Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Biết tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(a > 0\) và \(\Delta = {b^2} - 4ac = 0\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: D
Tam thức có \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta = 0\end{array} \right.\) nên \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn
\({x^2} - 3x + 2 \le 0\).
\({x^3} < x\).
>
\(3x - 1 > 0\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} - {x^2} \le 0\).
Đáp án đúng là: A
Bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 \le 0\) là bất phương trình bậc hai một ẩn.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 12x + 36\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm.
Bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) vô nghiệm.
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x < 6\).
Đáp án đúng là: C
\(f\left( x \right) = {x^2} - 12x + 36 = {\left( {x - 6} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 5} = x + 1\) có nghiệm là
\(x = 4\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = 3\).
Đáp án đúng là: B
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong hai phương án. Phương án A có 3 cách thực hiện, phương án B có 4 cách thực hiện (các cách thực hiện của cả hai phương án là khác nhau). Số cách thực hiện công việc đó là:
4 cách.
6 cách.
7 cách.
12 cách.
Đáp án đúng là: C
Số cách thực hiện công việc đó là: \(3 + 4 = 7\) (cách).
Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\)\(\left( {1 \le k \le n;k,n \in \mathbb{N}} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + k} \right)!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n + k} \right)!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
Đáp án đúng là: D
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(3x - 5y + 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến là
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 5;7} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3; - 5} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;7} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(3x - 5y + 7 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3; - 5} \right)\).
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\).
Trùng nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Vuông góc với nhau.
Song song.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 3;6} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \({d_1};{d_2}\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_2}} = - 3\overrightarrow {{n_1}} \) do đó \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương.
Lại có \(A\left( {1;1} \right) \in {d_1}\) nhưng không thuộc \({d_2}\). Do đó \({d_1}//{d_2}\).
Xác định tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 49\).
\(I\left( { - 3;4} \right),R = 7\).
\(I\left( {3; - 4} \right),R = 7\).
\(I\left( {3; - 4} \right),R = 49\).
\(I\left( { - 3;4} \right),R = 49\).
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \(\left( C \right)\) có \(I\left( { - 3;4} \right),R = 7\).
Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường elip?
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 0\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 0\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình chính tắc của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( { - 1; - 1} \right)\). Phương trình đường thẳng \(AB\) là
\(2x + 3y + 8 = 0\).
\(2x + 3y - 8 = 0\).
\(3x - 2y - 1 = 0\).
\(3x - 2y + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\), nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + 1 = 0\).
Tìm góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
\(90^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(0^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 0\)\( \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ \).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho khai triển nhị thức Niuton \({\left( {x + 3} \right)^5}\).
a) Khai triển trên có 5 số hạng.
b) Số hạng chứa \({x^4}\) là số hạng thứ hai (theo thứ tự số mũ \(x\) giảm dần).
c) Trong khai triển trên hệ số của \({x^4}\) là 105.
d) Tổng hệ số của \({x^4}\) và \({x^3}\) bằng 115.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) S
Ta có \({\left( {x + 3} \right)^5} = {x^5} + 5.{x^4}.3 + 10.{x^3}{.3^2} + 10.{x^2}{.3^3} + 5.x{.3^4} + {3^5}\)
\( = {x^5} + 15{x^4} + 90{x^3} + 270{x^2} + 405x + 243\).
a) Khai triển trên có 6 số hạng.
b) Số hạng chứa \({x^4}\) là số hạng thứ hai (theo thứ tự số mũ \(x\) giảm dần).
c) Hệ số của \({x^4}\) là 15.
d) Hệ số của \({x^3}\) là 90.
Suy ra tổng hệ số của \({x^4}\) và \({x^3}\) bằng \(90 + 15 = 105\).
Trong một ban tổ chức gồm 5 nhân viên đến từ Việt Nam, 7 nhân viên đến từ Hoa Kỳ và 6 nhân viên đến từ Anh.
a) Có 210 cách chọn ra 3 nhân viên, mỗi người từ một quốc gia khác nhau.
b) Có \(C_7^2\) cách chọn ra 2 nhân viên từ Hoa Kỳ.
c) Chọn ngẫu nhiên 2 nhân viên từ ban tổ chức, xác suất để chọn được 2 nhân viên từ hai quốc gia khác nhau là \(\frac{{203}}{{272}}\).
d) Chọn ngẫu nhiên 3 nhân viên từ ban tổ chức, xác suất để chọn được 3 nhân viên từ cùng một quốc gia là \(\frac{{35}}{{816}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Số cách chọn ra 3 nhân viên, mỗi người từ một quốc gia khác nhau là \(C_5^1.C_7^1.C_6^1 = 210\) cách.
b) Số cách chọn ra 2 nhân viên từ Hoa Kỳ là \(C_7^2\) cách.
c) Số cách chọn 2 nhân viên từ hai quốc gia khác nhau là \(C_5^1.C_7^1 + C_5^1.C_6^1 + C_7^1.C_6^1 = 107\)cách.
Số cách chọn 2 nhân viên từ ban tổ chức là \(C_{18}^2 = 153\) cách.
Xác suất để chọn được 2 nhân viên từ hai quốc gia khác nhau là \(\frac{{107}}{{153}}\).
d) Số cách được 3 nhân viên từ cùng một quốc gia là \(C_5^3 + C_7^3 + C_6^3 = 65\) cách.
Số cách chọn 3 nhân viên từ ban tổ chức là \(C_{18}^3 = 816\).
Xác suất chọn được 3 nhân viên từ cùng một quốc gia là \(\frac{{65}}{{816}}\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18.
Cho các tam thức bậc hai sau
\(f\left( x \right) = {x^2} - 10x + 2;f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 10;f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 10;f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 10\). Có bao nhiêu tam thức bậc hai luôn dương với mọi giá trị của \(x\)?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
Ta có \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
Xét \(f\left( x \right) = {x^2} - 10x + 2\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta = 100 - 4.2 = 92 > 0\end{array} \right.\);
Xét \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 10\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta = 4 + 40 = 44 > 0\end{array} \right.\);
Xét \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 10\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta = 4 - 40 = - 36 < 0\end{array} \right.\);
Xét \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 10\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\\Delta = 4 + 40 = 44 > 0\end{array} \right.\).
Do đó có 1 tam thức bậc hai luôn dương với mọi giá trị của \(x\).
Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Mỗi ngày nếu giá bán rau là 30000 đồng/1kg thì bán hết rau, nếu giá bán rau tăng 1000 đồng/kg thì số rau thừa ra 20 kg. Số rau thừa này được mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg. Gọi \(x\) (\(x > 0\)) (nghìn đồng) là số tiền tăng lên cho mỗi kg rau. Để tổng số tiền thu được không nhỏ hơn 31140 (nghìn đồng) thì \(x \in \left[ {a;b} \right]\). Tính \(b - a\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 16
Gọi \(x\left( {x \ge 0} \right)\) (nghìn đồng) là số tiền tăng lên cho mỗi kg rau.
Số tiền bán mỗi một kg rau sau khi tăng là \(x + 30\) (nghìn đồng).
Số kg rau thừa là \(20x\left( {x \le 50} \right)\).
Tổng số kg rau bán được là \(1000 - 20x\) (kg).
Tổng số tiền thu được là \(T = \left( {1000 - 20x} \right)\left( {x + 30} \right) + 20x.2 = - 20{x^2} + 440x + 30000\) (nghìn đồng).
Để số tiền không nhỏ hơn 31140 nghìn đồng thì \( - 20{x^2} + 440x + 30000 \ge 31140\)\( \Leftrightarrow - 20{x^2} + 440x - 1140 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 3 \le x \le 19\).
Suy ra \(x \in \left[ {3;19} \right]\). Do đó \(b - a = 16\).
Trong mặt phẳng tọa độ, cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm tiêu cự của elip trên.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 6
Tiêu cự của elip là \(2c = 2\sqrt {25 - 16} = 6\).
Có ba chiếc hộp, hộp thứ nhất chứa 6 bi xanh được đánh số từ 1 đến 6, hộp thứ hai chứa 5 bi đỏ được đánh số từ 1 đến 5, hộp thứ ba chứa 4 bi vàng được đánh số từ 1 đến 4. Lấy ngẫu nhiên ba viên bi. Tính số phần tử của biến cố \(A\): “Ba bi được chọn vừa khác màu vừa khác số”.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 64
Đầu tiên chọn ngẫu nhiên 1 viên bi ở hộp thứ ba ta có 4 cách chọn.
Tiếp theo, chọn ngẫu nhiên 1 viên bi ở hộp thứ hai khác số với viên bi đã chọn ở hộp thứ ba ta có 4 cách chọn.
Cuối cùng, chọn ngẫu nhiên 1 viên bi ở hộp thứ nhất khác số với 2 viên bi đã chọn từ hộp 2 và 3 ta có 4 cách chọn.
Vậy có \(4.4.4 = 64\) cách bọn ra ba viên bi vừa khác màu vừa khác số.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Tính tổng \(S = {2024^4} - {8088.2024^3} + 6.{\left( {2024.2022} \right)^2} - {8096.2022^3} + {2022^4}\).
Hướng dẫn giải
\(S = {2024^4} - {8088.2024^3} + 6.{\left( {2024.2022} \right)^2} - {8096.2022^3} + {2022^4}\)
\( = {2024^4} - {4.2024^3}.2022 + {6.2024^2}{.2022^2} - {4.2024.2022^3} + {2022^4}\)
\( = {\left( {2024 - 2022} \right)^4} = {2^4} = 16\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y - 2 = 0\) và ba điểm \(A\left( {3;4} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0;1} \right)\). Tìm \(M \in d\) để \(T = \left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Vì \(M \in d\) nên \(M\left( {2t + 2;t} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - 2t;4 - t} \right);\overrightarrow {MB} = \left( { - 3 - 2t;2 - t} \right);\overrightarrow {MC} = \left( { - 2t - 2;1 - t} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \left( { - 4t + 1; - 2t + 3} \right)\).
Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4t + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2t + 3} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {20{t^2} - 20t + 10} \)\( = \sqrt {20{{\left( {t - \frac{1}{2}} \right)}^2} + 5} \ge \sqrt 5 \).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\) là \(\sqrt 5 \) khi \(t = \frac{1}{2}\).
Với \(t = \frac{1}{2}\) thì \(M\left( {3;\frac{1}{2}} \right)\).
Có 7 học sinh không quen biết nhau cùng đến một cửa hàng kem có 6 quầy phục vụ. Tính xác suất để có 4 học sinh vào cùng một quầy và 3 học sinh còn lại cùng vào một quầy phục vụ.
Hướng dẫn giải
Mỗi học sinh có 6 cách chọn quầy phục vụ nên \(n\left( \Omega \right) = {6^7}\).
Gọi biến cố \(A\): “4 học sinh vào cùng 1 quầy và 3 học sinh còn lại vào cùng 1 quầy phục vụ khác”.
Số cách chia học sinh thành 2 nhóm: 1 nhóm có 4 học sinh và 1 nhóm có 3 học sinh là \(C_7^4.C_3^3\).
Với mỗi cách chia như vậy, số cách chia 2 nhóm trên vào 6 quầy sao cho mỗi nhóm 1 quầy khác nhau là \(C_6^1.C_5^1\).
Suy ra \(n\left( A \right) = C_7^4.C_3^3.C_6^1.C_5^1\).
Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_7^4.C_3^3.C_6^1.C_5^1}}{{{6^7}}} = \frac{{1050}}{{{6^7}}} = \frac{{175}}{{46656}}\).
