Dạng 2. Bài luyện tập có đáp án

AECF là hình bình hành (Vì có AE,FC song song và bằng nhau), suy ra: //.

Khi đó, ta có: $\widehat{AFD}=\widehat{ECF}$ (hai góc đồng vị)

                         $\widehat{CEB}=\widehat{ECF}$(hai góc so le trong)

Từ đó:$\widehat{AFD}=\widehat{CEB}$

Xét $\Delta ADF$ và $\Delta CBE$, ta có:

                                            $\widehat{B}=\widehat{D}={90}^0$              

                                                $\widehat{AFD}=\widehat{CEB}$        

Do vậy:$\Delta ADF~\Delta CBE$ (g.g)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$, ta có:

                                                     $\widehat{A}=\widehat{H}={90}^0$     

                                                        $\widehat{B}$ chung

Do đó: $\Delta ABC ~\Delta HBA$ (g.g)

 $\Rightarrow \frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}$

$\Rightarrow AB.BA=HB.BC$ hay $A{B}^2=BC.BH$

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC:

                                                           $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$                  

                                                           $\Rightarrow {15}^2+{20}^2=B{C}^2$              

                                                           $\Rightarrow BC=25cm$                 .

Theo a, ta có: $\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}$ hay $\frac{15}{HB}=\frac{25}{15}$

 $\Rightarrow HB=\frac{15.15}{25}=9cm.$

$CH=BC-HB=25-9=16cm.$

Vậy $HB=9cm,CH=16cm.$

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta BCD$ có:

                                                         $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (hai góc so le trong)

                                                        $\widehat{DBC}=\widehat{DAB}$

Do đó: $\Delta ADB ~\Delta BCD$ (g.g)

Vì $\Delta ADB ~\Delta BCD$ nên  $\frac{AD}{BC}=\frac{AB}{BD}=\frac{DB}{CD}$

Hay $\frac{2,5}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{6}{CD}$

 $\Rightarrow BC=5cm,CD=12cm.$

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC:

                                                                        $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$   

                                                                          $\Rightarrow 9^2+{12}^2=B{C}^2$ 

                                                                           $\Rightarrow BC=15cm$ .

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DAC$ có:

                                                         $\widehat{ABC}=\widehat{DAC}$ (cùng phụ với )

                                                         $\widehat{C}$ góc chung

Do đó: $\Delta ABC ~\Delta DAC$ (g.g)  $\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$

Hay $\frac{9}{AD}=\frac{12}{DC}=\frac{15}{12}$ hay $\frac{9}{AD}=\frac{12}{DC}=\frac{5}{4}$

 $\Rightarrow AD=7,2cm;DC=9,6cm;DB=5,4cm.$

Tính diện tích các tam giác ABD là:  $\frac{1}{2}.BD.AD=\frac{1}{2}.5,4.7,2=19,44c{m}^2$

Tính diện tích các tam giác ACD là:   $\frac{1}{2}.DC.AD=\frac{1}{2}.9,6.7,2=34,56c{m}^2$

Xét $\Delta BCG$ và  $\Delta CAF$có:

                                                         $\widehat{G}=\widehat{F}$ ( $={90}^0$)

                                                         $\widehat{BCG}=\widehat{CAF}$ (hai góc so le trong)

Do đó: $\Delta BCG ~\Delta CAF$ (g.g)           

$\Delta BCG ~\Delta CAF$ (g.g)  $\Rightarrow \frac{BG}{CF}=\frac{CG}{AF}$

Hay  $BG.AF=CG.CF$

Xét $\Delta CNB$có: $BN=AD$(gt), mà $AD=BC$ nên $BN=BC$.

$\Rightarrow \Delta CNB$ cân tại  B.

Xét $\Delta MDC$ có: $DM=AB$ (gt), mà $AB=DC$ nên $DM=DC$.

$\Rightarrow \Delta MDC$ cân tại  D.

Vì $\Delta CNB$ cân tại B nên  $\widehat{BCN}=\widehat{BNC}=\frac{{180}^0-\widehat{B}}{2}$

Vì $\Delta MDC$ cân tại D nên  $\widehat{DCM}=\widehat{DMC}=\frac{{180}^0-\widehat{D}}{2}$

Mà $\widehat{B}=\widehat{D}$ (vì cùng bù với 2 góc bằng nhau) nên $\widehat{BCN}=\widehat{BNC}=\widehat{DCM}=\widehat{DMC}$

Xét $\Delta CNB$ và $\Delta MDC$ có:

                                             $\widehat{DCM}=\widehat{BNC}$   (cùng bù với hai góc bằng nhau $\widehat{CBA}$ và $\widehat{BCD}$)

                                               $\widehat{CMD}=\widehat{NCB}$ (cmt)

Do đó: $\Delta CNB~\Delta MDC$ (g.g).

Ta có: $\widehat{CMD}=\widehat{NCB}$ (hai góc đồng vị)

$\widehat{DCM}=\widehat{BNC}$ (hai góc đồng vị)

$\widehat{BCD}=\widehat{CDM}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{DCM}+\widehat{CDM}+\widehat{DMC}={180}^0$ (Định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Nên $\widehat{NCM}=\widehat{NCB}+\widehat{BCD}+\widehat{DCM}={180}^0$.

Do đó M, C, N thẳng hàng.

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACF$ có:

                                                       $\widehat{E}=\widehat{F}$   ( $={90}^0$)

                                                        $\widehat{A}$  góc chung

Do đó:$\Delta ABE~\Delta ACF$ (g.g)   $\Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$

Hay  $AE.AC=AF.AB$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DKC$ có:

                                                       $\widehat{BAC}=\widehat{CDx}$   (gt)

                                                        $\widehat{C}$  góc chung

Do đó: $\Delta ABC~\Delta DKC$ (g.g)           

Theo b. và tính chất đường phân giác ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{DE}{DC}$ vì cùng bằng  $\frac{AB}{AC}.$

 $\Rightarrow DK=DB.$

Xét hai tam giác vuông $\Delta HBA$ và $\Delta HAC$ có:  $\widehat{BAH}+\widehat{HAC}={90}^0$

                                                                              $\widehat{ACH}+\widehat{HAC}={90}^0$

Suy ra:   $\widehat{BAH}=\widehat{HCA}$

$\Rightarrow \Delta HBA~\Delta HAC$(g.g)

 $\Rightarrow \frac{BH}{AH}=\frac{AH}{CH}$ hay $A{H}^2=BH.HC$

Vì $EC\perp AC,BA\perp AC\Rightarrow BA$// CE

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ECD$ có:

                                                     $\widehat{BAD}=\widehat{DEC}$     (hai góc so le trong)

                                                        $\widehat{ABD}=\widehat{DCE}$  (hai góc so le trong)

Do đó: $\Delta ABD~\Delta ECD$ (g.g).

Ta có:   $\frac{DE}{AM}+\frac{DF}{AM}=\frac{BD}{BM}+\frac{DC}{MC}=\frac{BC}{BM}=2$

Vậy $DE+DF=2AM$.

Mà AM không đổi, nên $DE+DF$ không đổi.

Ta chứng minh được: $\frac{FK}{AM}=\frac{KE}{AM}$ (cùng bằng $\frac{KA}{MC}$).

 $\Rightarrow FK=KE$

Do đó: K là trung điểm của EF.

Vẽ $\Delta ADE$ bằng $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$, kẻ EF//BC

Vì EF//BC $\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\Rightarrow \frac{b\text{'}}{c}=\frac{AF}{b}\Rightarrow bb\text{'}=c.AF$(1)

$\Delta ABC$ và $\Delta EDF$ đồng dạng (g.g)

             $\Rightarrow \frac{BC}{DF}=\frac{AB}{ED}=\frac{a}{AF+c\text{'}}=\frac{c}{a\text{'}}$

               $\Rightarrow aa\text{'}=c.AF+cc\text{'}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  $aa\text{'}=bb\text{'}+cc\text{'}.$