Câu hỏi và bài tập chương 3
17 câu hỏi
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với đường thẳng d: x-32=y+1-1=z3
Chọn nP→ = (2; −1; 3).
Phương trình của (P) là: 2(x – 1) – (y + 3) + 3(z – 2) = 0 hay 2x – y + 3z – 11 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và song song với mặt phẳng (Q): x – z = 0.
Chọn nP→=nQ→ = (1; 0; −1)
Phương trình của (P) là: (x – 1) – (z – 2) = 0 hay x – z + 1 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(-1; -3; 2), B(-2; 1; 1) và C(0; 1; -1).
Ta có: AB→ (−1; 4; −1); AC→ (1; 4; −3)
⇒ AB→ ∧ AC→
= (−8; −4; −8)
Suy ra có thể chọn nP→ = (2; 1; 2)
Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng: d: x=-2-ty=1+4tz=1-t và d': x=-1+t'y=-3+4t'z=2-3t'
Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương là a→(−1; 4; −1)
Đường thẳng d’ đi qua N(-1; -3; 2) có vecto chỉ phương là b→ (1; 4; −3)
Suy ra: a→∧ b→ = (−8; −4; −8) ≠ 0→
Ta có: MN→ (1; −4; 1) nên MN→.(a→ ∧ b→) = 0 do đó hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.
Khi đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) và có nP→ = (2; 1; 2)
Phương trình của (P) là : 2(x + 2) + (y – 1) + 2(z – 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(-1; -1; 1) và chứa đường thẳng: d: x+2-1=y-14=z-1-1
Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương a→ (−1; 4; −1)
Ta có: MI→ (1; −2; 0), chọn nP→ = MI→ ∧ a→ = (2; 1; 2)
Phương trình của (P) là: 2(x + 2) + (y – 1) + 2(z – 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: x=-2-ty=1+4tz=1-t và song song với d1 x-11=y-14=z-1-3
Đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 1) có vecto chỉ phương là a→ (−1; 4; −1)
Đường thẳng d1 đi qua N(1; 1; 1) có vecto chỉ phương là b→ (1; 4; −3)
Ta có: MN→ (3; 0; 0); a→ ∧ b→ = (−8; −4; −8) nên MN→ (a→ ∧ b→) ≠ 0, suy ra d và d1 chéo nhau. Do đó (P) là mặt phẳng đi qua M(-2; 1; 1) có vecto pháp tuyến bằng a→ ∧ b→
Phương trình của (P) là: –8(x + 2) – 4(y – 1) – 8(z – 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0
Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng
(P1): 2x + y + 2z + 1 = 0 và (P2): 2x + y + 2z + 5 = 0.
Ta có: M(x, y, z) ∈ (P)
⇔ d(M, (P1)) = d(M, (P2))
⇔|2x + y + 2z + 1| = |2x + y + 2z + 5|
⇔ 2x + y + 2z + 1 = – (2x + y + 2z + 5)
⇔ 2x + y + 2z + 3 = 0
Từ đó suy ra phương trình của (P) là: 2x + y + 2z + 3 = 0.
Cho hai mặt phẳng:
(P1): 2x + y + 2z + 1 = 0 và (P2): 4x – 2y – 4z + 7 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng sao cho khoảng cách từ mỗi điểm của nó đến (P1) và (P2) là bằng nhau.
Ta có: M(x, y, z) ∈ (P) ⇔ d(M, (P1)) = d(M, (P2))
⇔ 2|2x + y + 2z + 1| = |4x − 2y − 4z + 7|
Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng phải tìm là: 4y + 8z – 5 = 0 hoặc 8x + 9 = 0
Cho hai đường thẳng:
d: x=6y=-2tz=7+t và d1: x=-2+t'y=-2z=-11-t'
Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d1 đến (P) là bằng nhau.
Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương a→ (0; −2; 1). Đường thẳng d1 đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương b→ (1; 0; −1).
Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.
Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:
Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2; -11 – t’) thuộc d1. Khi đó: AB→ = (−8 + t′; −2 + 2t; −18 – t − t′)
Ta có: 
Suy ra A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)
Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)
Ta có: AB→ = (−12; −6; −12). Chọn nP→ = (2; 1; 2)
Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0 hay 2x + y + 2z + 1 = 0.
Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:
Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d1 là:
= (2; 1; 2)
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.
Khi đó:
nQ→=a→∧a→∧b→
Phương trình của (Q) là : –5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0 hay –5x + 2y + 4z + 2 = 0
Để tìm d1∩ (Q) ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:
–5(–2 + t′) + 2(–2) + 4(–11 – t′) + 2 = 0
⇒ t′ = 4
⇒ d1∩ (Q) = B(−6; −2; −7)
Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa d1 và đường vuông góc chung AB. Khi đó: nR→ = (−1; 4; −1)
Phương trình của (R) là –x + 4y – z – 5 = 0.
Suy ra d ∩ (R) = A(6; 4; 5).
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x – y + 3z + 1 = 0 và (R): x – 2y – z + 8 = 0
Chọn:
nP→=nQ→∧nR→
Phương trình của (P) là:
7(x – 1) + 5(y + 3) – 3(z – 2) = 0
Hay 7x + 5y – 3z + 14 = 0
Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt M0x0,y0,z0 và M1x1,y1,z1
Đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương M0M1→
Do đó phương trình tham số của d là:
Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0x0,y0,z0 và vuông góc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
Đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương nP→ (A; B; C)
Do đó phương trình tham số của d là:
Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0x0,y0,z0 và song song với hai mặt phẳng cắt nhau
(P) Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
Do (P) và (Q) cắt nhau nên nP→∧nQ→≠0→. Đường thẳng d đi qua M0 và có vecto chỉ phương
Do đó phương trình tham số của d là:
Đặc biệt phương trình trên cũng là phương trình đường thẳng là giao của hai mặt phẳng cắt nhau (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 với M0 là điểm chung của (P) và (Q).
Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0
và đường thẳng d: x=1+ty=1+tz=9
Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).
Đường thẳng d đi qua A(1; 1; 9) và có vecto chỉ phương a→ (1; 1; 0). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).
Ta có: nQ→=a→∧nP→ = (−2; 2; 1)
Phương trình của (Q) là : -2x + 2y + z – 9 = 0
Khi đó: d′ = (P) ∩ (Q)
Ta có: nP→∧nQ→ = (6; 3; 6)
Chọn vecto chỉ phương của d’ là: na'→ = (2; 1; 2)
Lấy một điểm thuộc (P) ∩ (Q), chẳng hạn A(-3; 1; 1)
Khi đó, phương trình của d’ là: 
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: x=-3+2ty=1-tz=-1+4t
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Ta có: ad→ = (2; −1; 4)
Xét điểm B(–3 + 2t; 1 – t; –1 + 4t) thì AB→ = (1 + 2t; 3 − t; −5 + 4t)
AB ⊥ d ⇔ AB→.ad→ = 0
⇔ 2(1 + 2t) − (3 − t) + 4(−5 + 4t) = 0 ⇔ t = 1
Suy ra AB→ = (3; 2; −1)
Vậy phương trình của ∆ là 
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho AC→ = (0; 6; 0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Do đó I(1; 3; 4)
Phương trình mặt phẳng (α) qua I và vuông góc với OA là: x – 1 = 0, (α) cắt OA tại K(1; 0; 0)
Khoảng cách từ I đến OA là:
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD. A1D1. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.
Ta chọn hệ trục tọa độ như sau: B1 là gốc tọa độ, B1A1→=i→,B1C1→=j→, B1B→=k→. Trong hệ trục vừa chọn, ta có B1(0; 0; 0), B(0; 0; 1), A1(1; 0; 0), D1(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), C1(0; 1; 0).
Suy ra M(0; 0; 1/2), P(1; 1/2; 0), N(1/2; 1; 1)
Ta có MP→ = (1; 1/2; −1/2); C1N→ = (1/2; 0; 1)
Gọi (α) là mặt phẳng chứa C1N và song song với MP. (α) có vecto pháp tuyến là n→ = (1/2; −5/4; −14) hay n'→ = (2; −5; −1)
Phương trình của (α) là 2x – 5(y – 1) – z = 0 hay 2x – 5y – z + 5 = 0
Ta có:
d(MP, C1N) = d(M,(α)) 
Ta có:
Vậy ∠(MP,C1N) = 90°.
