Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian
26 câu hỏi
Trong không gian Oxyz cho ba vecto a→ = (2; −1; 2), b→ = (3; 0; 1), c→ = (−4; 1; −1). Tìm tọa độ của các vecto m→ và n→biết rằng: m→ = 3a→ − 2b→ + c→
m→ = (-4; -2; 3)
Trong không gian Oxyz cho ba vecto a→ = (2; −1; 2), b→ = (3; 0; 1), c→ = (−4; 1; −1). Tìm tọa độ của các vecto m→ và n→ biết rằng: n→ = 2a→ + b→ + 4c→
n→ = (-9; 2; 1)
Trong không gian Oxyz cho vecto a→ = (1; −3; 4). Tìm y0 và z0 để cho vecto b→ = (2; y0; z0) cùng phương với a→
Ta biết rằng a→ và b→ cùng phương khi và chỉ khi a→ = kb→ với k là một số thực. Theo giả thiết ta có: b→ = (x0; y0; z0) với x0 = 2. Ta suy ra k = 1/2 nghĩa là l = x0/2
Do đó: −3 = y0/2 nên y0 = -6
4 = z0/2 nên z0 = 8
Vậy ta có b→ = (2; −6; 8)
Trong không gian Oxyz cho vecto a→ = (1; −3; 4). Tìm tọa độ của vecto c→ biết rằng a→ và c→ ngược hướng và |c→| = 2|a→|
Theo giả thiết ta có c→ = −2a→
Do đó tọa độ của c→ là: c→ = (-2; 6; -8).
Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0; z0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
Gọi M’, M’’, M’’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).
Ta có:
• M’(x0; y0; 0)
• M’’ (0; y0; z0)
• M’’’(x0; 0; z0)
Cho hai bộ ba điểm: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1). Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?
Ta có: AB→ = (−1; −2; 1)
AC→ = (−1; −3; 0)
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto AB→ và AC→ cùng phương, nghĩa là AB→ = kAC→ với k là một số thực.
Giả sử ta có AB→ = kAC→
khi đó 
Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên. Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Cho hai bộ ba điểm: M = (1; 1; 1), N = (-4; 3; 1), P = (-9; 5; 1). Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?
Ta có: MN→ = (−5; 2; 0) và MP→ = (−10; 4; 0). Hai vecto MN→ và MP→ thỏa mãn điều kiện: MN→ = kMP→ với k = k/2 nên ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).
Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:
MA2=1-x2+1+1-z2
MB2=-1-x2+1+z2
MC2=3-x2+1+-1-z2
Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2=MB2=MC2
Từ đó ta tính được 
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: AC→+BD→=AD→+BC→
Ta có: AC→=AD→+DC→
BD→=BC→+CD→
Do đó: AC→+BD→=AD→+BC→ vì DC→=-CD→
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: AB→=12AC→+12AD→+12CD→+DB→
Vì AB→=AD→+DB→ và AD→=AC→+CD→ nên AB→=AC→+CD→+DB→
Do đó: 2AB→=AC→+AD→+CD→+2DB→
Vậy
AB→=12AC→+12AD→+12CD→+DB→
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng: AB→+CD→=AD→+CB→=2MN→
Ta có MPNQ là hình bình hành vì
Do đó
hay 
Mặt khác 
Nên
Vì
Từ (1) và (2) ta có:
là đẳng thức cần chứng minh
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng: AB→-CD→=AC→BD→=2PQ→
Ta có:
Do đó:
Mặt khác:
Nên
Vì 
Từ (3) và (4) ta suy ra
là đẳng thức cần chứng minh.
Trong không gian cho ba vecto tùy ý a→, b→, c→
Gọi u→ = a→ − 2b→ , v→ = 3b→ − c→, w→ = 2c→ − 3a→
Chứng tỏ rằng ba vecto u→, v→, w→ đồng phẳng.
Muốn chứng tỏ rằng ba vecto u→, v→, w→ đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho w→ = pu→ + qv→
Giả sử có w→ = pu→ + qv→
2c→ – 3a→ = p(a→ – 2b→) + q(3b→ − c→)
⇔ (3 + p)a→ + (3q − 2p)b→ − (q + 2)c→ =0→ (1)
Vì ba vecto lấy tùy ý a→, b→, c→ nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:
Như vậy ta có: w→ = −3u→ − 2v→ nên ba vecto u→, v→, w→ đồng phẳng.
Trong không gian Oxyz cho một vecto a→ tùy ý khác vecto 0→. Gọi α, β, γ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị i→, j→, k→ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto a→. Chứng minh rằng: cos2α+cos2β+cos2γ=1
Gọi a0→ là vecto đơn vị cùng hướng với vecto a→
ta có 
Gọi OA0→ = a0→ và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó ta có:
Vì
Ta có:
ta suy ra:
hay
Vì OA0→ = a0→ mà |a0→| = 1 nên ta có: cos2α+cos2β+cos2γ=1
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh hệ thức: AB→.CD→+AC→.DB→+AD→.BC→=0
Ta có
Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:
Cho hình tứ diện ABCD. Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”
Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ DB, nghĩa là AB→.CD→ = 0 và AC→.DB→ = 0 thì AD→.BC→ = 0 và do đó AD ⊥ BC.”
Tính tích vô hướng của hai vecto a→, b→ trong không gian với các tọa độ đã cho là: a→ = (3; 0; −6), b→ = (2; −4; c)
a→.b→ = 6(1 - c)
Tính tích vô hướng của hai vecto a→, b→ trong không gian với các tọa độ đã cho là: a→ = (1; −5; 2), b→ = (4; 3; −5)
a→.b→ = -21
Tính tích vô hướng của hai vecto a→, b→ trong không gian với các tọa độ đã cho là: a→ = (0; 2; 3), b→ = (1; 3; −2)
a→.b→ = 0
Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: A(4; -1; 1), B(2; 1; 0)
AB→=3
Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: A(2; 3; 4), B(6; 0; 4)
AB→=5
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:
A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Ta có: AB→ = (−a; b; 0) và AC→ = (−a; 0; c)
Vì AB→. AC→ = a2 > 0 nên góc ∠BAC là góc nhọn.
Lập luận tương tự ta chứng minh được các góc ∠B và ∠C cũng là góc nhọn.
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.
x-52+y+32+z-72=4
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ
x-42+y+42+z-22=36
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: Đi qua điểm M(2; -1; -3) và có tâm C(3; -2; 1)
x-32+y+22+z-12=18
Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: x2+y2+z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.
Vì
A ∈ (S) nên ta có: 1 – 2a + d =0 (1)
B ∈ (S) nên ta có: 4 + 4b + d = 0 (2)
C ∈ (S) nên ta có: 16 – 8c + d = 0 (3)
D ∈ (S) nên ta có: d = 0 (4)
Giải hệ 4 phương trình trên ta có: d = 0, a = 1/2, b = −1,c = 2.
Vậy mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là: x2+y2+z2 –x + 2y – 4z = 0
Phương trình mặt cầu (S) có thể viết dưới dạng:
Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1/2; -1; 2) và có bán kính 
