Chuyên đề Toán 12 Bài 4 Dạng 1: Bài toán hình học có đáp án
9 câu hỏi
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết MN=a62. Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng
25
33
55
3
Gọi I hình chiếu của M lên ABCD, suy ra I là trung điểm của AO.
Khi đó CI=34AC=3a24.
Xét ΔCNI có CN=a2,NCI^=45°.
Áp dụng định lý cosin ta có:
NI=CN2+CI2−2CN.CI.cos45°=a24+9a28−2.a2.3a24.22=a104
Xét ΔMIN vuông tại I nên
MI=MN2−NI2=3a22−5a28=a144
Mà MI // SO, MI=12SO⇒SO=a142.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:
Ta có O0;0;0, B0;22;0, D0;−22;0, C22;0;0, N24;24;0,
A−22;0;0, S0;0;142, M−24;0;144
Khi đó MN→=22;24;−144, SB→=0;22;−142, SD→=0;−22;−142.
Vecto pháp tuyến mặt phẳng SBD: n→=12SB→;SD→=−7;0;0.
Suy ra sinMN,SBD=MN→.n→MN→.n→=−7.227.62=33.
Chọn B.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AB. Cho AB=2a;AD=4a; AA'=8a. Gọi E, N, M lần lượt là trung điểm của BC, DE, A'B. Gọi α là góc giữa MN và AD'. Tính tanα.
tanα=2
tanα=2
tanα=22
tanα=−2
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, chọn a là 1 đơn vị độ dài.
Có A−1;0;0, B1;0;0, C1;4;0, D−1;4;0,0;0;63,2;0;63,1;4;63,0;4;63E1;2;0, N0;3;0, M12;0;632MN→−12;3;−632, AD'→1;4;63
Có cosMN,AD'^=cosMN→,AD'→=MN→.AD'→MN.AD=−12+12−6325.4.5=15.
Có tan2α=1cos2α−1=4; tanα>0⇒tanα=2.
Chọn A.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC bằng
32
233
55
255
Để thuận tiện trong việc tính toán ta chọn a=1.
Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS.
Khi đó A0;0;0, B1;0;0, C1;1;0, S0;0;2, D0;1;0.
Vì M là trung điểm SD nên tọa độ M là M0;12;1.
Ta có SB→=1;0;−2BC→=0;1;0⇒n→SBC=SB→;BC→=2;0;1.
AM→=0;12;1AC→=1;1;0⇒n→AMC=AM→;AC→=−1;1;−12
Góc α là góc giữa hai mặt phẳng AMC và SBC.
Suy ra cosα=cosn→SBC;n→AMC=n→SBC.n→AMCn→SBC.n→AMC=53.
Mặt khác, 1+tan2α=1cos2α⇒tanα=1cos2α−1.
Vậy tanα=1532−1=255.
Chọn D.
Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=AB=3cm, BC=5cm và diện tích tam giác SAC bằng 6cm2. Một mặt phẳng α thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất Tm của biểu thức T=1AM2+1AN2+1AP2.
Tm=817
Tm=41144
Tm=110
Tm=134
Gắn trục tC0;4;0, S0;0;3ọa độ Ox, Oy, Oz như hình vẽ.
Vì tam giác SAC vuông tại A
⇒AC=2SΔSACSA=4cm
Vì AC2+AB2=BC2 nên tam giác ABC vuông tại A.
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.
Ta có A0;0;0, B3;0;0,
Vì G là trọng tâm của tứ diện S.ABC nên ta có:
xG=xS+xA+xB+xC4=34yG=yS+yA+yB+yC4=1zG=zS+zA+zB+zC4=34⇒G34;1;34
Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng α. Theo tính chất của tam diện vuông ta có: T=1AM2+1AN2+1AP2=1AH2.
Mà AH≤AG⇒T=1AM2+1AN2+1AP2=1AH2≥1AG2⇒T≥817.
Dấu “=” xảy ra khi H≡G tức mặt phẳng α đi qua điểm G và vuông góc với đường thẳng OG.
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 817.
Chọn A.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân,AB=AC=a,=ha,h>0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.
aha2+5h2
ah5a2+h2
ah2a2+h2
aha2+h2
Chọn A
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A1;1;1, B2;0;2, C−1;−1;0, D0;3;4. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B',C', D' sao cho ABAB'+ACAC'+ADAD'=4 và tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng B'C'D' là
16x−40y−44z+39=0
16x−40y−44z−39=0
16x+40y+44z−39=0
16x+40y−44z+39=0
Chọn D
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A1;1;1, B2;0;2, C−1;−1;0, D0;3;4. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B',C', D' sao cho ABAB'+ACAC'+ADAD'=4 và tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng B'C'D' là
16x−40y−44z+39=0
16x−40y−44z−39=0
16x+40y+44z−39=0
16x+40y−44z+39=0
Chọn D
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ABC là trung điểm O của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng A'B'C' là 60°. Gọi I là trung điểm cạnh B'C'. Khoảng cách từ I đến đường thẳng A'C bằng
a214
a426
a216
a428
Chọn D
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1,0,2), B(-2,0,5), C(0,-1,7). Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC tại A lấy một điểm S. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Biết khi S di động trên dS≠A thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định D. Tính độ dài đoạn thẳng AD.
AD=33
AD=62
AD=36
AD=63
Chọn C
