Chuyên đề 7: Phương trình (có đáp án)

a) Ta có $\Delta ={(4m+1)}^2-\mathrm{4.1.}(2m-8)=16m^2+33>0$ với mọi giá trị của m.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m.

b) Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ với mọi tham số m nên theo định lí Vi-et:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=-4m-1\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=2m-8\end{array}\right.$ 

Ta có: $\left|x_1-x_2\right|=17\iff {(x_1-x_2)}^2=289\iff x_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2=289\iff {(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2=289$

Vậy $m=\pm 4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương trình trở thành  $6t^2+t-12=0\iff \left[\begin{array}{l}{t}_1=\frac{4}{3}\\ t_1=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Với $t=\frac{4}{3}$ ta được $\frac{x^2}{x+1}=\frac{4}{3}\iff 3x^2-4x-4=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Với $t=-\frac{3}{2}$ ta được $\frac{x^2}{x+1}=-\frac{3}{2}\iff 2x^2+3x+3=0$ (vô nghiệm).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S=\left\{2;\frac{-2}{3}\right\}.$

Phương trình $x^2-(2m+5)x+2m+1=0$ (1) với xlà ẩn, m là tham số.

a) Khi $m=\frac{-1}{2}$, phương trình trên trở thành $x^2-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}\right.$.

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta ={(2m+5)}^2-4(2m+1)>0$

$\iff 4m^2+12m+21>0\iff {(2m+3)}^2+12>0$. Bất đẳng thức sau cùng luôn đúng với mọi giá trị của m. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để $P=|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|$ có nghĩa thì x₁ và x₂  phải dương $\iff \left\{\begin{array}{l}2m+5\ge 0\\ 2m+1\ge 0\end{array}\right.\iff m\ge -\frac{1}{2}$.

Khi đó theo định lý Vi-et ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+5\\ x_1{x}_2=2m+1\end{array}\right.$( với x₁ và x₂ là hai nghiệm của (1)).

Do đó $P^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1{x}_2}=2m+5-2\sqrt{2m+1}$

 $={\left(\sqrt{2m+1}-1\right)}^2+3\ge 3\Rightarrow P\ge \sqrt{3}$.  

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{3}$ khi $\sqrt{2m+1}=1\iff m=0.$

a) Thay m=-1 vào phương trình (1) ta được: $x^2+2x-3=0$

Vì $a+b+c=1+2-3=0$ nên phương trình có hai nghiệm x₁ =1và $x_2=\frac{c}{a}=-3$.

b) $\Delta ={\left(m-1\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-m^2+m-1\right)=5m^2-6m+5=5\left[{\left(m-\frac{3}{5}\right)}^2+\frac{16}{25}\right]>0$, với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

Theo định lí Vi – ét: $x_1+x_2=m-1$ và $x_1{x}_2=-m^2+m-1=-\left[{\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\right]<0$, với mọi .

Theo đề:  $\left|x_2\right|-\left|x_1\right|=2$ và $x_2>x_1$ suy ra:

${\left(\left|x_2\right|-\left|x_1\right|\right)}^2=4\iff x_1^2+x_2^2-2\left|x_1{x}_2\right|=4\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2+2x_1{x}_2=4\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2=4\iff {\left(m-1\right)}^2=4$.

Vậy m=-1, m=3 là giá trị cần tìm.

Phương trình: $2x^2+3x-1=0$. Ta thấy a,c trái dấu nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{3}{2}\\ x_1{x}_2=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$P=2\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)=2\left(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1{x}_2}\right)=2\left(\frac{x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2}{x_1{x}_2}\right)=\frac{2{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}{x_1{x}_2}$

 $=\frac{2.{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2-4.\left(-\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{2}+2}{-\frac{1}{2}}=-2\left(\frac{9}{2}+2\right)=-13$

1) Với m=2 PT trở thành $x^2-4x+3=0$

Giải phương trình tìm được các nghiệm x=1 ;x=3

Dễ thấy x=0 không là nghiệm của phương trình nên

 $PT\iff \left(x+\frac{1}{x}-1\right)\left(x+\frac{1}{x}+4\right)=6.$

Đặt $t=x+\frac{1}{x}$ ta được $\left(t-1\right)\left(t+4\right)=6\iff t^2+3t-10=0\iff \left[\begin{array}{l}t=2\\ t=-5\end{array}\right..$ 

Với $t=2\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\iff x^2-2x+1=0\iff x=1.$ 

Với $t=-5\Rightarrow x+\frac{1}{x}=-5\iff x^2+5x+1=0\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{-5-\sqrt{21}}{2}\\ x=\frac{-5+\sqrt{21}}{2}\end{array}\right..$ 

a) Thay m=2 vào ta có phương trình:  $x^2-2x-5=0$

${\Delta }^{\text{'}}={\left(-1\right)}^2-1.\left(-5\right)=6>0$ 

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $\left[\begin{array}{c}{x}_1=\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}\\ x_2=\frac{-b^{\text{'}}-\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}{x}_1=1+\sqrt{6}\\ x_2=1-\sqrt{6}\end{array}\right..$

c) Với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1{x}_2=-\left(2m+1\right)\end{array}\right..$

Yêu cầu bài toán tương đương: $x_1=-x_2\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=0\\ x_1{x}_2<0\end{array}\right.$ 

  $\iff \left\{\begin{array}{c}2\left(m-1\right)=0\\ -\left(2m+1\right)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m=1\\ m>-\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff m=1.$ 

Vậy với m=1 thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

Cho phương trình $x^2-10mx+9m=0$ (1) ( với m là tham số).

a. Khi m=1 thì phương trình (1) trở thành: $x^2-10x+9=0$

Vì $\text{a}+\text{b}+\text{c}=1+\left(-10\right)+9=0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_1=1$, $x_2=9$.

a. Với m=2 thay vào phương trình (1) ta được: $2x^2-4x+2=0\iff 2{(x-1)}^2=0\iff x=1.$

Vậy với m=2 thì phương trình (1) có nghiệm là x=1 

b.Phương trình (1) có hai nghiệm $x_1,x_2\iff \Delta \ge 0\iff m^2-4\le 0\iff -2\le m\le 2.$ 

 Theo Vi – et ta có:$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ x_1.x_2=\frac{m^2-2}{2}\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có: $A=\left|2x_1{x}_2-x_1-x_2-4\right|=\left|m^2-m-6\right|=\left|(m-3)(m+2)\right|$ Do $-2\le m\le 2$ nên $m+2\ge 0$, $m-3\le 0.$ Suy ra    $A=(m+2)(-m+3)=-m^2+m+6=-{(m-\frac{1}{2})}^2+\frac{25}{4}\le \frac{25}{4}.$

Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{25}{4}$ khi $m=\frac{1}{2}$ .

Do $\Delta >0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=3;x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=1$

Cho phương trình: $m{x}^2+x-2=0$ (1), với m là tham số

a.Giải phương trình (1) khi m=0.

 Khi m=0, ta có phương trình: $x-2=0\iff x=2$

Giải phương trình (1) khi m=1.

Khi m=1, ta có phương trình: $x-2=0$

Ta thấy: a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=1$; $x_2=-2$.

a) Giải phương trình

$\begin{array}{l}2x^2-9x+10=0\left(1\right)\\ \Delta ={\left(-9\right)}^2-\mathrm{4.2.10}=1\end{array}$

Vì $\Delta >0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$\begin{array}{l}{x}_1=\frac{9+1}{4}=\frac{5}{2}\\ x_2=\frac{9-1}{4}=2\end{array}$ 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{2;\frac{5}{2}\right\}$.

 ${\left(x-1\right)}^4-8{\left(x-1\right)}^2-9=0\left(1\right)$

Đặt  ${\left(x-1\right)}^2=t^2 \left(t\ge 0\right)$.

Khi đó phương trình (1) trở thành:

$\begin{array}{l}{t}^2-8t-9=0\left(2\right)\\ \Delta ={\left(-8\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-9\right)=100\end{array}$

Vì $\Delta >0$ nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

$t_1=\frac{8+\sqrt{100}}{2}=9$(thoả mãn)

$t_2=\frac{8-\sqrt{100}}{2}=-1$ (không thoả mãn)

                        Với t=9 ta có:

$\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2=9\\ \iff \left[\begin{array}{l}x-1=3\\ x-1=-3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-2\end{array}\right.\end{array}$ 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S={-2;4}.

Vì $\Delta >0\forall m\in \mathbb{Z}$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1).

Theo hệ thức Viet ta có:  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m+4\\ x_1.x_2=-2m^2+5m+3\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có: $x_1.x_2=-30$

Với m=-3 ta có: $x_1+x_2=m+4=-3+4=1$

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 1.

Phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ $\iff {\Delta }^{\text{'}}\ge 0$.

$\iff {\left(m+2\right)}^2-\left(6m+2\right)\ge 0\iff m^2-2m+2\ge 0\iff {\left(m-1\right)}^2+1\ge 0$(luôn đúng với mọi ).

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+2\right)\left(1\right)\\ x_1{x}_2=6m+2\left(2\right)\end{array}\right.$.

Theo giả thiết, giả sử: $x_1=2x_2\left(3\right)$.

Từ (1) và (3) ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+2\right)\\ x_1=2x_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{4\left(m+2\right)}{3}\\ x_2=\frac{2\left(m+2\right)}{3}\end{array}\right.\left(4\right)$.

Thay (4) vào (2) ta được:

$\frac{4\left(m+2\right)}{3}.\frac{2\left(m+2\right)}{3}=6m+2\iff 4m^2-11m+7=0\iff \left(4m-7\right)\left(m-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=\frac{7}{4}\end{array}\right.$

a) Khi m=2, phương trình trở thành: $x^2-6x+9=0\iff {\left(x-3\right)}^2=0\iff x=3$

Vậy khi m=2 thì phương trình có một nghiệm x=3.

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff 2m-4>0\iff m>2$

Với m>2, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Theo định lý viet: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+1\right)\\ x_1{x}_2=m^2+5\end{array}\right.$

Ta có

$\begin{array}{l}2x_1{x}_2-5\left(x_1+x_2\right)+8=0\iff 2\left(m^2+5\right)-5.2\left(m+1\right)+8=0\\ \iff 2m^2+10-10m-2=0\iff 2m^2-10m+8=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=4\end{array}\right.\end{array}$

Vì m>2  nên m=4.

Đặt $t=x^2$; điều kiện $t\ge 0$

                        (*) $\Rightarrow 16t^2-8t+1=0; \left(a=16;b=-8;c=1\right)$ ; 

$\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac={(-4)}^2-16.1=0$ 

$\Rightarrow$phương trình có nghiệm kép:

$t_1=t_2=\frac{-b\text{'}}{a}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$ 

$t=\frac{1}{4}\iff x^2=\pm \frac{1}{2}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right\}$

PT đã cho: $x^2-mx+m-1=0$ (có ẩn số x).

a/ $\Delta ={\left(-m\right)}^2-4.1\left(m-1\right)=m^2-4m+4={\left(m-2\right)}^2\ge 0$ với mọi m vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm x₁; x₂ với mọi m.

$x^4-2x^2-3=0$

Đặt $t=x^2(t\ge 0)$ thì phương trình đã cho trở thành: $t^2-2t-3=0$

Phương trình bậc hai có $a-b+c=1+2-3=0$ nên có nghiệm

t=-1 (loại) hoặc t=3.

với $t=3\Rightarrow x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$ 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S=\text{{}\pm \sqrt{3}\}$

Xét phương trình $x^2+(2m-1)x+m^2-1=0$ có$\Delta ={(2m-1)}^2-\mathrm{4.1.}(m^2-1)=-4m+5$ 

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta >0\Rightarrow -4m+5>0\iff m<\frac{5}{4}$

Khi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, theo hệ thức Vi-et ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1-2m\\ x_1.x_2=m^2-1\end{array}\right.$

Khi đó: $x_1^2+x_2^2={(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2={(1-2m)}^2-2(m^2-1)=2m^2-4m+3=2{(m-1)}^2+1\ge 1$

Vậy $x_1^2+x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi m = 1 (thỏa điều kiện  $m<\frac{5}{4}$)

Vậy giá trị m cần tìm là 1