Dạng 3: Phương pháp giải toán có đáp án

b. Ta có bất đẳng thức $(-6).(-3)<(-5).(-3)$

Là sai bởi nó được tạo thành khi nhân hai vế của bất đẳng thức -6 < -5 với -3 < 0.

c. Ta có bất đẳng thức $(-2003).(-2005)\le (-2005).2004$

Là sai bởi nó được tạo thành khi nhân hai vế của bất đẳng thức $-2003\le 2004$ với $-2005<0$.

d. Ta có bất đẳng thức $-3x^2\le 0$

Là đúng bởi nó được tạo thành khi nhân hai vế của bất đẳng thức $x^2\ge 0$ với -3 < 0.

a. Ta luôn có -2 < -1,5 nên bằng cách nhân cả hai vế với 3, ta được:

$(-2).3<-4,5$.          (1)

b. Ta xây dựng:

- Bất đẳng thức $(-2).30<-45$ được hình thành bằng cách nhân hai vế của (1) với 10.

- Bất đẳng thức $(-2).3+4,5<0$ được hình thành bằng cách cộng hai vế của (1) với 4,5

Ta lần lượt thấy:

$a<b\iff 2a<2b$, bằng cách nhân cả hai vế với 2.

$a<b\iff 2a<a+b$, bằng cách cộng cả hai vế với a.

$a<b\iff -a>-b$, bằng cách nhân cả hai vế với -1.

a. Ta viết lại:

$6a>3a\iff 6.a>3.a$

Tức là, bất đẳng thức trên có được sau khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức đúng 6 > 3 với a.

Vậy, từ sự cùng chiều của hai bất đẳng thức suy ra a > 0.

b. Ta viết lại:

$a\le \frac{a}{2}\iff 1.a\le \frac{1}{2}.a$

Tức là, bất đẳng thức trên có được sau khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức đúng $1>\frac{1}{2}$ với a.

Vậy, từ sự ngược chiều của hai bất đẳng thức suy ra $a\le 0$

Ta có: $a<b\iff 3a<3b\iff 3a+1<3b+1$

Với bất đẳng thức giả thiết: a < b

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 2, ta được: 2a < 2b

Tiếp tục, cộng cả hai vế của bất đẳng thức với -3, ta được:

2a - 3 < 2b - 3                                                     (1)

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức đúng -3 < 6 với 2b, ta được:

2b - 3 < 2b + 6                                                    (2)

Từ (1), (2) theo tính chất bắc cầu suy ra:

2a - 3 < 2b + 6, đpcm

a. Từ bất đẳng thức:

c. Ta có biến đổi: $5a-6\ge 5b-6\iff 5a\ge 5b\iff a\ge b$

d. Ta có biến đổi: $-2a+3\le -2b+3\iff -2a\le -2b\iff a\ge b$

a. Ta có biến đổi:

$a<b\iff 2a<2b\iff 2a+1<2b+1$              (1)

b. Ta có:

$a<b\iff 2a<2b\iff 2a+1<2b+1$                                   (1)

$1<3\iff 2b+1<2b+31<3\iff 2b+1<2b+3$                 (2)

Từ (1), (2) theo tính chất bắc cầu suy ra $2a+1<2b+3$

a. Với bất đẳng thức giả thiết:

a > b

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với a > 0, ta được:

$a^2>ab$, đpcm.                                                  (1)

b. Với bất đẳng thức giả thiết:

a > b      (*)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (*) với $a^2>0$, ta được:

$a^3>a^{2}b$                                                            (2)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (*) với b > 0, ta được:

$ab>b^2$                                                              (3)

Từ (1) và (3) suy ra: $a^2>b^2$                                      (4)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (4) với b > 0, ta được:

$a^{2}b>b^3$                                                             (5)

Từ (2) và (5) suy ra $a^3>b^3$, đpcm.

Từ giả thiết a, b > 0 suy ra: $ab>0\iff \frac{1}{ab}>0$.

Với bất đẳng thức giả thiết: a > b nhân cả hai vế của bất đẳng thức với $\frac{1}{ab}$, ta được:

$a.\frac{1}{ab}>b.\frac{1}{ab}\iff \frac{1}{b}>\frac{1}{a}\iff \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$, đpcm.

Với bất đẳng thức giả thiết:

a < b

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với số c, ta được:

a + c < b + c                                                         (1)

Với bất đẳng thức giả thiết:

c < d

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với số b, ta được:

b + c < b + d                                                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a + c < b + d, đpcm.

a. Biến đổi tương đương bất đẳng thức:

$a^2+b^2-2ab\ge 0\iff {(a-b)}^2\ge 0$, luôn đúng.