Bộ 5 đề thi giữa kì Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Các mệnh đề là: (1): Số 3 là một số chẵn và (4): \(1 < 5 \Rightarrow 8 < 6\). Chọn C.

Mệnh đề: "∀x∈ℕ,x2>x" có mệnh đề phủ định là: "∃x∈ℕ,x2≤x". Chọn A.

Ta có: \(3{x^2} - 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.\).

Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 1\) thỏa mãn \( \Rightarrow X = \left\{ 1 \right\}\). Chọn B.

\(A\backslash B = \left\{ {0\,;1\,} \right\}\); \(B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}\).

\( \Rightarrow \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right) = \left\{ {0\,;1\,;5\,;6} \right\}\). Chọn B.

Lần lượt thay các cặp số vào bất phương trình đã cho, ta thấy:

- Vì \(\left( { - 2} \right) + 2 \cdot 1 = 0 < 3\) nên cặp số \(\left( { - 2\,;1} \right)\) không phải là một nghiệm của bất phương trình.

- Vì \(1 + 2 \cdot 2 = 5 > 3\) nên cặp số \(\left( {1\,;2} \right)\) là một nghiệm của bất phương trình.

- Vì \(1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) =  - 3 < 3\) nên cặp số \(\left( {1\,; - 2} \right)\) không phải là một nghiệm của bất phương trình.

- Vì \(2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 0 < 3\) nên cặp số \(\left( {2\,; - 1} \right)\) không phải là một nghiệm của bất phương trình.

Chọn B.

Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3x + y \le  - 1}\\{4x - 7y > 5}\end{array}} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn A.

Thay \[x = 1,\,\,y =  - 4\] vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{x + y \le  - 2}\end{array}} \right.\), ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \ge 0}\\{ - 3 \le  - 2}\end{array}} \right.\) (thỏa).

Khi đó điểm \(\left( {1; - 4} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ đã cho. Chọn D.

Ta thấy:

Bảng 1: ứng với mỗi giá trị của \(x\)(năm) có một giá trị của \(y\)(tuổi thọ trung bình). Vậy Bảng 1 biểu thị hàm số.

Bảng 2: ứng với giá trị của  \(x = 2022\) có hai giá trị của \(y\) (\(y = 73,3\) và \(y = 73,6\)). Vậy Bảng 2 không biểu thị hàm số. Chọn A.

Hoành độ của đỉnh là \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{4}{2} = 2\). Thế \(x = 2\) vào phương trình của \(\left( P \right)\) ta được tung độ của đỉnh là \(y =  - 1\). Vậy tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(I\left( {2; - 1} \right).\) Chọn D.

Gọi phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(y = ax + b\). Hình vẽ cho thấy đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {4;0} \right),\left( {0;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4 \cdot a + b = 0\\0 \cdot a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}\\b = 2.\end{array} \right.\)

Phương trình đường thẳng \(d\) là \(y =  - \frac{1}{2}x + 2\) hay \(x + 2y = 4\).

Thay tọa độ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) vào biểu thức \(x + 2y\) ta thấy \(x + 2y = 0 + 2 \cdot 0 = 0 < 4\) nên miền không gạch chéo (không kể bờ \(d\)) là miền nghiệm của bất phương trình \[x + 2y > 4\]. Chọn D.

Hàm số \(y = {x^2} - 2x\)  có hệ số \(a = 1 > 0\) và \({x_I} = 1\), suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Chọn C.

Ta có \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 12x - 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 13\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu của \(f\left( x \right)\):

Vậy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {13; + \infty } \right)\). Chọn D.

a) Đúng. Số tiền phải trả cho cuộc gọi nội mạng mỗi tháng là \(x\) (nghìn đồng), số tiền phải trả cho cuộc gọi ngoại mạng mỗi tháng là \(2y\) (nghìn đồng) với điều kiện: \(x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}\).

b) Đúng. Ta có bất phương trình: \(x + 2y < 100\,\,\,\left( * \right)\).

c) Đúng. Xét \(x = 50,y = 20\) thay vào \(\left( * \right):50 + 2 \cdot 20 < 100\) (đúng) suy ra \(\left( {50\,;\,20} \right)\) là một nghiệm của \(\left( * \right)\).

d) Sai. Biểu diễn miền nghiệm của \(\left( * \right)\) trên mặt phẳng tọa độ: Vẽ đường thẳng \(x + 2y = 100\).

Ta thấy điểm \(O\left( {0\,;\,0} \right)\) thuộc miền nghiệm của \(\left( * \right)\) do thay tọa độ \(O\) vào \(\left( * \right)\): \(0 < 100\) (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(\left( * \right):x + 2y < 100\)  là nửa mặt phẳng (không kể d) có chứa điểm \(O\) (phần không gạch chéo trên hình).

Trong thực tế, vì \(x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}\) nên ta chỉ xét miền nghiệm bất phương trình ứng với miền tam giác \(OAB\).

a) Đúng. Ta có \(T = 3\,000\,000 + 700\,000\left( {x - 3} \right) = 900\,000 + 700\,000x\) (đồng) với điều kiện \(x \ge 3,x \in \mathbb{N}\).

b) Sai. Theo câu a), ta có điều kiện của \(x\) là \(x \ge 3,x \in \mathbb{N}\).

c) Đúng. Với \(x = 7\) thì \(T = 900\,000 + 700\,000 \cdot 7 = 5\,800\,000\) (đồng).

d) Sai. Xét bất phương trình

\[900\,000 + 700\,000x \le 10\,000\,000 \Leftrightarrow 9 + 7x \le 100 \Leftrightarrow x \le \frac{{91}}{7} = 13.\]

Vậy với khoản tiền 10 triệu đồng, anh Bình có thể thuê một chiếc xe tối đa 13 ngày.

Ta có \(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1 = \left( {{n^2} + n + 4} \right)\left( {2n - 1} \right) + 5\).

\(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1\) chia hết cho \(2n - 1\) \( \Leftrightarrow \)\(5\) chia hết cho \(2n - 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2n - 1 = 1\\2n - 1 =  - 1\\2n - 1 = 5\\2n - 1 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1\\n = 0\\n = 3\\n =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(n\).

Đáp án: \(4\).

Ta có \(X = \left( {X\backslash Y} \right) \cup \left( {X \cap Y} \right) = \left\{ {7;\,15} \right\} \cup \left( { - 1;2} \right)\).

Khi đó, các số nguyên thuộc tập \(X\) là \(0;1;7;15\).

Vậy số phần tử là số nguyên của \(X\) là 4.

Đáp án: 4.

Hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] đạt giá trị lớn nhất bằng \[ - 4\] tại \[x = 2\] và đồ thị hàm số đi qua \[A\left( {0; - 5} \right)\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a \cdot {2^2} + 2b + c =  - 4\\a \cdot 0 + b \cdot 0 + c =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\4a + b = 0\\4a + 2b + c =  - 4\\c =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{4}\\b = 1\\c =  - 5\end{array} \right.\].

Khi đó, ta có \(T = 4a + b - c = 4 \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) + 1 + 5 = 5\).

Đáp án: \(5\).

Để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) thì \(2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1 > 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\), điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{\Delta  < 0}\end{array}} \right.\).

Ta có \(a = 2 > 0\) và \(\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 < 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 7 < 0\).

Tam thức \(4{m^2} - 4m - 7\) có hai nghiệm \(m = \frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2}\) và \(m = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}\) và hệ số của \({m^2}\) bằng 4 lớn hơn 0 nên \(4{m^2} - 4m - 7 < 0\) khi \(\frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2} < m < \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0\,;\,1} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án: 2.

Kí hiệu \(A\) là tập hợp học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob, \(B\) là tập hợp học sinh tham gia tiết mục hát, \(E\) là tập hợp học sinh trong lớp. Ta có thể biểu diễn ba tập hợp đó bằng biểu đồ Ven như hình sau:

Khi đó, \(A \cap B\) là tập hợp học sinh tham gia cả hai tiêt mục. Số phần tử của tập hợp \(A\) là 35 , số phần tử của tập hợp \(A \cap B\) là 10 , số phần tử của tập hợp \(E\) là 45 .

Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục là \(45 - 4 = 41\) (học sinh).

Số học sinh tham gia tiết mục hát mà không tham gia tiết mục nhảy Flashmob là \(41 - 35 = 6\) (học sinh).

Số học sinh tham gia tiết mục hát là \(6 + 10 = 16\) (học sinh).

Gọi \[x\] là số mét vải loại A, \[y\] là số mét vải loại B mà người thợ sản suất.

Theo đề ta suy ra hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 6\\x + 2y \le 8\end{array} \right.\) (1).

Số tiền lợi nhuận là: \[L\left( {x;y} \right) = 0,8x + y\] (triệu đồng).

+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ (1) lên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] là miền tứ giác \[OABC\] (kể cả biên) với \[O\left( {0;0} \right),A\left( {0;4} \right),B\left( {4;2} \right),C\left( {6;0} \right).\]

+ Xét \[L\left( {x;y} \right)\] tại các đỉnh của tứ giác \[OABC\], ta có:

\[L\left( {0;0} \right) = 0\] (triệu đồng)

\[L\left( {0;4} \right) = 4\] (triệu đồng)

\[L\left( {4;2} \right) = 5,2\] (triệu đồng)

\[L\left( {6;0} \right) = 4,8\] (triệu đồng).

+ Ta thấy \[L\] đạt giá trị lớn nhất là \[5,2\] (triệu đồng) tại \[x = 4\] và \[y = 2.\]

Vậy người thợ cần sản xuất 4 mét loại A và 2 mét loại B thì thu lại lợi cao nhất.

Cổng dạng parabol có thể xem là đồ thị của hàm số bậc hai: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) \(\left( P \right)\).

Theo bài ra ta có \(\left( P \right)\) đi qua 3 điểm sau: \(O\left( {0\,;\,0} \right),\,M\left( {1\,;\,3} \right),\,N\left( {4\,;\,0} \right)\).

Suy ra ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b + c = 3\\16a + 4b + c = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a =  - 1\\b = 4\end{array} \right.\).

Vậy parabol \(\left( P \right)\) có phương trình là: \(y =  - {x^2} + 4x\). Parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(D\left( {2\,;\,4} \right)\).

Chiều cao của cổng là tung độ đỉnh của parabol \(\left( P \right)\):\(y =  - {x^2} + 4x\).

Vậy chiều cao của cổng là 4 mét.