Chuyên đề 7: Phương trình (có đáp án)

a)3x+12x=27⇔3x+23x=33⇔33x=33⇔x=1

Vậy S={1}

b) x2+x−20=0

Δ=12−4.1.(−20)=81>0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−1+812=4x2=−1−812=−5

Vậy S={-5;4}

a) Ta có Δ=(4m+1)2−4.1.(2m−8)=16m2+33>0 với mọi giá trị của m.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m.

b) Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m nên theo định lí Vi-et:

x1+x2=−ba=−4m−1x1.x2=ca=2m−8 

Ta có: x1−x2=17⇔(x1−x2)2=289⇔x12+x22−2x1x2=289⇔(x1+x2)2−4x1x2=289

⇔(−4m−1)2−4(2m−8)=289⇔16m2−256=0⇔m=4m=−4

Vậy m=±4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 1: Do 1+(-3)+2=0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm x1=1;  x2=2.

Cách 2: Δ=(-3)2-4.2=1⇒Δ=1.

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1=-(-3)-12=1; x2=-(-3)+12=2.

Điều kiện x≠1

Phương trình ⇔6x2x+12+x2x+1−12=0

Đặt: t=x2x+1

Phương trình trở thành  6t2+t-12=0⇔t1=43t1=-32

Với t=43 ta được x2x+1=43⇔3x2−4x−4=0⇔x=2x=−23

Với t=−32 ta được x2x+1=−32⇔2x2+3x+3=0 (vô nghiệm).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: S=2;−23.

Phương trình x2−(2m+5)x+2m+1=0 (1) với xlà ẩn, m là tham số.

a) Khi m=−12, phương trình trên trở thành x2−4x=0⇔x=0x=4.

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì Δ=(2m+5)2−4(2m+1)>0

⇔4m2+12m+21>0⇔(2m+3)2+12>0. Bất đẳng thức sau cùng luôn đúng với mọi giá trị của m. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để P=  |x1−x2| có nghĩa thì x₁ và x₂  phải dương ⇔2m+5≥02m+1≥0⇔m≥−12.

Khi đó theo định lý Vi-et ta có x1+x2=2m+5x1x2=2m+1( với x₁ và x₂ là hai nghiệm của (1)).

Do đó P2=x1+x2−2x1x2=2m+5−22m+1

 =2m+1−12+3≥3⇒P≥3.  

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 2m+1=1⇔m=0.

a) Thay m=-1 vào phương trình (1) ta được: x2+2x−3=0

Vì a+b+c=1+2−3=0 nên phương trình có hai nghiệm x₁ =1và x2=ca=−3.

b) Δ=m−12−4.1.−m2+m−1=5m2−6m+5=5m−352+1625>0, với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

Theo định lí Vi – ét: x1+x2=m−1 và x1x2=−m2+m−1=−m−122+34<0, với mọi .

Theo đề:  x2−x1=2 và x2>x1 suy ra:

x2−x12=4⇔x12+x22−2x1x2=4⇔x1+x22−2x1x2+2x1x2=4⇔x1+x22=4⇔m−12=4.

Vậy m=-1, m=3 là giá trị cần tìm.

Phương trình: 2x2+3x−1=0. Ta thấy a,c trái dấu nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-ét ta có: x1+x2=−32x1x2=−12

P=2x1x2+x2x1=2x12+x22x1x2=2x12+2x1x2+x22−2x1x2x1x2=2(x1+x2)2−4x1x2x1x2

 =2.−322−4.−12−12=92+2−12=−292+2=−13

1) Với m=2 PT trở thành x2−4x+3=0

Giải phương trình tìm được các nghiệm x=1 ;x=3

2) Ta có Δ'=m2−m2+1=1>0,∀m. 

Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Từ giả thiết ta có xi2−2mxi+m2−1=0,i=1;2. 

xi3−2mxi2+m2xi−2=xixi2−2mxi+m2−1+xi−2=xi−2,i=1;2.

Áp dụng định lí Viét cho phương trình (1) ta có x1+x2=2m; x1.x2=m2−1

Ta có

 x1−2+x2−2=2m−4;x1−2x2−2=x1x2−2x1+x2+4=m2−1−4m+4=m2−4m+3. 

Vậy phương trình bậc hai nhận  x13−2mx12+m2x1−2, x23−2mx22+m2x2−2

là nghiệm là  x2−2m−4x+m2−4m+3=0.

Dễ thấy x=0 không là nghiệm của phương trình nên

 PT⇔x+1x−1x+1x+4=6.

Đặt t=x+1x ta được t−1t+4=6⇔t2+3t−10=0⇔t=2t=−5. 

Với t=2⇒x+1x=2⇔x2−2x+1=0⇔x=1. 

Với t=−5⇒x+1x=−5⇔x2+5x+1=0⇔x=−5−212x=−5+212. 

a) Thay m=2 vào ta có phương trình:  x2−2x−5=0

Δ'=−12−1.−5=6>0 

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1=−b'+Δ'ax2=−b'−Δ'a⇔x1=1+6x2=1−6.

b) Phương trình: x2−2(m−1)x−(2m+1)=0 có:

Δ'=−m−12+1.2m+1=m2−2m+1+2m+1=m2+2>0, ∀m

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

c) Với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn:

x1+x2=2m−1x1x2=−2m+1.

Yêu cầu bài toán tương đương: x1=−x2⇔x1+x2=0x1x2<0 

  ⇔2m−1=0−2m+1<0⇔m=1m>−12⇔m=1. 

Vậy với m=1 thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

Cho phương trình x2−10mx+9m=0 (1) ( với m là tham số).

a. Khi m=1 thì phương trình (1) trở thành: x2−10x+9=0

Vì a+b+c=1+−10+9=0 nên phương trình có hai nghiệm: x1=1, x2=9.

b. x2−10mx+9m=0 (1) ( với m là tham số).

Ta có: Δ'=−5m2−1.9m=25m2−9m 

·  Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: ⇔Δ'>0 

                 ⇔25m2−9m>0

⇔m(25m−9)>0

⇔m<0 hay  m>925

·  Khi m<0 hay m>925 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

                        Theo hệ thức vi-et ta có:  x1+x2=10m  2x1.x2=9m     3

·  Theo yêu cầu bài toán:  x1−9 x2=0 (4)

Kết hợp (2) với (4) ta được hệ phương trình:

x1+x2=10m  x1−9 x2=0 ⇔x1=9mx2=m

Thay x1=9m, x2=m vào (3) ta được phương trình:     9m.m=9m⇔9m(m−1)=0

⇔m=0 (loại) hay m=1(nhận)

Vậy m=1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu  x1−9 x2=0.

a)Khi m=0 phương trình trở thành:

x2−9=0⇔x=± 3

b) Với a=1, b=-2m, b'=-m, c=-6m-9.

Δ=b'2−ac=m2+6m+9=(m−3)2≥0, ∀m

Phương trình luôn có 2 nghiệm x1,  x2 với mọi m.

Theo hệ thức Viet ta có:   x1+x2=2mx.1x2=−6m−9

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔x1x2<0⇔−6m−9<0⇔m>−32

Ta có : x12+x22=13

⇔x1+x22−2x1x2=13⇔(2m)2−2(−6m−9)−13=0⇔4m2+12m+5=0

⇔m=−52  (loại) hoặc m=−12 (nhận).

Vậy m=−12.

a. Với m=2 thay vào phương trình (1) ta được: 2x2−4x+2=0⇔2(x−1)2=0⇔x=1.

Vậy với m=2 thì phương trình (1) có nghiệm là x=1 

b.Phương trình (1) có hai nghiệm x1,x2⇔Δ≥0⇔m2−4≤0⇔−2≤m≤2. 

 Theo Vi – et ta có:x1+x2=mx1.x2=m2−22

Theo đề bài ta có: A=2x1x2−x1−x2−4=m2−m−6=(m−3)(m+2) Do −2≤m≤2 nên m+2≥0, m−3≤0. Suy ra    A=(m+2)(−m+3)=−m2+m+6=−(m−12)2+254≤254.

Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng 254 khi m=12 .

x2−4x+3=0 (a=1 ,b=−4 ,c=3)Δ=b2−4ac=(−4)2−4.1.3=4

Do Δ>0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1=−b+Δ2a=3      ;x2=−b−Δ2a=1 

Cho phương trình: mx2+x−2=0 (1), với m là tham số

a.Giải phương trình (1) khi m=0.

 Khi m=0, ta có phương trình: x−2=0⇔x=2

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x=2.

Giải phương trình (1) khi m=1.

Khi m=1, ta có phương trình: x−2=0

Ta thấy: a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x1=1; x2=−2.

 3x−5=x+2

⇔3x−x=2+5

⇔2x=7

⇔x=72

2x2−1−22x−2=0⇔2x2−x+22x−2=0⇔x2x−1+22x−1=0⇔x+22x−1=0⇔x+2=0⇔x=−22x−1=0⇔x=12

a) Giải phương trình

2x2−9x+10=0 1Δ=−92−4.2.10=1

Vì Δ>0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x1=9+14=52x2=9−14=2 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S=2;52.

 x−14−8x−12−9=0 1

Đặt  x−12=t2  t≥0.

Khi đó phương trình (1) trở thành:

t2−8t−9=0 2Δ=−82−4.1.−9=100

Vì Δ>0 nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

t1=8+1002=9 (thoả mãn)

t2=8−1002=−1 (không thoả mãn)

                        Với t=9 ta có:

x−12=9⇔x−1=3x−1=−3⇔x=4x=−2 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S={-2;4}.

x2−m+4x−2m2+5m+3=0 1Δ=−m+42−4.1.−2m2+5m+3    =m2+8m+16+8m2−20m−12    =9m2−12m+4=3m−22>0 ∀m∈ℤ

Vì Δ>0 ∀m∈ℤ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1).

Theo hệ thức Viet ta có:  x1+x2=m+4x1.x2=−2m2+5m+3

Theo đề bài ta có: x1.x2=−30

Với m=-3 ta có: x1+x2=m+4=−3+4=1

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 1.

3x−5=x+2⇔3x−x=2+5⇔2x=7⇔x=72

2x2−1−22x−2=0⇔2x2−x+22x−2=0⇔x2x−1+22x−1=0⇔x+22x−1=0⇔x+2=0⇔x=−22x−1=0⇔x=12

5x−18=3x+24⇔2x=42⇔x=21

Phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ ⇔Δ'≥0.

⇔m+22−6m+2≥0⇔m2−2m+2≥0⇔m−12+1≥0(luôn đúng với mọi ).

Theo hệ thức Vi-et ta có: x1+x2=2m+2  1x1x2=6m+2           2.

Theo giả thiết, giả sử: x1=2x2  3.

Từ (1) và (3) ta có: x1+x2=2m+2x1=2x2⇔x1=4m+23x2=2m+23(4).

Thay (4) vào (2) ta được:

4m+23.2m+23=6m+2⇔4m2−11m+7=0⇔4m−7m−1=0⇔m=1m=74

a) Khi m=2, phương trình trở thành: x2−6x+9=0⇔x−32=0⇔x=3

Vậy khi m=2 thì phương trình có một nghiệm x=3.

Δ'=m+12−m2+5=2m−4

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ'>0⇔2m−4>0⇔m>2

Với m>2, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Theo định lý viet: x1+x2=2m+1x1x2=m2+5

Ta có

2x1x2−5x1+x2+8=0⇔2m2+5−5.2m+1+8=0⇔2m2+10−10m−2=0⇔2m2−10m+8=0⇔m=1m=4

Vì m>2  nên m=4.

16x4−8x2+1=0

Đặt t=x2; điều kiện t≥0

                        (*) ⇒16t2−8t+1=0; a=16;b=−8;c=1 ; 

Δ'=b'2−ac=(−4)2−16.1=0 

⇒phương trình có nghiệm kép:

t1=t2=−b'a=416=14 

t=14⇔x2=±12

Vậy phương trình có tập nghiệm là S=−12;12

PT đã cho: x2−mx+m−1=0 (có ẩn số x).

a/ Δ=−m2−4.1m−1=m2−4m+4=m−22≥0 với mọi m vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm x₁; x₂ với mọi m.

Theo Vi-et: x1+x2=−ba=mx1.x2=ca=m−1

B=2x1x2+3x12+x22+21+x1x2=2x1x2+3x1+x22−2x1x2+21+x1x2=2x1x2+3x1+x22+2=2m−1+3m2+2=2m+1m2+2B=1⇔2m+1m2+2=1⇔2m+1=m2+2⇔m2−2m+1=0⇔m−12=0⇔m=1

x2−9x+20=0Δ=92−4.1.20=1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1=9+12=5; x2=9−12=4

x4−2x2−3=0

Đặt t=x2(t≥0) thì phương trình đã cho trở thành: t2−2t−3=0

Phương trình bậc hai có a − b + c = 1 + 2 − 3 = 0 nên có nghiệm

t=-1 (loại) hoặc t=3.

với t=3⇒x2=3⇔x=±3 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: S={±3}

Xét phương trình x2+(2m−1)x+m2−1=0 cóΔ=(2m−1)2−4.1.(m2−1)=−4m+5 

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0⇒−4m+5>0⇔m<54

Khi x1;x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, theo hệ thức Vi-et ta có:

x1+x2=1−2mx1.x2=m2−1

Khi đó: x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(1−2m)2−2(m2−1)=2m2−4m+3=2(m−1)2+1≥1

Vậy x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi m = 1 (thỏa điều kiện  m<54)

Vậy giá trị m cần tìm là 1

x2−2x+m−1=0(1)

(1) là phương trình bậc hai có Δ'=1−m−1=2−m

(1) có hai nghiệm x₁, x₂ ⇔Δ'≥0⇔2−m≥0⇔m≤2           (*)

Khi đó theo hệ thức Viet ta có x1+x2=2x1x2=m−1                     (2)

Biến đổi x12+x22−x1x2+x12x22−14=0⇔x1+x22−3x1x2+x12x22−14=0.

Kết hợp với (2) ta được 22−3m−1+m−12−14=0

⇔m2−5m−6=0⇔mm+1−6m+1=0⇔m+1m−6=0⇔m=−1m=6.

Kết hợp với (*) ta được m=-1 thỏa mãn.

Đ/s: m=-1.

Ta có

x2−4x+3=0⇔x−1x−3=0⇔x−1=0x−3=0⇔x=1x=3

Vậy tập nghiệm của phương trihf là S={1;3}

Phương trình có hai nghiệm khi:  Δ'=(m+2)2−m2≥0⇔4m+4≥0⇔m≥−1   (1) .            

Theo hệ thức Vi-ét ta có :               x1+x2=2(m+2)x1.x2=m2                 (2).

Ta có :  x1+3x2+3=28⇔x1x2+3x1+x2=19.                   (3).

Thay (2) vào (3) ta có m2+6(m+2)=19⇔m2+6m−7=0

⇔m=1 hoặc m=-7.

                 Đối chiếu điều kiện (1) ta được m=1.

2x−1x+2=0⇔2x−1=0x+2=0⇔x=12x=−2

Δ=29–12m.

Phương trình có nghiệm ⇔m≤2912.

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1+x2=−5x1x2=3m−1                                                          

                        Cách 1:

(1)⇔x2=−5−x1, thay vào hệ thức x13−x23+3x1x2=75 ta được:

                        x13+5+x13+3x1−5−x1=75.

                        ⇔x13+6x12+30x1+25=0.

                        Giải phương trình được x=-1 ⇒x2=–4.

                        Thay x₁ và x₂ vào  (2), tìm được  m=53  (thỏa mãn điều kiện).

                        Vậy m=53 là giá trị cần tìm.

                        Cách 2:

                  x13−x23+3x1x2=75⇔x1−x2x12+x1x2+x22=75−3x1x2⇔x1−x2x1+x22−x1x2=325−x1x2⇔x1−x226−3m=326−3m

                        ⇔x1−x2=3 (do m≤2912⇒26−3m>0).

                        Ta có hệ phương trình: x1+x2=−5x1−x2=3⇔x1=−1x2=−4.  

                        Từ đó tìm được m.

x2−3x−10=0Δ=−32−4.1.−10=49⇒Δ=7

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=3−72=−2 và x2=3+72=5

b. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1+x2=2m−2x1x2=−6m 

Suy ra P=x12+x22=x1+x22−2x1x2=2m−42−2−6m=4m2−16m+16+12m=4m2−4m+16=2m−12+15  

Vì 2m−12≥0 mọi m

Nên 2m−12+15≥15 mọi m

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 15

Dấu “=” xảy ra ⇔2m−1=0⇒m=12 .

a. Δ=m−22−−6m=m2−4m+4+6m=m2+2m+4=m+12+3

 Vì m+12≥0 với mọi m nên m+12+3>0với mọi m

a) 5x2−16x+3=0

Ta có: Δ=196>0

Phương trình có 2 nghiệm x1=3, x2=15

b) x4+9x2−10=0

Đặt t=x2,t≥0, phương trình trở thành t2+9t−10=0

Giải phương trình ta được t=1 (nhận); t=-10 (loại)

Khi t=1, ta có x2=1⇔x=±1.

Phương trình có Δ'=m+12−1.m−1=m2+2m+1−m+1=m2+m+2.

Δ'=m2+m+2=m+122+2−14=m+122+74>0,∀m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Khi đó, theo Vi-ét x1+x2=2m+2      (1);

x1.x2=m−1. (2)

Theo đề bài ta có 3x1+x2=0 (3)

Từ (1) và (3) suy ra x1=−1−m;x2=3m+3 thay vào (2) ta được

−1−m3m+3=m−1⇔m=−2m=−13

Với m=4 phương trình (1) có dạng: x2−3x−4=0.

Ta có: Δ=−32−4.−4.1=25>0⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:x1=−1;​​  x2=4.

Vậy khi m=4 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1=−1;​​  x2=4.

Tính Δ=m−12+4m=m+12.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0⇔m+12>0⇔m≠−1.

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có:x1+x2=m−1x1.x2=−m.

Theo đầu bài ta có: x13−x2+20≥33−x2

⇔3x1+x2− x1x2≥−11⇔3m−1+m≥−11⇔4m≥−8⇔m≥−2.

Vậy m≥−2;  m≠−1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x13−x2+20≥33−x2.

a)2x−3=0⇔2x=3⇔x=32

Vậy x=32

b)x+3=2⇔x+3=2x+3=−2⇔x=−1x=−5

Vậy x=-1 hoặc x=-5

Đặt t=x+12, điều kiện t≥0

Phương trình trở thành: t2−2t−3=0

⇔t2+t−3t−3=0⇔t+1t−3=0

Vậy x+12=3⇔x=−1+3x=−1−3

Kết luận: tập nghiệm của phương trình là S=−1+3;−1−3

x2=(x−1)(3x−2)⇔−2x2+5x−2=0Δ=b2−4ac=52−4.(−2).(−2)=9

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=2x2=12

x−3x−10=0⇔x+2x−5x−10=0⇔x+2x−5=0⇔x−5=0(vì x+2>0)⇔x=25

x2+3x−10=0⇔x2−2x+5x−10=0⇔xx−2+5x−2=0⇔x−2x+5=0⇔x=2x=−5

Vậy nghiệm dương của phương trình là x=2

a) Ta có: 2x−1=0⇔2x=1⇔x=12

b) x2−6x−7=0(a=1; b=−6; c=−7)

Ta có: a−b+c=0⇔x1=−1x2=7   

Δ=b2−4ac=2m+12−4.m2+1=4m2+4m+1−4m2−4=4m−3

Để phương trình có nghiệm ⇔Δ≥0⇔4m−3≥0⇔m≥34

b) Theo định lý Vi-ét: S=x1+x2=−ba=2m+1  (1)P=x1x2=ca=m2+1  (2) 

 Ta có: x1=2x2thế vào (1)⇒3x2=2m+1⇔x2=2m+13 thế vào (2) ⇒2.2m+129=m2+1

⇔8m2+8m+2=9m2+9⇔m2−8m+7=0⇔m=1m=7

Theo định lý Vi-et ta có: x1+x2=−ba=−4x1x2=ca=−5⇔b=4a(1)c=−5a(2) 

Từ (1) và (2) thay vào b+c=5 ta được: 4a−5a=5⇔a=−5

Suy ra b=−20; c=25.

Vậy phương trình đã cho có dạng: −5x2−20x+25=0

x2−12x+35=0

Ta có phương trình tương đương:

x2−5x−7x+35=0⇔xx−5−7x−5=0⇔x−5x−7=0⇔x−5=0x−7=0⇔x=5x=7

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1=5, x2=7

x4−3x2−4=0

Đặt t=x2, điều kiện t≥0

Phương trình đã cho trở thành t2−3t−4=0⇔t+1t−4=0⇔t+1=0t−4=0⇔t=−1t=4

Do t≥0 nên ta chọn t=4. Khi đó, ta có x2=4⇔x=2x=−2

Vây, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1=2, x2=-2

3x-2 = 0⇔3x=2⇔x=23.

- Phương trình:x2−mx−1 = 0 có Δ=m2+4>0, Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

- Ta có: x12−1x22−1=−1⇔x12x22−x12−x22+1=−1⇔x1x22−(x1+x2)2+2x1x2+2=0⇔ca2−−ba2+2ca+2=0⇔1−m2−2=0⇔m2=1⇔m=1(thỏa mãn) hoặc m=-1 (thỏa mãn). Vậy 2 giá trị cần tìm của m là m=1 hoặc m=-1

4x2−12x+9=9

Đặt 4x2−12x+9≥0⇔(2x−3)2≥0      ∀x∈R

4x2−12x+9=9⇔(2x−3)2=9⇔2x−3=9⇔x=6

Pphương trình: 3x2+2x−8=0         (a=3; b'=1;  c=−8)

Δ'=b'2−ac=1+24=25=5⇔x1=−1+53=43;       x2=−1−53=−2

Phương trình: x2−2(m+1)x+m2−3=0(m là tham số)       (1)

(a=1;    b'=−(m+1);    c=m2−3)Δ'=b'2−ac=−(m2−3)       =2m+4

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

Δ'>0⇔2m+4>0⇔m>−2

Theo đề ra ta có: x1x2+x2x1=−2

x1x2+x2x1=−2⇔x12+x22x1.x2=−2x1.x2x1.x2⇔(x1+x2)2=0⇔x1+x2=0         (2)

Áp dụng hệ thức vi et ta có: x1+x2=2(m+1)

(2)  ⇔2(m+1)=0   ⇔m=−1

Vậy với m=-1 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x1x2+x2x1=−2.

Δ=−4m−3

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔m<−34

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1+x2=1x1x2=m+1

Cách 1:

x12+x1x2+3x2=7⇔x1x1+x2+3x2=7⇔x1+3x2=7 do x1+x2=1

Ta có hệ: x1+x2=1x1+3x2=7⇔x1=−2x2=3⇒−2.3=m+1⇔m=−7 (thỏa mãn điều kiện)

Cách 2:

              x1+x2=1⇔x2=1−x1.

Do đó: x12+x1x2+3x2=7

⇔x12+x11−x1+31−x1=7⇔x12+x1−x12+3−3x1=7⇔−2x1=4⇔x1=−2

Từ đó tìm x₂ rồi tìm m.

Ta có: Δ=9>0⇒phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=2, x2=12.

Ta có VP=1>0⇒VT>0⇒x>0 .

Phương trình đã cho tương đương với  1−x1+x2=22x (1).

Từ (*) và (1) suy ra 0<x<1.

Do đó 1⇔1−x21+x2=8x2 (vì 0<x<1).

 ⇔1+x22−2x1+x2=8x2⇔1+x2−x2=9x2⇔x2−x+1=3x (vì 3x>0 và x2−x+1>0 ).

⇔x=2−3tmx=2+3 l .

Vậy phương trình có tập nghiệm S={2-3} .

a) Thay m=2 vào phương trình (1) ta được phương trình: x2+8x+7=0  (*)

Ta có: 1-8+7=0

Phương trình (*) có hai nghiệm x₁=-1, x₂=-7.

b) Ta có: Δ'=  (m+2)2−( 4m−1).

=m2+5>0 với ∀m

⇒ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với ∀m.

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1+x2=  −2(m+2)x1x2=  4m−1 

x12+x22=30⇔(x1+x2)2−2x1x2=30⇔[-2(m+2)]2−2(4m−1)=30⇔m2+2m−3=0⇔m=1m=−3.

Vậy m=-3 hoặc m=1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn: x12+x22=30.

a)  4x−5>7⇔4x>12⇔x>3.

Vậy nghiệm của bất phương trình : x>3.

b)  2x+34x+2=8⇔14x+6=8⇔14x=2⇔x=17.

Vậy nghiệm của phương trình : x=17.

c)  12x2=3x−4⇔x2−6x+8=0⇔x−2x−4=0⇔x=2x=4.

Vậy nghiệm của phương trình : x={2;4}.

 Ta có x+22−1=0⇔x+22=1⇔x+2=2⇔x=0.

Vậy phương trình có nghiệm x=0 

a) Với m=0 ta có phương trình:

x2−x−1=0.Δ=−12−4.1.−1=5. 

Vậy phương trình có 2 nghiệm  x=1+52; x=1−52. 

b) Ta có Δ=2m+12−4.m2+m−1=5>0∀m

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi .

Theo định lý Vi-ét ta có:

x1+x2=2m+1x1.x2=m2+m−1 

Điều kiện 1x1+1x2=4⇔x1+x2x1.x2=4⇒2m+1m2+m−1=4⇔2m+1=4m2+4m−4⇔4m2+2m−5=0⇔m=−1+214m=−1−214 

Vậy m∈−1+214;−1−214.

Đặt x3−43=x2+423+42=t6

⇒x3−4=t2x2+423=t3−4. 

Đặt x2+43=a. Khi đó ta có hệ

 x3−4=t2t3−4=a2a3−4=x2⇒x,t,a≥0.

Nếu a2≥x2⇔a≥xt3−4≥a3−4⇔a≥x 1t≥a 2 

Do t≥a⇒t2≥a2⇔x3−4≥t3−4⇔x≥t 3. 

Từ (1), (2), (3) suy ra a≥x≥t≥a⇔a=x=t⇔x3−4=x2⇔x=2. 

Giải phương trình: x2+7x+10=0.

Δ=72−4.1.10=49−40=9>0

x1=−7+92=−2; x2=−7−92=−5.

x4+2017x2−2018=0⇔x2+2018x2−1=0⇔x2−1=0(do x2+2018>0  ∀x∈R)⇔x2=1.⇔x=−1∨x=1

Cho phương trình bậc hai x2−2x+m+3=0 (m là tham số).

a) Pt có nghiệm x=−1⇒−12+2+m+3=0⇔m=−6 

Với m=-6, pt đã cho thành:  x2−2x−3=0⇔x+1x−3=0⇔x=−1∨x=3

Vậy với m=-6 , pt có nghiệm x=-1 và nghiệm còn lại là x=3 

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn hệ thức: x13+x23=8 

Đk pt có hai nghiệm phân biệt a≠0Δ'=1−m−3>0⇔m<−2* 

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: x1+x2=S=2x1x2=P=m+3 

Ta có x13+x23=8⇔S3−2SP=8⇔8−3.2m+3=8⇔m=−3 (thỏa *)

Vậy m=-3 

Đk pt có hai nghiệm phân biệt a≠0Δ'=1−m−3>0⇔m<−2* 

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: x1+x2=S=2x1x2=P=m+3 

Ta có x13+x23=8⇔S3−2SP=8⇔8−3.2m+3=8⇔m=−3 (thỏa *)

Vậy m=-3 

Với m=5 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=3;x2=8

Phương trình có hai nghiệm ⇔Δ≥0⇔−2m+12−4m2−1≥0⇔4m+5≥0⇔m≥−54

Với m≥−54 phương trình có hai nghiệm theo Vi_ét ta có: x1+x2=2m+1x1x2=m2−1

Vì x₁ là nghiệm của phương trình nên ta có: x12−2m+1x1+m2−1=0⇔x12=2m+1x1−m2+1

Thay vào hệ thức x12−2m+1x1+m2−1=0 ta có:

x12−2mx1+m2x2+1=1⇔x1+1x2+1=1⇔x1x2+x1+x2+1=1⇔m2−1+2m+1+1=1⇔m=0(TM)m=−2(KTM)

Đặt t=x2,   t≥0

Phương trình (1) trở thành 2t2−3t−2=0 (2)Giải phương trình (2) được: t=12(loại ) hoặc t=2Với t=2 suy ra được x=±2

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi Δ'>0⇔m>23.

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 là:m>23 và m2−3m+2≠0(1)Theo định lí Viet: x1+x2=2m;  x1x2=m2−3m+2x1x2+x2x1=16⇔x12+x22=16x1x2⇔(x1+x2)2−18x1x2=0⇔(2m)2−18(m2−3m+2)=0⇔7m2−27m+18=0⇔m=3 hoặc m=67(thỏa (1))Vậy m=3 hoặc m=67

a) 3x2−2x−1=0 (a)

Vì phương trình (a) có a+b+c=3−2−1=0 nên phương trình (a) có 2 nghiệm

                                       x1=1x2=ca=−13

Vậy tập nghiệm của phương trình S=−13;1.

x4+5x2–36=0 (b)

Đặt u=x2≥0, phương trình thành : u2+5u–36=0 (*)

Có Δ=b2−4ac=52−4.−36=169>0

                                      ⇒ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

 u1=−5+132=4 hay u2=−5−132=−9<0 (loại)

 ⇒x2=4⇔x=±2

Vậy tập nghiệm của phương trình S=±2.

Cách khác : (b) ⇔x2–4x2+9=0⇔x2=4⇔x=±2 

3x2−x3+3−3=0 (c)

Vì phương trình (c) có a+b+c=3−3+3−3=0 nên phương trình (c) có hai nghiệm

   x1=1x2=ca=3−33

Vậy tập nghiệm của phương trình S=3−33;1.

a) x2−5x+6=0

Ta có: Δ=b2−4ac=52−4.6=25−24=1>0

Phương trình (a) có hai nghiệm phân biệt: 

x1=5−12=2              x2=5+12=3 

Vậy tập nghiệm của phương trình S={2;3}

b) x2−2x−1=0          (b)

Ta có : Δ'=1+1=2

Phương trình (b) có hai nghiệm phân biệt :                                        x1=1−2                              x2=1+2     

Vậy tập nghiệm của phương trình S=1±2.

c) Đặt u=x2≥0 phương trình trở thành:

              u2+3u−4=0⇔u−1u+4=0⇔u=1⇔x2=1⇔x=±1u=−4L

Vậy tập nghiệm của phương trình S=±1.

Cách khác :

Phương trình: ⇔x2−1x2+4=0⇔x2−1=0⇔x=±1

Ta có: a=1; b=-5; c=-14

Biệt thức : Δ=b2–4ac=25+56=81>0⇒Δ=9

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=7, x2=−2 

a) x−12+2=−2x2+8x⇔3x2−10x+3=0

Ta có :Δ=b2−4ac=−102−4.3.3=64>0⇒Δ=8     

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

 x1=−b+Δ2a=10+86=3;                         x2=−b−Δ2a=10−86=13

b) x3x+1−7=x2x+7+1⇔x4−7x2−8=0     

Đặt x2=t (t ≥0)

Ta có phương trình : t2−7t−8=0

Phương trình trên có : a–b+c=1+7−8=0 nên phương trình có hai nghiệm :

 t1=−1 (loại)                                    t2=−ca=81=8  (nhận)

            t=8⇔x2=8⇔x=±8 

a) 3x2−4x+1=0

Ta thấy a+b+c=0 nên phương trình có nghiệm là x=1 và x=13

b) x4−3x2−4=0

 Đặt t=x2≥0 ta có phương trình:

 t2−3t−4=0⇔t=−1 (l)t=4 (tm)  

Với t=4 ta có: x2=4⇔x=±2

Vậy S=±2.

a) Phương trình (1) có Δ'=m2+4m+5=m+22+1>0 với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S=−ba=2m; P=ca=−4m−5

 ⇒A=x1+x22−3x1x2=4m2+34m+5=2m+32+6≥6với mọi m

⇒A=6 khi m=−32

 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 6 khi m=-32.

a) Phương trình (*) có nghiệm x=12⇔2−4+m2+1=0⇔m=±1

Δ'=16−8m2−8=81−m2

Phương trình x2+x−m+2=0

Điều kiện: Δ=12−4.−m+2=1+4m−8=4m−7>0⇔m>74

Khi đó theo Vi-ét tá có x1+x2=−1 và x1.x2=−m+2 .

x13+x23+x12x22=17x1+x23−3x1x2x1+x2+x1x22=17−13−3−m+2−1+2−m2=17−1−3m+6+4−4m+m2=17m2−7m−8=0 có a−b+c=0⇔m=−1lm=8tm

Vậy với m=8 thì thỏa yêu cầu đề bài.

a) Ta có : Δ=m−12+4m=m2+2m+1=m+12≥0 với mọi m

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

b) Theo định lý Vi-et ta có: x1+x2=−ba=m−1x1.x2=ca=−m

                                                                      x12x2+x1x22−3x1x2=−5⇔x1x2x+1x2−3x1x2+5=0

⇔−m2+4m+5=0⇔m=−1m=5(thỏa mãn)

 Vậy m∈−1;5 là giá trị cần tìm.

a) Ta có: Δ=20−4m

Để phương trình có nghiệm thì Δ≥0⇔20−4m≥0⇔−4m≥−20⇔m≤5

b) Theo định lí Vi-ét ta có :S=x1+x2=−4P=x1.x2=m−1

có : x12+x22−3x1x2=4⇔S2−2P−3P=4⇔S2−5P−4=0⇔16−5m+5=4⇔m=−175

Vậy m=−175 là giá trị cần tìm.

a) x2+m−1.x−m=0

Ta có: Δ=b2−4ac=m−12−4.1−m=m2+2m+1=m+12≥0, với mọi só thực m

Vậy phương trình trên luôn có nghiệm với mọi số thực m

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=1−mx1.x2=−m thế vào biểu thức: x12.x2+x1x22=6⇔x1.x2x1+x2=6 ta được:

−m1−m=6⇔m2−m−6=0⇔m=3m=−2

Vậy m∈−2;3thỏa mãn yêu cầu bài toán