Bộ 5 đề thi giữa kì Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2
21 câu hỏi
Cho mệnh đề A:“∃n∈ℕ:3n+1 là số lẻ”, mệnh đề phủ định của mệnh đề A là:
A¯:“∀n∈ℕ: 3n+1 là số lẻ”.
A¯:“∀n∈ℕ: 3n+1 là số chẵn”.
A¯:“∃n∈ℕ: 3n+1 là số lẻ”.
A¯:“∃n∈ℕ: 3n+1 là số chẵn”.
Ta có phủ định của mệnh đề A là A¯=“∀n∈ℕ: 3n+1 là số chẵn”. Chọn B.
Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3} \right\}\) và \(B = \left\{ {1;2} \right\}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(B \subset A.\)
\(A \subset B.\)
\(A = B.\)
\(A \in B.\)
Với \(A = \left\{ {1;2;3} \right\}\) và \(B = \left\{ {1;2} \right\},\) ta có \(B \subset A.\) Chọn A.
Cho \(A = \left[ { - 5;\,\,1} \right]\) và \(B = \left( { - 3;\,\,2} \right)\). Tập hợp \(A \cup B\) chứa bao nhiêu số nguyên âm?
\(7\).
\(6\).
\(4\).
\(5\).
Ta có \(A \cup B = \left[ { - 5;\,2} \right)\), tập hợp này chứa các số nguyên âm là \( - 5\); \( - 4\); \( - 3\); \( - 2\); \( - 1\). Chọn D.
Cho bất phương trình \(2x + y > 6\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\left[ {3; + \infty } \right)\).
Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất hai ẩn nên bất phương trình này có vô số nghiệm.
Chọn C.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 1\\2x - y < 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y > 1\\2x - y < 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 1\\2{x^2} - y < 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} > 1\\2x - y < 2\end{array} \right..\)
Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 1\\2x - y < 2\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn A.
Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) nào dưới đây là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y > 2}\\{ - 2x + y \le 7}\end{array}} \right.\)?
\(\left( { - 1;12} \right)\).
\(\left( { - 5; - 2} \right)\).
\(\left( {2; - 5} \right)\).
\(\left( {4; - 1} \right)\).
- Xét cặp số \(\left( { - 1;12} \right)\), ta thấy không thỏa hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y > 2}\\{ - 2x + y \le 7}\end{array}} \right.\).
- Xét cặp số \(\left( { - 5; - 2} \right)\), ta thấy không thỏa hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y > 2}\\{ - 2x + y \le 7}\end{array}} \right.\).
- Xét cặp số \(\left( {2; - 5} \right)\), ta thấy không thỏa hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y > 2}\\{ - 2x + y \le 7}\end{array}} \right.\).
- Xét cặp số \(\left( {4; - 1} \right)\), ta thấy thỏa hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y > 2}\\{ - 2x + y \le 7}\end{array}} \right.\).
Chọn D.
Cho góc \(\alpha \) là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\tan \alpha < 0\).
\(\sin \alpha < 0\).
\(\cos \alpha > 0\).
\(\cot \alpha > 0\).
Ta có góc \(\alpha \) là góc tù, nên 90°<α<180°⇒sinα>0cosα<0tanα<0cotα<0. Chọn A.
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
sin180°−α=−sinα
cos180°−α=cosα
tan180°−α=tanα
cot180°−α=−cotα
Theo lý thuyết ta có, cot180°−α=−cotα. Chọn D.
Cho tam giác \(ABC\) (theo hình dưới đây) có \(a = 6, b = 10\), góc \(C\) bằng 60°.
Độ dài cạnh \(c\)bằng
\(c = 14\).
\(c = 2\sqrt {19} \).
\(c = \sqrt {106} \).
\(c = 4\).
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:
c2=a2+b2−2abcosC=36+100−2⋅6⋅10cos60°=76⇒c=76=219. Chọn B.
Cho mệnh đề \[P\]: “Nếu \[a + b < 2\] thì một trong hai số \[a\] và \[b\] nhỏ hơn 1”. Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề đã cho?
Điều kiện đủ để một trong hai số \[a\] và \[b\] nhỏ hơn 1 là \[a + b < 2\].
Điều kiện cần để một trong hai số \[a\] và \[b\] nhỏ hơn 1 là \[a + b < 2\].
Điều kiện đủ để \[a + b < 2\] là một trong hai số \[a\] và \[b\] nhỏ hơn 1.
Cả B và C.
Ta dựa trên lý thuyết: Mệnh đề \[P \Rightarrow Q\] là mệnh đề kéo theo. Khi đó, \[P\] là điều kiện đủ để có \[Q\] hoặc \[Q\] là điều kiện cần để có \[P\]. Ta dễ dàng chọn được đáp án đúng. Chọn A.
Phần không bị gạch chéo trong hình vẽ dưới đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình nào?
\(x + y < 1.\)
\(x + y > 1.\)
\(x + y < 2.\)
\(x + y > 2.\)
Bờ của miền nghiệm là đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;0} \right),B\left( {0;1} \right)\) nên
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a + b\\1 = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right..{\rm{ Suy ra }}d:y = - x + 1{\rm{ hay }}d:x + y = 1.\)
Do điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình và \(0 + 0 < 1\) là mệnh đề đúng nên bất phương trình có miền nghiệm như hình vẽ là \(x + y < 1.\) Chọn A.
Cho biết \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của \(M = \frac{{10\sin \alpha + 11\cos \alpha }}{{4\sin \alpha + 7\cos \alpha }}\) bằng
715
815
3115
115
Vì \(\tan \alpha = 2 \Rightarrow \cos \alpha \ne 0\), chia cả tử và mẫu cho \(\cos \alpha \) ta có
\(M = \frac{{\frac{{10\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{11\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{4\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{7\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{10\tan \alpha + 11}}{{4\tan \alpha + 7}} = \frac{{10 \cdot 2 + 11}}{{4 \cdot 2 + 7}} = \frac{{31}}{{15}}\). Chọn C.
Cho mệnh đề \(P\): “Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)” và mệnh đề \(Q:\) “Tam giác \(ABC\) có \(AB{}^2 + A{C^2} = B{C^2}\)”. Xét mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\).
a) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là: “Nếu tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì tam giác \(ABC\) có \(AB{}^2 + A{C^2} = B{C^2}\)”.
b) \(P\) là điều kiện cần để có \(Q\).
c) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề đúng.
d) Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề sai.
a) Đúng. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là: “Nếu tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì tam giác \(ABC\) có \(AB{}^2 + A{C^2} = B{C^2}\)”.
b) Sai. \(P\) là điều kiện đủ để có \(Q\).
c) Đúng. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề đúng (định lý Pythagore).
d) Sai. Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề: “Nếu tam giác \(ABC\) có \(AB{}^2 + A{C^2} = B{C^2}\) thì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)” là mệnh đề đúng (định lý Pythagore đảo).
Cho tam giác \[ABC\] có AC=10, BC=12, B^=45°.
a) Công thức tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là \(R = \frac{{BC}}{{2\sin B}}\).
b) \(\sin A = \frac{{5\sqrt 2 }}{{12}}\).
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là \(5\sqrt 2 \).
d) \(\frac{{3BC - 2AC - AB}}{{6\sin A - 4\sin B - 2\sin C}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
a) Sai. Ta có \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}}\).
b) Sai. Ta có BCsinA=ACsinB⇒sinA=BC⋅sinBAC=12⋅sin45°10=325.
c) Đúng. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔABC là: R=AC2sinB=102⋅sin45°=52.
d) Sai. Ta có 2R=BCsinA=ACsinB=ABsinC⇒2R=3BC3sinA=2AC2sinB=ABsinC.
Suy ra R=3BC−2AC−AB23sinA−2sinB−sinC⇒3BC−2AC−AB6sinA−4sinB−2sinC=R=52.
Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 2;3} \right] \cup \left[ {5;10} \right)\), \(B = \left( {1; + \infty } \right)\) . Biết \(A \cap B\)=\(\left( {a;b} \right] \cup \left[ {c;d} \right)\) với \(a,b,c,d\) là các số nguyên dương. Khi đó \(a + b + c + d\) bằng bao nhiêu?
![Cho hai tập hợp A = [-2; 3] con [5, 10), B = (1; dương vô cùng). Biết A con B = (a; b] con [c; d) với a, b, c, d là các số nguyên dương. Khi đó a + b + c bằng bao nhiêu? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/blobid1-1758025129.png)
Khi đó, \(A \cap B = \)\(\left( {1;3} \right] \cup \left[ {5;10} \right) \Rightarrow a = 1;b = 3;c = 5;d = 10 \Rightarrow a + b + c + d = 19\).
Đáp án: 19.
Phần nửa mặt phẳng bờ \(d\) không bị gạch ở hình vẽ sau là miền nghiệm của bất phương trình \(x + my \ge n\).
Giá trị của biểu thức \(S = 3m + n\) bằng bao nhiêu?
Đường thẳng \(d:y = ax + b\). Theo hình vẽ, \(d\) đi qua hai điểm \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;0} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot 0 + b = 2\\a \cdot 2 + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\end{array} \right.\).
Suy ra \(d:y = - x + 2 \Leftrightarrow x + y = 2\).
Do gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên bất phương trình cần tìm là \(x + y \ge 2\). Suy ra ta có \(m = 1,n = 2\). Vậy \(S = 3 \cdot 1 + 2 = 5\).
Đáp án: \(5\).
Cho \(\cot \alpha = - \sqrt 2 \) và \(P = \frac{{2\sin \alpha - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{4\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}\). Tính giá trị biểu thức \(A = {m^2} - {n^2}\) biết \(P = \frac{m}{n}\) \((m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N}\) và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản).
Vì \(\cot \alpha = - \sqrt 2 \Rightarrow \sin \alpha \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \(\sin \alpha \) ta được:
\(P = \frac{{\frac{{2\sin \alpha - \sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\frac{{4\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 \cot \alpha }}{{4 + 3\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{2 - \sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 } \right)}}{{4 + 3\sqrt 2 \cdot \left( { - \sqrt 2 } \right)}} = - 2 = \frac{m}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\n = 1\end{array} \right.\).
Khi đó \(A = {\left( { - 2} \right)^2} - {1^2} = 3\).
Đáp án: 3.
Hai tàu du lịch xuất phát từ hai thành phố cảng \(A\) và \(B\) cách nhau \(200\,\,{\rm{(km)}}\) đến đảo \(C\) như hình minh họa.
Biết CAB^=30°; CBA^=45°. Tàu 1 ở thành phố \(A\) khởi hành lúc 8 giờ và chuyển động đều với vận tốc \[80\,\,{\rm{(km/h)}}\]. Tàu 2 ở thành phố \(B\) muốn đến đảo \(C\) cùng lúc với tàu 1 thì phải khởi hành lúc \(a\) giờ \(b\) phút (làm tròn đến đơn vị phút), biết tàu 2 chuyển động đều cùng vận tốc \(80\,{\rm{(km/h)}}.\) Tính \(a + b.\)
Tính được BAC^=180°−30°−45°=105°.
Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta có:
ABsinC=BCsinA=ACsinB⇔200sin105°=BCsin30°=ACsin45°⇒AC=200sin45°sin105°BC=200sin30°sin105°
Thời gian tàu 1 chạy từ thành phố A đến đảo C là tA=AC80=200sin45°80sin105° (giờ).
Thời gian tàu 2 chạy từ thành phố B đến đảo C là tB=BC80=200sin30°80sin105° (giờ).
Ta có \({t_A} - {t_B} \approx 0,536\) (giờ) \( \approx 32\) (phút).
Khi đó, thời điểm xuất phát của tàu 2 là: 8 giờ 32 phút.
Vậy \(a = 8,\,b = 32.\) Suy ra \(a + b = 8 + 32 = 40\).
Lớp 10E1 có 35 học sinh làm bài kiểm tra thường xuyên môn Toán. Đề bài gồm 3 bài toán. Sau khi kiểm tra cô giáo tổng hợp được kết quả như sau: có 12 học sinh chỉ giải được bài toán thứ nhất, 14 học sinh giải được bài toán thứ hai, 15 học sinh giải được bài toán thứ ba, 3 học sinh chỉ giải được bài toán thứ hai và thứ ba. Hỏi lớp 10E1 có bao nhiêu học sinh giải được cả 3 bài toán biết rằng mỗi học sinh đều làm được ít nhất một bài?
Gọi x là số học sinh giải được cả 3 bài toán.
a là số học sinh chỉ làm được bài toán thứ nhất và thứ ba.
b là số học sinh chỉ làm được bài toán thứ nhất và thứ hai.
Khi đó:
Số học sinh chỉ làm được bài toán thứ ba là: 15 – a – x – 3 = 12 – x – a (học sinh).
Số học sinh chỉ làm được bài toán thứ hai là: 14 – b – x – 3 = 11 – x – b (học sinh).
Theo đề ta có phương trình: x + a + b + 3 + 12 + 12 – x – a + 11 – x – b = 35. Do đó x = 3.
Vậy có 3 học sinh giải được cả 3 bài toán.
Một xưởng sản xuất đồ gỗ mỹ nghệ sản suất ra hai bộ sản phẩm loại \[I\] và loại \[II\]. Mỗi bộ sản phẩm loại \[I\] lãi \[5\] triệu đồng, mỗi bộ sản phẩm loại \[II\] lãi \[4\] triệu đồng. Để sản suất mỗi bộ sản phẩm loại \[I\] cần máy làm việc trong \[3\] giờ và nhân công làm việc trong \[2\] giờ. Để sản suất mỗi bộ sản phẩm loại \[II\] cần máy làm việc trong \[3\] giờ và nhân công làm việc trong \[1\] giờ. Biết rằng chỉ dùng máy hoặc chỉ dùng nhân công không thể đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc, số nhân công luôn ổn định. Một ngày máy làm việc không quá \[15\]giờ, nhân công làm việc không quá \[8\] giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất xưởng đó đạt được trong một ngày nếu bán hết toàn bộ sản phẩm làm ra.
Gọi số bộ sản phẩm loại \[I\] sản xuất trong một ngày là \[x\,\,,\,\,\,\left( {x \ge 0,x \in \mathbb{N}} \right)\].
Số bộ sản phẩm loại \[II\] sản xuất trong một ngày là \[y\,\,,\,\,\,\left( {y \ge 0,y \in \mathbb{N}} \right)\].
Số lãi thu được là \[L = 5x + 4y\] (triệu đồng).
Số giờ làm việc của máy là \[3x + 3y\] (giờ).
Số giờ làm việc của công nhân là \[2x + y\] (giờ).
Theo giả thiết: Một ngày máy làm việc không quá \[15\] giờ, nhân công làm việc không quá \[8\] giờ nên ta có hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y \le 15\\2x + y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\].
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là
Tính các giá trị của biểu thức \[L = 5x + 4y\] tại các đỉnh của tứ giác là miền nghiệm của hệ bất phương trình trên ta được
\[\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right) \Rightarrow L = 0\];
\[\left( {x;y} \right) = \left( {4;0} \right) \Rightarrow L = 20\];
\[\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right) \Rightarrow L = 23\];
\[\left( {x;y} \right) = \left( {0;5} \right) \Rightarrow L = 20\].
Vậy số tiền lãi lớn nhất xưởng đó đạt được trong một ngày là \[23\] triệu đồng.
Người ta cần trang trí một họa tiết như hình vẽ bằng cách sơn kín phần được tô đậm. Biết chi phí để sơn 1 mét vuông là 250 nghìn đồng, tam giác trong hình vẽ có các cạnh lần lượt là 3 mét, 5 mét, 5 mét. Hỏi số tiền cần bỏ ra là bao nhiêu nghìn đồng để hoàn thành việc sơn trang trí họa tiết đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Dùng công thức Heron ta tính được diện tích của tam giác là \({S_1} = \frac{{3\sqrt {91} }}{4}\) (m2).
Ta có \({S_1} = pr\) nên ta tính được bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là \(r = \frac{{3\sqrt {91} }}{{26}}\) (m).
Tính được diện tích hình tròn là \({S_2} = \pi {r^2} = \frac{{63\pi }}{{52}}\) (m2).
Diện tích cần sơn là \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{3\sqrt {91} }}{4} - \frac{{63}}{{52}}\pi \approx 3,348\) (m2).
Số tiền cần bỏ ra bằng \(S \cdot 250 \approx 837\) nghìn đồng.
