Dạng 2. Bài luyện tập có đáp án
21 câu hỏi
Cho hình chữ nhật ABCD, gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh hai tam giác ADF và CBE đồng dạng với nhau.
AECF là hình bình hành (Vì có AE,FC song song và bằng nhau), suy ra: //.
Khi đó, ta có: AFD^=ECF^ (hai góc đồng vị)
CEB^=ECF^(hai góc so le trong)
Từ đó:AFD^=CEB^
Xét ΔADF và ΔCBE, ta có:
B^=D^=900
AFD^=CEB^
Do vậy:ΔADF~ΔCBE (g.g)
Cho tam giác ABC vuông tại A,AB=15cm;AC=20cm . Kẻ đường cao AH.
Chứng minh : ΔABC ~ΔHBA từ đó suy ra: AB2=BC.BH
Xét ΔABC và ΔHBA, ta có:
A^=H^=900
B^ chung
Do đó: ΔABC ~ΔHBA (g.g)
⇒ABHB=BCBA
⇒AB.BA=HB.BC hay AB2=BC.BH
Cho tam giác ABC vuông tại A,AB=15cm;AC=20cm . Kẻ đường cao AH.
Tính BH và CH.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC:
AB2+AC2=BC2
⇒152+202=BC2
⇒BC=25cm .
Theo a, ta có: ABHB=BCBA hay 15HB=2515
⇒HB=15.1525=9cm.
CH=BC−HB=25−9=16cm.
Vậy HB=9cm,CH=16cm.
Cho hình thang ABCD( AB // CD).
Biết AB=3cm;AD=2,5cm;BD=6cm và DBC^=DAB^.
Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.
Xét ΔADB và ΔBCD có:
ABD^=BDC^ (hai góc so le trong)
DBC^=DAB^
Do đó: ΔADB ~ΔBCD (g.g)
Cho hình thang ABCD( AB // CD).
Biết AB=3cm;AD=2,5cm;BD=6cm và DBC^=DAB^.
Tính độ dài các cạnh BC và CD.
Vì ΔADB ~ΔBCD nên ADBC=ABBD=DBCD
Hay 2,5BC=36=6CD
⇒BC=5cm,CD=12cm.
Cho tam giác vuông ABCA^=900 có AB=9cm, AC=12cm. Dựng AD vuông góc với BCD∈BC. Tia phân giác góc B cắt AC tại E.
Tính độ dài các đoạn thẳng AD,DB và DC.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC:
AB2+AC2=BC2
⇒92+122=BC2
⇒BC=15cm .
Xét ΔABC và ΔDAC có:
ABC^=DAC^ (cùng phụ với )
C^ góc chung
Do đó: ΔABC ~ΔDAC (g.g) ⇒ABAD=ACDC=BCAC
Hay 9AD=12DC=1512 hay 9AD=12DC=54
⇒AD=7,2cm;DC=9,6cm;DB=5,4cm.
Cho tam giác vuông ABCA^=900 có AB=9cm, AC=12cm. Dựng AD vuông góc với BCD∈BC. Tia phân giác góc B cắt AC tại E.
Tính diện tích các tam giác ABD và ACD.
Tính diện tích các tam giác ABD là: 12.BD.AD=12.5,4.7,2=19,44cm2
Tính diện tích các tam giác ACD là: 12.DC.AD=12.9,6.7,2=34,56cm2
Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC>BD. Gọi E,F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD. Gọi G là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC. Chứng minh rằng: tam giác BCG đồng dạng với CAF
Xét ΔBCG và ΔCAFcó:
G^=F^ ( =900)
BCG^=CAF^ (hai góc so le trong)
Do đó: ΔBCG ~ΔCAF (g.g)
Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC>BD. Gọi E,F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD. Gọi G là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC. Chứng minh rằng:BG.AF=CG.CF
ΔBCG ~ΔCAF (g.g) ⇒BGCF=CGAF
Hay BG.AF=CG.CF
Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM=AB, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN=AD. Chứng minh tam giác CNB và MDC cân.
Xét ΔCNBcó: BN=AD(gt), mà AD=BC nên BN=BC.
⇒ΔCNB cân tại B.
Xét ΔMDC có: DM=AB (gt), mà AB=DC nên DM=DC.
⇒ΔMDC cân tại D.
Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM=AB, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN=AD. Chứng minh tam giác CNB đồng dạng với MDC
Vì ΔCNB cân tại B nên BCN^=BNC^=1800−B^2
Vì ΔMDC cân tại D nên DCM^=DMC^=1800−D^2
Mà B^=D^ (vì cùng bù với 2 góc bằng nhau) nên BCN^=BNC^=DCM^=DMC^
Xét ΔCNB và ΔMDC có:
DCM^=BNC^ (cùng bù với hai góc bằng nhau CBA^ và BCD^)
CMD^=NCB^ (cmt)
Do đó: ΔCNB~ΔMDC (g.g).
Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM=AB, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN=AD.Chứng minh M, C, N thẳng hàng.
Ta có: CMD^=NCB^ (hai góc đồng vị)
DCM^=BNC^ (hai góc đồng vị)
BCD^=CDM^ (hai góc so le trong)
Mà DCM^+CDM^+DMC^=1800 (Định lí tổng ba góc trong một tam giác).
Nên NCM^=NCB^+BCD^+DCM^=1800.
Do đó M, C, N thẳng hàng.
Cho tam giác ABCAB≤BC có các góc đều nhọn, đường phân giác AD. Các đường cao BE, CF cắt nhau ở H, đường phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho CDx^=BAC^ (tia Dx và A cùng phía đối với BC) tia Dx cắt AC ở K. Chứng minh: tam giác ABE đồng dạng với ACF.Từ đó suy ra: AE.AC = AF. AB.
Xét ΔABE và ΔACF có:
E^=F^ ( =900)
A^ góc chung
Do đó:ΔABE~ΔACF (g.g) ⇒AEAF=ABAC
Hay AE.AC=AF.AB
Cho tam giác ABCAB≤BC có các góc đều nhọn, đường phân giác AD. Các đường cao BE, CF cắt nhau ở H, đường phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho CDx^=BAC^ (tia Dx và A cùng phía đối với BC) tia Dx cắt AC ở K. Chứng minh:ABC đồng dạng DKC
Xét ΔABC và ΔDKC có:
BAC^=CDx^ (gt)
C^ góc chung
Do đó: ΔABC~ΔDKC (g.g)
Cho tam giác ABCAB≤BC có các góc đều nhọn, đường phân giác AD. Các đường cao BE, CF cắt nhau ở H, đường phân giác AD. Vẽ tia Dx sao cho CDx^=BAC^ (tia Dx và A cùng phía đối với BC) tia Dx cắt AC ở K. Chứng minh: DK= DB
Theo b. và tính chất đường phân giác ta có: DBDC=DEDC vì cùng bằng ABAC.
⇒DK=DB.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6cm,AC =8cm,BC=10cm. Đường cao AH(H∈BC).
Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng.
Các cặp tam giác đồng dạng: ΔABC~ΔHBA;ΔABC~ΔHAC;ΔHBA~ΔHAC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6cm,AC =8cm,BC=10cm. Đường cao AH(H∈BC).
Chứng minh rằng AH2=BH.HC
Xét hai tam giác vuông ΔHBA và ΔHAC có: BAH^+HAC^=900
ACH^+HAC^=900
Suy ra: BAH^=HCA^
⇒ΔHBA~ΔHAC(g.g)
⇒BHAH=AHCH hay AH2=BH.HC
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6cm,AC =8cm,BC=10cm. Đường cao AH(H∈BC).
Cho AD là đường phân giác của tam giác ABC(D∈BC). Vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường phân giác AD tại E. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác ECD.
Vì EC⊥AC,BA⊥AC⇒BA// CE
Xét ΔABD và ΔECD có:
BAD^=DEC^ (hai góc so le trong)
ABD^=DCE^ (hai góc so le trong)
Do đó: ΔABD~ΔECD (g.g).
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE+ DF có giá trị không đổi.
Ta có: DEAM+DFAM=BDBM+DCMC=BCBM=2
Vậy DE+DF=2AM.
Mà AM không đổi, nên DE+DF không đổi.
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F.
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF.
Ta chứng minh được: FKAM=KEAM (cùng bằng KAMC).
⇒FK=KE
Do đó: K là trung điểm của EF.
Cho các tam giác ABC và A'B'C' có A^+A'^=1800,B^=B'^. GọiBC=a,AC=b,AB=c,B'C'=a',A'C'=b',A'B'=c' . Chứng minh rằng aa'=bb'+cc'.
Vẽ ΔADE bằng ΔA'B'C', kẻ EF//BC
Vì EF//BC ⇒AEAB=AFAC⇒b'c=AFb⇒bb'=c.AF(1)
ΔABC và ΔEDF đồng dạng (g.g)
⇒BCDF=ABED=aAF+c'=ca'
⇒aa'=c.AF+cc' (2)
Từ (1) và (2) suy ra: aa'=bb'+cc'.
