Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}$

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{MN}$

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{PQ}$

Trong không gian cho ba vecto tùy ý $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, $\overrightarrow{\mathrm{c}}$

Gọi $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ − 2$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ = 3$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ − $\overrightarrow{\mathrm{c}}$, $\overrightarrow{w}$ = 2$\overrightarrow{\mathrm{c}}$ − 3$\overrightarrow{\mathrm{a}}$

Chứng tỏ rằng ba vecto $\overrightarrow{\mathrm{u}}$, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$, $\overrightarrow{w}$ đồng phẳng.

Trong không gian Oxyz cho một vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ tùy ý khác vecto $\overrightarrow{0}$. Gọi $\mathrm{\alpha }$, $\mathrm{\beta }$, $\mathrm{\gamma }$ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị $\overrightarrow{\mathrm{i}}$, $\overrightarrow{\mathrm{j}}$, $\overrightarrow{\mathrm{k}}$ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$. Chứng minh rằng: ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta \mathit{+}{\cos }^{\mathit{2}}\gamma \mathit{=}\mathit{1}$

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh hệ thức: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

Cho hình tứ diện ABCD. Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

Tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ trong không gian với các tọa độ đã cho là: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (3; 0; −6), $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (2; −4; c)

Tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ trong không gian với các tọa độ đã cho là: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (1; −5; 2), $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (4; 3; −5)

Tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ trong không gian với các tọa độ đã cho là: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (0; $\sqrt{2}$; $\sqrt{3}$), $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (1; $\sqrt{3}$; −$\sqrt{2}$)

Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: A(4; -1; 1), B(2; 1; 0)

Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: A(2; 3; 4), B(6; 0; 4)

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:

A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.

Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ

Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: Đi qua điểm M(2; -1; -3) và có tâm C(3; -2; 1)

Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.