Dạng 2: Bài tập nâng cao có đáp án

a)x+5x−8<0⇔x+5>0x−8<0x+5<0x−8>0⇔x>−5x<8x<−5x>8⇔−5<x<8

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S={x/-5<x<8}

b)2x−32−x>0⇔2x−3>02−x>02x−3<02−x<0⇔x>32x<2x<32x>2⇔32<x<2

Vậy  32<x<2

c)2x2−x−6>0⇔(x−2)(3x+2)>0⇔x−2>03x+2>0x−2<03x+2<0⇔x>2x>−23x<2x<−23⇔x>2x<−23

Vậy x>2x<−23

d)x+1x2−x+1−x2−x>0⇔x+1x2−x+1−x(x+1)>0⇔x+1x2−x+1−x>0⇔x+1x−12>0⇔x+1>0⇔x>1

Vậy x > 1

a)

2x(3x−5)x2+1>0⇔2x3x−5>0⇔x>03x−5>0x<03x−5<0⇔x>0x>53x<0x<53⇔x>53x<0

Vậy x>53x<0

b)xx−2+x−2x>2⇔x2x(x−2)+x−22x(x−2)−2xx−2xx−2>0⇔x2+x2−4x+4−2x2+4xxx−2>0⇔4xx−2>0⇔xx−2>0⇔x>0x−2>0x<0x−2<0⇔x>0x>2x<0x<2⇔x>2x<0

Vậy x>2x<0

c)4x+32x−5≥−3⇔4x+32x−5+3≥0⇔4x+32x−5+6x−152x−5≥0⇔10x−122x−5≥0⇔10x−12≥02x−5≥010x−12≤02x−5<0⇔x≥65x>52x≤65x<52⇔x>52x≤65

Vậy x>52x≤65

a) x+199+x+496+x+595≥−3⇔x+10099+x+10096+x+10095≥0⇔x+100199+196+195≥0⇔x+100≥0⇔x≥−10

Vậy x≥−10

b)x−527+x−428+x−329+x−230<4⇔x−3227+x−3228+x−3229+x−3230<0⇔x−32127+128+129+130<0⇔x−32<0⇔x<32

Vậy x < 32

c)x+12019+x+22018+x+32017+...+x+1001920>−100⇔x+20202019+x+20202018+...+x+20201920>0⇔x+202012019+12018+...+11920>0⇔x+2020>0⇔x>−2020

Vậy x > -2020

a) x+595+x+694+x+793≥x+892+x+991+x+1090⇔x+10095+x+10094+x+10093−x+10092−x+10091−x+10090≥0⇔x+100195−192+194−191+193−190≥0       (1)

Ta có

195<192⇔195−192<0194<191⇔194−191<0193<190⇔193−190<0

⇒195−192+194−191+193−190<0⇒(1)⇔x+100≤0⇔x≤−100

Vậy x≤−100

b) x−5921+x−7919+x−9917<x−17909+x−18908+x−19907⇔x−926921+x−926919+x−926917−x−926909−x−18908−x−19907<0⇔x−9261921−1909+1919−1908+1917−1907<0       (1)

Ta có

1921<1909⇔1921−1909<01919<1908⇔1919−1908<01917<1907⇔1917−1907<0

⇒1921−1909+1919−1908+1917−1907<0⇒(1)⇔x−926>0⇔x>926

Vậy x > 926

a. Ta có

a2+b2+c2≥ab+bc+ca⇔2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca⇔a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+c2≥0⇔a−b2+b−c2+c−a2≥0

Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi a,b,c nên a2+b2+c2≥ab+bc+ca luôn đúng

Đẳng thức sảy ra khi a - b = b - c = c - a = 0 hay a = b = c

b. Ta có: 

a2+b2+c2+d2+e2≥ab+c+d+e⇔ 4a2+b2+c2+d2+e2≥4ab+c+d+e⇔ a2−4ab+4b2+a2−4ac+4c2+a2−4ad+4d2+a2−4ae+4e2≥0⇔ a−2b2+a−2c2+a−2d2+a−2e2≥0

Bất đẳng thức luôn đúng với mọi a,b,c,d, e nên a2+b2+c2+d2+e2≥ab+c+d+e luôn đúng.

Đẳng thức sảy ra khi a - 2b = a - 2c = a - 2d = a - 2e hay a = 2b = 2c = 2d = 2e

a) Ta xét hiệu    

a2+b22−a+b22=2a2+b24−a2+2ab+b24=142a2+2b2−a2−b2−2ab=14a−b2≥0

Vậy  a2+b22≥a+b22  Dấu bằng xảy ra khi a = b

b)Ta xét hiệu: a2+b2+c23−a+b+c32=19a−b2+b−c2+c−a2≥0

Vậy a2+b2+c23≥a+b+c32 Dấu bằng xảy ra khi a = b =c

Xét hiệu a24+a212+b2+c2−ab−bc−ac>0

⇔a24+b2+c2−ab−ac+2bc+a212−3bc>0⇔a2−b−c2+a3−36abc12a

Do a3>36=>a3−36abc12a>0 =>ĐPCM

Ta có: 

a2+b2≤1+ab⇔ a2+b2−ab≤1⇔ a+ba2+b2−ab≤a+b

⇔ a3+b3≤a+b⇔ a3+b3a3+b3≤a+ba5+b5⇔ 2a3b3≤ab5+a5b⇔ aba4−2a2b2+b4≥0⇔ aba2−b22≥0,∀a,b>0

Từ x+y+z1x+1y+1z≥9, Đặt x=a+by=b+cz=c+a

⇒2a+b+c1a+b+1b+c+1c+a≥9⇔a+b+ca+b+a+b+cb+c+a+b+cc+a≥92⇒ca+b+ab+c+bc+a≥92−3=32

Từ x+y+z1x+1y+1z≥9

⇒ab+1+1+ba+1+1+1a+b+1−3=a+b+11a+b+1a+1+1b+1−3≥92−3=32