Chuyên đề 2: Căn bậc hai có đáp án

Ta có $B=\left(\frac{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+3}{1-\sqrt{x}}\right).\frac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}$

$=\left(\frac{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\right).\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(2\sqrt{x}-1)}$

$=\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-1}=\frac{2\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}-1}$

.

 Vì $2\sqrt{x}+3>0\forall x$ nên để $B<0\iff 2\sqrt{x}-1<0$$\iff 0\le x<\frac{1}{4}$.       

a) Với $x\ge 0$; $x\ne 1$ ta có:

$P=\frac{3x+5\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}$$=\frac{3x+5\sqrt{x}-4-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-{\left(\sqrt{x}+3\right)}^2}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$

$=\frac{3x+5\sqrt{x}-4-\left(x-1\right)-\left(x+6\sqrt{x}+9\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$$=\frac{x-\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{x-4\sqrt{x}+3\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+3\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}$

b) $P=\frac{1}{2}$$\iff \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}=\frac{1}{2}$$\iff 2\sqrt{x}-8=\sqrt{x}-1$$\iff \sqrt{x}=7$$\iff x=49$(thỏa điều kiện)

Vậy khi x= 49 thì P=$\frac{1}{2}$

* Với $x\ge 0$, $x\ne 9$, ta có:

$B=\left(\frac{x(\sqrt{x}-3)-(x+1)(\sqrt{x}+3)+6x+\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-3-(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3}\right)$

$=\left(\frac{x\sqrt{x}-3x-x\sqrt{x}-3x-\sqrt{x}-3+6x+\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}\right):\left(\frac{-6}{\sqrt{x}+3}\right)$

$=\frac{-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}\cdot \frac{\sqrt{x}+3}{-6}=\frac{1}{2(\sqrt{x}+3)}$

*Tính giá trị của biểu thức B khi $x=12+6\sqrt{3}$:

Ta có: $x=12+6\sqrt{3}=3^2+\mathrm{2.3.}\sqrt{3}+{\sqrt{3}}^2={\left(3+\sqrt{3}\right)}^2$(thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức  ta được:

$B=\frac{1}{2\left(\sqrt{{(3+\sqrt{3})}^2}-3\right)}=\frac{1}{2\left(3+\sqrt{3}-3\right)}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Tính: $\sqrt{18}-2\sqrt{2}+\frac{5}{\sqrt{2}}$$=\sqrt{9.2}-2\sqrt{2}+\frac{5\sqrt{2}}{2}$

$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\frac{5\sqrt{2}}{2}$  $=\left(3-2+\frac{5}{2}\right).\sqrt{2}$$=\frac{7\sqrt{2}}{2}.$

Vậy  $\sqrt{18}-2\sqrt{2}+\frac{5}{\sqrt{2}}$$=\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

a) Khi x=9: ta được $A=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{9}-2}=3$.

a)               Điều kiện :  $x\ge 0$ , $x\ne 4$ 

$T=A-B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\left(\frac{2}{\sqrt{x}+2}+\frac{4\sqrt{x}}{x-4}\right)=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)-2.\left(\sqrt{x}-2\right)-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$=\frac{x+2\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{x-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{{\left(\sqrt{x}-2\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)}$

c)$T=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2-4}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{4}{\sqrt{x}+2}$.

T nguyên khi 4: $(\sqrt{x}+2)$

$\iff \sqrt{x}+2=\left\{\pm 1;\pm 2;\pm 4\right\}$

$\Rightarrow \sqrt{x}+2=1$ (loại) hoặc $\sqrt{x}+2=-1$ (loại) hoặc $\sqrt{x}+2=2$  hoặc $\sqrt{x}+2=-2$ (loại) hoặc $\sqrt{x}+2=4$ hoặc $\sqrt{x}+2=-4$(loại)

$\Rightarrow x=0$ hoặc x=4(loại).

Vậy x=0.

1.  $A=\sqrt{16}-\sqrt{9}$$=4-3=1.$

$B=\frac{1}{2-\sqrt{3}}+\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})\left(2-\sqrt{3}\right)}=\frac{4}{4-3}=4.$

 a) Rút gọn biểu thức V với x>0; $x\ne 0.$

$\begin{array}{l}V=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\\ V=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}+\frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}\right)\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\\ V=\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\\ V=\frac{2}{\sqrt{x}-2}.\end{array}$

Tìm y để A=-2.

$A=-2\iff \frac{4y}{\sqrt{y}-3}=-2$

$\iff 4y=-2\left(\sqrt{y}-3\right)$

$\iff 4y+2\sqrt{y}-6=0$

           Đặt $\sqrt{y}=t>0$ ta có phương trình:

          $4t^2+2t-6=0$

           Ta có: $a+b+c=0$ nên phương trình có hai nghiệm:

$t_1=1$(thỏa mãn đk)

$t_2=-6$ (không thỏa mãn điều kiện)

           Với t=1, ta có: y=1 (thỏa mãn đk)

           Vậy: $A=-2\iff y=1$

$P=\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right).\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2}{x-1}\right)$

$\begin{array}{l}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{\sqrt{x}-1+\sqrt{x}+1-2}{x-1}\\ =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{2}{\sqrt{x}}\end{array}$

 Để P>1 thì:

   $\frac{2}{\sqrt{x}}>1\iff \frac{2}{\sqrt{x}}-1>0\iff \frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}>0$

           Với x>0, $x\ne 1$ ta có: $\sqrt{x}>0$ thì $2-\sqrt{x}>0\iff x<4$

           Kết hợp với điều kiện x>0, $x\ne 1$ta được $0<x<4$, $x\ne 1$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

A có nghĩa khi và chỉ khi $x-1\ge 0\iff x\ge 1$

Vậy $x\ge 1$ thì A có nghĩa.

 $B=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\right)$

 $B=\frac{\sqrt{x}-1+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

 $B=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

$B=\frac{2}{\sqrt{x}+1}.$

$B\ge \frac{1}{2}$$\iff \frac{2}{\sqrt{x}+1}\ge \frac{1}{2}$$\iff \sqrt{x}+1\le 4\iff \sqrt{x}\le 3\Rightarrow x\le 9.$

Vì $x\in \mathbb{N},$ $x>1$,$\Rightarrow x\in \left\{2;3;4;5;6;7;8;9\right\}.$

Thay x=9 (tmđk) vào A $\Rightarrow A=\frac{-5}{2}$

                 Với $x\ge 0$;  $x\ne 25$

$B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}$

    $=\frac{3(\sqrt{x}-5)+20-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}+5)}=\frac{\sqrt{x}+5}{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)}$

     $=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$

Với $x\ge 0,x\ne 25$

$\begin{array}{l}A=B.\left|x-4\right|\\ \mathrm{....}\iff \sqrt{x}+2=\left|x-4\right|\end{array}$

TH1

$\begin{array}{l}\sqrt{x}+2=x-4\iff x-\sqrt{x}-6=0\\ \iff \mathrm{....}\iff \left[\begin{array}{c}\sqrt{x}=3(t/m)\\ \sqrt{x}=-2\left(loai\right)\end{array}\right.\end{array}$

$\Rightarrow x=9$

TH2

$\begin{array}{l}\sqrt{x}+2=4-x\iff x+\sqrt{x}-2=0\\ \iff \mathrm{....}\iff \left[\begin{array}{c}\sqrt{x}=1(t/m)\\ \sqrt{x}=-2\left(loai\right)\end{array}\right.\end{array}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow x=1 \\ Vậy: x=1 và x=9 thì A=B.\left|x-4\right| \end{gathered}$$

a) $A=3.2\sqrt{2}-2.3\sqrt{2}+4.6\sqrt{2}=24\sqrt{2}$(bấm máy 0.25)

Để giá trị biểu thức A bằng hai lần giá trị biểu thức B thì $1=2.\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow \sqrt{x}=2$$\iff x=4$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy x=4 thì giá trị biểu thức A bằng hai lần giá trị biểu thức B.

Để giá trị biểu thức A bằng hai lần giá trị biểu thức B thì $1=2.\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow \sqrt{x}=2$ $\iff x=4$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x=4$ thì giá trị biểu thức A bằng hai lần giá trị biểu thức B.

a) Rút gọn biểu thức A.

$\begin{array}{c}A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{x}-x}\\ =\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{x}{\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)}\\ =\frac{1-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{x}\right)}+\frac{\sqrt{x}\left(1+\sqrt{x}\right)}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\frac{1-\sqrt{x}+\sqrt{x}+x}{1-x}\\ =\frac{1+x}{1-x}\end{array}$

Vậy với x>0, P=0 không phụ thuộc giá trị của x.