Câu hỏi và bài tập chương 3

Chọn $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (2; −1; 3).

Phương trình của (P) là: 2(x – 1) – (y + 3) + 3(z – 2) = 0 hay 2x – y + 3z – 11 = 0.

Chọn $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}=\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}$ = (1; 0; −1)

Phương trình của (P) là: (x – 1) – (z – 2) = 0 hay x – z + 1 = 0.

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ (−1; 4; −1); $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ (1; 4; −3)

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 

= (−8; −4; −8)

Suy ra có thể chọn $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (2; 1; 2)

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0.

Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$(−1; 4; −1)

Đường thẳng d’ đi qua N(-1; -3; 2) có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ (1; 4; −3)

Suy ra: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$$\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (−8; −4; −8) $\ne$ $\overrightarrow{0}$

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ (1; −4; 1) nên $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$.($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) = 0 do đó hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.

Khi đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) và có $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (2; 1; 2)

Phương trình của (P) là : 2(x + 2) + (y – 1) + 2(z – 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0.

Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (−1; 4; −1)

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ (1; −2; 0), chọn $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$  = $\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (2; 1; 2)

Phương trình của (P) là: 2(x + 2) + (y – 1) + 2(z – 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0

Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (−1; 4; −1)

Đường thẳng d1 đi qua N(1; 1; 1) có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ (1; 4; −3)

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ (3; 0; 0); $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (−8; −4; −8) nên $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ ($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) $\ne$ 0, suy ra d và ${\mathrm{d}}_1$ chéo nhau. Do đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) có vecto pháp tuyến bằng $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$

Phương trình của (P) là: –8(x + 2) – 4(y – 1) – 8(z – 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0

Ta có: M(x, y, z) $\in$ (P)

⇔ d(M, (${\mathrm{P}}_1$)) = d(M, (${\mathrm{P}}_2$))

⇔|2x + y + 2z + 1| = |2x + y + 2z + 5|

⇔ 2x + y + 2z + 1 = – (2x + y + 2z + 5)

⇔ 2x + y + 2z + 3 = 0

Từ đó suy ra phương trình của (P) là: 2x + y + 2z + 3 = 0.

Ta có: M(x, y, z) $\in$ (P) ⇔ d(M, (${\mathrm{P}}_1$)) = d(M, (${\mathrm{P}}_2$))

⇔ 2|2x + y + 2z + 1| = |4x − 2y − 4z + 7|

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng phải tìm là: 4y + 8z – 5 = 0 hoặc 8x + 9 = 0

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (0; −2; 1). Đường thẳng d1 đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ (1; 0; −1).

Do d và ${\mathrm{d}}_1$ chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, ${\mathrm{d}}_1$ và song song với d và ${\mathrm{d}}_1$.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2; -11 – t’) thuộc ${\mathrm{d}}_1$. Khi đó: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = (−8 + t′; −2 + 2t; −18 – t − t′)

Ta có: 

Suy ra A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = (−12; −6; −12). Chọn $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (2; 1; 2)

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0.

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và ${\mathrm{d}}_1$ là:

 = (2; 1; 2)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó:

 $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}\wedge \left(\overrightarrow{\mathrm{a}}\wedge \overrightarrow{\mathrm{b}}\right)$

Phương trình của (Q) là : –5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0 hay –5x + 2y + 4z + 2 = 0

Để tìm ${\mathrm{d}}_1\cap$ (Q) ta thế phương trình của ${\mathrm{d}}_1$ vào phương trình của (Q). Ta có:

–5(–2 + t′) + 2(–2) + 4(–11 – t′) + 2 = 0

⇒ t′ = 4

⇒ ${\mathrm{d}}_1\cap$ (Q) = B(−6; −2; −7)

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa ${\mathrm{d}}_1$ và đường vuông góc chung AB. Khi đó: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{R}}}$ = (−1; 4; −1)

Phương trình của (R) là –x + 4y – z – 5 = 0.

Suy ra d $\cap$ (R) = A(6; 4; 5).

Chọn:

$\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}=\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}\wedge \overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{R}}}$

Phương trình của (P) là:

7(x – 1) + 5(y + 3) – 3(z – 2) = 0

Hay 7x + 5y – 3z + 14 = 0

Đường thẳng d đi qua ${\mathrm{M}}_0$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{\mathrm{M}}_0{\mathrm{M}}_1}$

Do đó phương trình tham số của d là:

Đường thẳng d đi qua ${\mathrm{M}}_0$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ (A; B; C)

Do đó phương trình tham số của d là:

Do (P) và (Q) cắt nhau nên $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}\wedge \overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}\ne \overrightarrow{0}$. Đường thẳng d đi qua ${\mathrm{M}}_0$ và có vecto chỉ phương

Do đó phương trình tham số của d là:

Đặc biệt phương trình trên cũng là phương trình đường thẳng là giao của hai mặt phẳng cắt nhau (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 với ${\mathrm{M}}_0$ là điểm chung của (P) và (Q).

Đường thẳng d đi qua A(1; 1; 9) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ (1; 1; 0). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}\wedge \overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}$ = (−2; 2; 1)

Phương trình của (Q) là : -2x + 2y + z – 9 = 0

Khi đó: d′ = (P) $\cap$ (Q)

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}}\wedge \overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}$ = (6; 3; 6)

Chọn vecto chỉ phương của d’ là: $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{a}\text{'}}}$ = (2; 1; 2)

Lấy một điểm thuộc (P) $\cap$ (Q), chẳng hạn A(-3; 1; 1)

Khi đó, phương trình của d’ là: 

Ta có: $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}}$ = (2; −1; 4)

Xét điểm B(–3 + 2t; 1 – t; –1 + 4t) thì $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = (1 + 2t; 3 − t; −5 + 4t)

AB $\perp$ d ⇔ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.$\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}}$ = 0

⇔ 2(1 + 2t) − (3 − t) + 4(−5 + 4t) = 0 ⇔ t = 1

Suy ra $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = (3; 2; −1)

Vậy phương trình của $∆$ là 

Do đó I(1; 3; 4)

Phương trình mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) qua I và vuông góc với OA là: x – 1 = 0, ($\mathrm{\alpha }$) cắt OA tại K(1; 0; 0)

Khoảng cách từ I đến OA là:

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau: ${\mathrm{B}}_1$ là gốc tọa độ, $\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{A}}_1}=\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}=\overrightarrow{j}$,  $\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1\mathrm{B}}=\overrightarrow{k}$. Trong hệ trục vừa chọn, ta có ${\mathrm{B}}_1$(0; 0; 0), B(0; 0; 1), ${\mathrm{A}}_1$(1; 0; 0), ${\mathrm{D}}_1$(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), ${\mathrm{C}}_1$(0; 1; 0).

Suy ra M(0; 0; 1/2), P(1; 1/2; 0), N(1/2; 1; 1)

Ta có $\overrightarrow{\mathrm{MP}}$ = (1; 1/2; −1/2); $\overrightarrow{{\mathrm{C}}_1\mathrm{N}}$ = (1/2; 0; 1)

Gọi ($\mathrm{\alpha }$) là mặt phẳng chứa ${\mathrm{C}}_1\mathrm{N}$ và song song với MP. ($\mathrm{\alpha }$) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = (1/2; −5/4; −14) hay $\overrightarrow{\mathrm{n}\text{'}}$ = (2; −5; −1)

Phương trình của ($\mathrm{\alpha }$) là 2x – 5(y – 1) – z = 0 hay 2x – 5y – z + 5 = 0

Ta có:

d(MP, ${\mathrm{C}}_1$N) = d(M,($\mathrm{\alpha }$)) 

Ta có:

Vậy $\angle$(MP,${\mathrm{C}}_1$N) = 90$°$.