}$

Hay $\frac{15}{x}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{15.4}{3}=20 \left(cm\right)$

Xét $\text{Δ}ABC$ có AD là đường phân giác ngoài nên:$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$    (1)

Mà B là trung điểm của đoạn thẳng DC nên:$\frac{DB}{DC}=\frac{1}{2}$        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{1}{2}=\frac{y}{16}\Rightarrow y=8 \left(cm\right)$

Xét $\text{Δ}ABC$ có AD là đường phân giác ngoài nên:$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$    (1)

Mà B là trung điểm của đoạn thẳng DC nên:$\frac{DB}{DC}=\frac{1}{2}$        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{1}{2}=\frac{y}{16}\Rightarrow y=8 \left(cm\right)$

Xét $\text{Δ}ABC$ có AD là đường phân giác ngoài nên:$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$    (1)

Mà B là trung điểm của đoạn thẳng DC nên:$\frac{DB}{DC}=\frac{1}{2}$        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{1}{2}=\frac{y}{16}\Rightarrow y=8 \left(cm\right)$

Theo tính chất đường phân giác: $\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{AD}{2}=\frac{CD}{3}=1.$ 

Ta có: Theo tính chất đường phân giác: $\frac{AE}{EB}=\frac{CA}{CB}=\frac{5}{6}\Rightarrow \frac{AE}{5}=\frac{EB}{6}=\frac{4}{11}$ 

Do đó, $AE=\frac{20}{11}cm,BE=\frac{24}{11}cm.$ 

AM là phân giác của A nên $\frac{BM}{CM}=\frac{AB}{AC}.$ 

CN là phân giác của C nên $\frac{BN}{AN}=\frac{BC}{AC}.$ 

Lại có: $AB=BC.$ 

Xét $\text{Δ}ABC$, áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$       (1)

$\frac{CD}{DB}=\frac{AC}{AB}$       (2)

$\frac{BF}{FA}=\frac{BC}{AC}$       (3)

Nhân (1), (2), (3) theo vế ta được:$\frac{AE}{EC}.\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{FA}=\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{AB}.\frac{BC}{AC}=1$.

Gọi O là giao điểm của BD và AC.

Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có: $\frac{AB}{AD}=\frac{BM}{DM}$ 

Tương tự, $\frac{CD}{AD}=\frac{CN}{AN}$;

Mà $AB=CD$ , suy ra $\frac{BM}{DM}=\frac{CN}{AN}$ 

Từ đó, ta có:

$\frac{BM}{DM}+1=\frac{CN}{AN}+1\iff \frac{BD}{DM}=\frac{CA}{AN}\iff \frac{DO}{DM}=\frac{AO}{AN}$ 

Suy ra $MN\text{//}AD.$ 

Vẽ đường cao AH của $\Delta ABC$.Vì $\Delta ABC$có phân giác AD nên:

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}$. Vậy $\frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ACD}}=\frac{\frac{1}{2}.AH.BD}{\frac{1}{2}.AH.CD}=\frac{BD}{CD}=\frac{m}{n}$

Ta có: $\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CD}$(do DF là phân giác ADC)

$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AD}$(do DE là phân giác ADB)

Ta có

$\frac{BD}{AD}=\frac{MB}{MA}$(do MD là phân giác của AMB)

$\frac{CE}{AE}=\frac{MC}{MA}$(do ME là phân giác của AMC)

Mà $MB=MC$(M là trung điểm của BC)

$\Rightarrow \frac{BD}{AD}=\frac{CE}{AE}\Rightarrow DE//BC$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ lần lượt có $DI//BM$  và $EI//CM$.

$\frac{DI}{BM}=\frac{EI}{CM}\left(=\frac{AI}{AM}\right)$Mà $BM=CM$ $\Rightarrow DI=EI$

Để $DE=AM$ta cần tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật

Hay $DM//AE,EM//AD,\widehat{BAC}={90}^0$

Khi $\widehat{BAC}={90}^0$thì $AM=MB=MC$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC)

$\Rightarrow \Delta ABM,\Delta ACM$ cân tại M

$\Rightarrow MD\perp AB,ME\perp AC$ (đường phân giác của tam giác cân đồng thời là đường cao

Khi $DM=EM$ thì $\Delta DME$ cân tại M có MI là trung tuyến ($DI=IE$) nên đồng thời là đường cao $\Rightarrow MI\perp DE$

Mà $DE//BC$(cmt) nên $MI\perp BC$

Ta có  $\widehat{\text{AIE}}=\widehat{\text{BAH}}+\widehat{\text{ABI}}=\frac{1}{2}(\widehat{\text{A}}+\widehat{\text{B}})=45°+\frac{1}{2}\widehat{\text{B}}=45°+\frac{1}{2}\widehat{\text{C}}=\widehat{\text{AEI}}$ .

Suy ra ∆AIE cân tại A Þ $AI=AE$ (1).

Áp dụng tính chất đường phân giác của ∆ABH và ∆BAC ta có: $\frac{\text{IH}}{\text{IA}}=\frac{\text{BH}}{\text{BA}}\Rightarrow \frac{\text{AB}}{\text{AI}}=\frac{\text{BH}}{\text{IH}}$(2); $\frac{\text{EC}}{\text{EA}}=\frac{\text{BC}}{\text{BA}}\Rightarrow \frac{\text{AB}}{\text{AE}}=\frac{\text{BC}}{\text{EC}}$(3)

Từ (2) và (3) suy ra: $\frac{\text{BH}}{\text{IH}}=\frac{\text{BC}}{\text{EC}}\left(4\right)$

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên $BC=2.BH$