Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 06
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Điều kiện của tham số để hàm số \(y = {x^2} - \left( {5 - {m^2}} \right)x + 3\) là tam thức bậc hai\(m\)
\(m \ne \pm \sqrt 5 \);
\(m \in \mathbb{R}\);
\(m \in \emptyset \);
\(m \ne \pm 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Để hàm số là tam thức bậc hai thì \(a = 1 \ne 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).
Cho hàm số bậc hai có đồ thị như sau:
Hàm số nhận giá trị dương trên khoảng
\(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\);
\(\left( {0;3} \right)\);
\(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nằm phía trên trục hoành hay hàm số nhận giá trị dương khi \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 4x - 3 \le 2\) có dạng \(S = \left[ {a;b} \right]\). Giá trị biểu thức \(a - b\) bằng
\(4\);
\(6\);
\[ - 6\];
\( - 2\sqrt 7 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({x^2} - 4x - 3 \le 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 \le 0\)
Xét hàm số \(f(x) = {x^2} - 4x - 5\) là tam thức bậc hai có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 36 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 5\).
Áp dụng đinh lí về dấu ta có \(f(x) \le 0\) khi \(x \in \left[ { - 1;5} \right]\).
Do đó \(S = \left[ { - 1;5} \right] \Rightarrow a = - 1,b = 5 \Rightarrow a - b = - 1 - 5 = - 6\).
Điều kiện xác định của phương trình: \(\sqrt {2x - 3} = {x^2} - x - 2\)là
\(x \ge \frac{3}{2}\);
\(x = - 1\) và \(x = 2\);
\( - 1 \le x \le 2\);
\(x \le - 1\) hoặc \(x \ge 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét phương trình \(\sqrt {2x - 3} = {x^2} - x - 2\)
Điều kiện xác định của phương trình là \({x^2} - x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 2\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {3;\,\,4} \right),\,B\left( { - 2;\,\,0} \right),\,C\left( {1;7} \right)\). Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là
\(G\left( {2;\,11} \right)\);
\(G\left( {1;\,\frac{{11}}{2}} \right)\);
\(G\left( {\frac{2}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\);
\(G\left( {2;\frac{{11}}{3}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tọa độ trọng tâm \(G\) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{3 + \left( { - 2} \right) + 1}}{3} = \frac{2}{3}\\{y_G} = \frac{{4 + 0 + 7}}{3} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\).\(y = {x^2} - \left( {5 - {m^2}} \right)x + 3\)
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + 2y - 6 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 9 = 0\). Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng
\(30^\circ \);
\(60^\circ \);
\(135^\circ \);
\(45^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \({\Delta _1}:x + 2y - 6 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}:x - 3y + 9 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 3} \right)\).
Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là:
\[{\rm{cos}}\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].
\[ \Rightarrow \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = 45^\circ \].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(d:2x - 2y + 3 = 0\) và \(d':x - y + 3 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song nhau;
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau;
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trùng nhau;
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d:2x - 2y + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 2} \right) = 2\left( {1; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(d':x - y + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 1} \right)\).
Ta có \(\frac{1}{{ - 1}} = \frac{1}{{ - 1}}\) nên ta hai vectơ này cùng phương.
Do đó hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song hoặc trùng nhau.
Lấy \(M\left( {0;3} \right) \in d'\) có \(2.0 - 2.3 + 3 = - 3 \ne 0\) nên \(M \notin d\). Do đó \(d\) và \(d'\) song song.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d:2y = x\) là
\(\left( {2;\,\,1} \right)\);
\(\left( {1; - 2} \right)\);
\(\left( {1;2} \right)\);
\(\left( {2; - 1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(2y = x \Leftrightarrow x - 2y = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1; - 2} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng nào dưới đây không có vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;\,2} \right)\)?
\(x + 2y = 9\);
\( - 3x - 6y + 7 = 0\);
\(x - 2y - 19 = 0\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
+) Đường thẳng \(x + 2y = 9\) có tọa độ vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;\,2} \right)\). Do đó A sai.
+) Đường thẳng \( - 3x - 6y + 7 = 0\) có tọa độ vectơ pháp tuyến là \(\left( { - 3;\,\, - 6} \right) = - 3\left( {1;\,2} \right)\). Do đó B sai.
+) Đường thẳng \(x - 2y - 19 = 0\) có tọa độ vectơ pháp tuyến là \(\left( {1; - 2} \right) \ne \left( {1;\,2} \right)\). Do đó C đúng.
+) Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\) có vectơ chỉ phương là \(\left( {2; - 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là
\(\left( {1;\,2} \right)\). Do đó D sai.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;\,\,3} \right)\) và \(B\left( {9; - 7} \right)\). Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là
\(2x - y - 10 = 0\);
\(x - y - 6 = 0\);
\(x - y + 4 = 0\);
\(2x - y + 5 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên tọa độ điểm \(I\) là \(\left( {4;\,\, - 2} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {10; - 10} \right) = 10\left( {1; - 1} \right)\)
Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) nhận \(\left( {1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm \(I\left( {4;\,\, - 2} \right)\) nên có phương trình: \(x - 4 - \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 6 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;4} \right),B\left( {2; - 1} \right),C\left( { - 6; - 5} \right)\). Tọa độ chân đường cao \(H\left( {H \in BC} \right)\) kẻ từ \(A\) xuống cạnh \(BC\) là
\(H\left( { - \frac{4}{5};\frac{2}{5}} \right)\);
\(H\left( {4; - 2} \right)\);
\(H\left( { - \frac{8}{5}; - \frac{{14}}{5}} \right)\);
\(H\left( {\frac{{16}}{5}; - \frac{2}{5}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 8; - 4} \right) = - 4\left( {2;1} \right)\).
Khi đó phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 4 = 0\).
Vì \(AH \bot BC\) nên phương trình đường thẳng \(AH\) là:
\(2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 6 = 0\).
Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 4 = 0\\2x + y - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{16}}{5}\\y = - \frac{2}{5}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{16}}{5};\frac{{ - 2}}{5}} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d:3x - 4y = 2\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y = 3t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là\(\left( {3; - 4} \right)\) nên vectơ chỉ phương là \(\left( {4;\,\,3} \right)\). Do đó phương trình tham số của \(d\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\).
Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước?
Không có đường tròn nào;
Có duy nhất một đường tròn;
Có vô số đường tròn;
Có hai đường tròn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Có duy nhất một đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Vậy ta chọn phương án B.
Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 1} \right)\) là
\(x + y - 4 = 0\) hoặc \(x - y - 2 = 0\);
\(x = 5\) hoặc \(y = - 1\);
\(2x - y - 3 = 0\) hoặc \(3x + 2y - 2 = 0\);
\(3x - 2y - 2 = 0\) hoặc \(2x + 3y + 5 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2;2} \right)\), bán kính \(R = 3\).
Gọi \(d\) là tiếp tuyến cần tìm có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {A;B} \right)\).
Vì \(d\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 1} \right)\)nên phương trình d có dạng: \(A\left( {x - 5} \right) + B\left( {y + 1} \right) = 0\)
\[ \Leftrightarrow Ax + By - 5A + B = 0\]
Vì \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) nên ta có \(d\left( {I,d} \right) = R\).
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {A.2 + B.2 - 5A + B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 3\)
\( \Leftrightarrow \left| { - 3A + 3B} \right| = 3\sqrt {{A^2} + {B^2}} \)
\( \Leftrightarrow 9{A^2} - 18AB + 9{B^2} = 9\left( {{A^2} + {B^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow AB = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Với \(A = 0\), ta chọn \(B = 1\).
Suy ra phương trình \(d:y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = - 1\)
Với \(B = 0\), ta chọn \(A = 1\).
Suy ra phương trình \(d:x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5\).
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là: \(y = - 1\) hoặc \(x = 5\).
Do đó ta chọn phương án B.
Đường tròn tâm \(I\left( {1;\,\,4} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {2;6} \right)\) có phương trình là
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \sqrt 5 \);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = \sqrt 5 \);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(R = IB = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
Đường tròn có tâm \(I\left( {1;\,\,4} \right)\) và đi qua điểm \(R = \sqrt 5 \) có phương trình là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\)
Vậy ta chọn phương án D.
Với giá trị nào của m thì đường thẳng \(\Delta :4x + 3y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 9 = 0\)?
\(m = - 3\);
\(m = 3\) hoặc \(m = - 3\);
\(m = 3\);
\(m = 15\) hoặc \(m = - 15\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 3\).
Vì \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) nên ta có \(d\left( {O;\Delta } \right) = R\).
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.0 + 3.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 3\)
\( \Leftrightarrow \left| m \right| = 15\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 15\\m = - 15\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 15\) hoặc \(m = - 15\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) là
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\). Suy ra \(c = \sqrt 3 \).
Khi đó \({c^2} = 3\)
Vì vậy \({a^2} - {b^2} = 3\)
Do đó \({a^2} = {b^2} + 3\)
Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0).
Ta có \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right)\).
Suy ra \(\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1\)
\( \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\)
\( \Leftrightarrow 4{b^2} + 3\left( {{b^2} + 3} \right) = 4\left( {{b^2} + 3} \right){b^2}\)
\( \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2}\)
\( \Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow {b^2} = 1\) hoặc \({b^2} = - \frac{9}{4}\) (vô lí)
\( \Leftrightarrow b = 1\) (vì \(\left( {b > 0} \right)\)
Với \(b = 1\), ta có \({a^2} = {1^2} + 3 = 4\).
Vậy phương trình chính tắc của (E): \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Phương trình nào dưới đây là phương trình của Parabol?
\(y = \frac{1}{{{x^2}}} - x\);
\(\frac{{{x^2}}}{4} - {y^2} = 1\);
\({y^2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}x\);
\(y = x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình của Parabol là \({y^2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}x\).
Cho Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\left( {a > 0} \right)\). Biết tiêu cự của \((H)\) là \(26\). Độ dài trục thực của Hypebol bằng
\(2\sqrt {205} \);
\(5\);
\(2\sqrt {133} \);
\(10\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Tiêu cự của \((H)\) là \(26\) nên \(c = 13\)
Xét \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\) có \(b = 12\)
\( \Rightarrow a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}} = 5\).
Vậy độ dài trục lớn của \(\left( H \right)\) là \(2a = 2.5 = 10\).
Cho Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\). Điểm \(M\) thuộc Elip \(\left( E \right)\) khi
\(M{F_1} + M{F_2} = 12\);
\(M{F_1} - M{F_2} = 12\);
\(M{F_1} + M{F_2} = 24\);
\(M{F_1} - M{F_2} = 24\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{12}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = 1\)
\( \Rightarrow a = 12,b = \sqrt 2 \)
\( \Rightarrow 2a = 24\).
Điểm \(M\) thuộc Elip \(\left( E \right)\) khi \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2.12 = 24\).
Trên bàn có \(8\) cây bút chì khác nhau, \(6\) cây bút bi khác nhau và \(10\) cuốn tập khác nhau. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập.
\[24\];
\[48\];
\[480\];
\[60\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Để chọn \(''\)một cây bút chì - một cây bút bi - một cuốn tập\(''\), ta có ba giai đoạn sau:
- Giai đoạn 1: Có \(8\) cách chọn bút chì.
- Giai đoạn 2: Có \(6\) cách chọn bút bi.
- Giai đoạn 3: Có \(10\) cách chọn cuốn tập.
Vậy theo qui tắc nhân ta có \[8.6.10 = 480\] cách.
Từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\) có 4 con đường, từ thành phố \(B\) đến thành phố \(C\) có \(3\) con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(C\) phải đi qua thành phố \(B\)?
\(21\);
\(12\);
\(64\);
\(7\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Cách để đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(C\) phải đi qua thành phố \(B\) gồm \(2\) giai đoạn:
- Giai đoạn 1: Đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\) có 4 cách.
- Giai đoạn 1: Ứng với mỗi cách của giai đoạn 1, từ thành phố \(B\) đến thành phố \(C\) có \(3\) cách.
Áp dụng quy tắc nhân có \(4.3 = 12\) cách để đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(C\).
Có bao nhiêu cách chọn \(5\) cầu thủ từ \(11\) trong một đội bóng để thực hiện đá \(5\) quả luân lưu \(11{\rm{ m}}\), theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm.
\(A_{11}^5\);
\(C_{11}^5\);
\(A_{11}^2.5!\);
\(C_{10}^5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số cách chọn \(5\) cầu thủ từ \(11\) trong một đội bóng để thực hiện đá \(5\) quả luân lưu \(11{\rm{ m}}\), theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm là số chỉnh hợp chập \(5\) của \(11\) phần tử nên số cách chọn là \(A_{11}^5\).
Số các tổ hợp chập \(k\) của một tập hợp có \(n\) phần tử \(\left( {1 \le k \le n} \right)\) là
\(C_n^k\);
\(n!\);
\(\frac{{n!}}{{k!}}\);
\(A_n^k\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số các chỉnh hợp chập \(k\) của một tập hợp có \(n\) phần tử \(\left( {1 \le k \le n} \right)\) là \(C_n^k\).
Từ \(4\)chữ số \(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4\) lập được bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau?
\(27\);
\(24\);
\(8\);
\(6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số gồm bốn chữ số khác nhau từ \(4\)chữ số \(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4\) là hoán vị của \(4\) nên có: \(4! = 24\) số.
Cho \(5\) điểm phân biệt. Số các đoạn thẳng có hai đầu mút lấy từ các điểm đã cho là
\(5!\);
\(A_5^2\);
\(C_5^2\);
\(5.2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số các đoạn thẳng có hai đầu mút lấy từ các điểm đã cho là tổ hợp chập 5 của 2.
Cho nhị thức \({\left( { - 3x + y} \right)^5}\). Số hạng có chứa \({x^3}{y^2}\) là
\(90\);
\(90{x^3}{y^2}\);
\(270\);
\( - 270{x^3}{y^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\({\left( { - 3x + y} \right)^5} = {\left( { - 3x} \right)^5} + 5.{\left( { - 3x} \right)^4}.y + 10.{\left( { - 3x} \right)^3}.{y^2} + 10.{\left( { - 3x} \right)^2}.{y^3} + 5.\left( { - 3x} \right).{y^4} + {y^5}\)
\( = - 243{x^5} + 405{x^4}y - 270{x^3}{y^2} + 90{x^2}{y^3} - 15x{y^4} + {y^5}\)
Số hạng có chứa \({x^3}{y^2}\) là \( - 270{x^3}{y^2}\).
Tổng hệ số của ba số hạng cuối trong khai triển nhị thức \({\left( {a + 2b} \right)^5}\) là
\[160\];
\[51\];
\[200\];
\[192\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có
\[{\left( {a + 2b} \right)^5}\, = \,C_5^0{a^5}{\left( {2b} \right)^0} + C_5^1{a^4}\left( {2b} \right) + C_5^2{a^3}{\left( {2b} \right)^2} + C_5^3{a^2}{\left( {2b} \right)^3} + C_5^4a{\left( {2b} \right)^4} + C_5^5{\left( {2b} \right)^5}\]
\( = {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}\)
Suy ra tổng hệ số của ba số hạng cuối là \(80 + 80 + 32 = 192\).
Ta có khai triển sau: \({a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\). Khai triển này được viết gọn thành biểu thức nào dưới đây?
\({\left( {a + 2b} \right)^2}\);
\({\left( {a + b} \right)^4}\);
\({\left( {a + 2b} \right)^4}\);
\({\left( {2a + 2b} \right)^4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\).
Vườn nhà An có \(7\) bông hồng đỏ, \(6\) bông hồng trắng và \(3\) bông hồng vàng. An ra vườn cắt \(5\) bông hồng để cắm. Xác suất trong \(5\) bông hoa được cắt có cả ba màu và số hoa hồng đỏ bằng số hoa hồng trắng.
\(\frac{1}{{104}}\);
\(\frac{{45}}{{208}}\);
\(\frac{{47}}{{208}}\);
\(\frac{{63}}{{2434}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = C_{16}^5 = 4\,368\).
Gọi \(A\) là biến cố trong \(5\) bông hoa được cắt có cả ba màu và số hoa hồng đỏ bằng số hoa hồng trắng.
Khi đó các kết quả thuận lợi cho biến cố là:
TH1: \(1\) bông hồng đỏ, \(1\) bông hồng trắng và \(3\) bông hồng vàng, có \(C_7^1.C_6^1.C_3^3\) cách.
TH2: \(2\) bông hồng đỏ, \(2\) bông hồng trắng và \(1\) bông hồng vàng, có \(C_7^2.C_6^2.C_3^1\) cách.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_7^1.C_6^1.C_3^3 + C_7^2.C_6^2.C_3^1 = 987\).
\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{47}}{{208}}\).
Từ một hộp chứa \(6\) viên bi trắng, \(4\) viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc ra \(4\) viên bi. Gọi \(A\) là biến cố: “\(4\)viên bi được lấy ra có ít nhất \(1\) viên bi trắng”. Biến cố đối của biến cố \(A\) là
\(4\) viên bi lấy ra cùng màu;
\(4\) viên bi lấy ra đều màu đen;
\(4\) viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đen;
\(4\) viên bi lấy ra có đủ hai màu.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Biến cố đối của biến cố \(A\) là \(\overline A \): “\(4\) viên bi lấy ra đều màu đen”.
Gọi \(A\) là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Kí hiệu \(n\left( \Omega \right)\) và \(n\left( A \right)\) lần lượt là số kết quả có thể xảy ra của phép thử và số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\). Công thức tính xác suất biến cố \(A\) là
\(P\left( A \right) = n\left( A \right).n\left( \Omega \right)\);
\(P\left( A \right) = n\left( A \right) + n\left( \Omega \right)\); \right)}}\).
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( \Omega \right)}}{{n\left( A \right)}}\);
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Công thức tính xác suất biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( \Omega \right)}}{{n\left( A \right)}}\).
Gieo đồng thời \(3\) đồng xu đồng chất cân đối. Xác suất để được \(2\) đồng xu sấp và \(1\) đồng xu ngửa là
\(2\);
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{1}{6}\);
\(\frac{3}{8}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Các phần tử của không gian mẫu là:
\(\Omega = \left\{ {SSS;\,SSN;\,SNS;\,NSS;\,SNN;\,NSN;\,NNS;\,NNN} \right\}\)
\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 8\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Gieo được \(2\) đồng xu sấp và \(1\) đồng xu ngửa”.
Khi đó \(A = \left\{ {SSN;\,\,SNS;\,\,NSS} \right\}\)
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 3\)
\[ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{8}\].
Ban chỉ đạo phòng chống dịch Covid – 19 của sở y tế Hà Nội gồm \(9\) người, trong đó có đúng \(3\) bác sĩ. Chia ngẫu nhiên ban đó thành ba tổ, mỗi tổ ba người để đi kiểm tra công tác phòng dịch ở ba địa phương trong tỉnh. Xác suất để mỗi tổ đều có bác sĩ là
\(\frac{1}{{21}}\);
\(\frac{1}{{84}}\);
\(\frac{9}{{28}}\);
\(\frac{1}{{14}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có cách chia 9 người thành 3 tổ có \(C_9^3.C_6^3.C_3^3 = 1\,\,680\)
Tổ 1 có \(C_3^1\) cách chọn bác sĩ, \(C_6^2\) cách chọn người còn lại. Do đó \(C_3^1.C_6^2 = 45\) cách.
Tổ 2 có \(C_2^1\) cách chọn bác sĩ, \(C_4^2\) cách chọn người còn lại. Do đó \(C_2^1.C_4^2 = 12\) cách.
Tổ 3 có \(C_1^1\) cách chọn bác sĩ, \(C_2^2\) cách chọn người còn lại. Do đó \(C_1^1.C_2^2 = 1\) cách.
Tổng có: \(45.12.1 = 540\) cách chia thành 3 tổ để mỗi tổ đều có bác sĩ .
Do đó xác suất để mỗi tổ đều có bác sĩ là \(\frac{{540}}{{1\,\,680}} = \frac{9}{{28}}\).
Gieo một con xúc xắc đồng chất cân đối. Xác suất để gieo được mặt \(6\) chấm là
\(\frac{1}{6}\);
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{1}{4}\);
\(\frac{1}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = 6\)
Gọi \(A\) là biến cố gieo được mặt \(6\) chấm
Khi đó \(n\left( A \right) = 1\).
Vì vậy \(P\left( A \right) = \frac{1}{6}\).
II. PHẦN TỰ LUẬN
Trước diễn biến phức tạp của dịch bệnh sốt xuất huyết, Sở Y tế thành phố Hà Nội lựa chọn kiểm tra ngẫu nhiên công tác chuẩn bị của \(4\) đội phòng chống dịch cơ động trong số \(6\) đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và \(15\) đội của các Trung tâm y tế cơ sở. Tính xác suất để có ít nhất \(2\) đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.
Hướng dẫn giải
Ta có \(n\left( \Omega \right) = 5\,\,985\)
Gọi \(A\) là biến cố trong \(4\) đội có ít nhất \(2\) đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.
Khi đó \(\overline A \) là biến cố trong \(4\) đội có nhiều nhất \(1\) đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(\overline A \) được chia làm \(2\) phương án:
- Phương án 1: Không có đội của các Trung tâm y tế cơ sở có: \(C_6^4\) cách.
- Phương án 2: Có \(1\) đội của Trung tâm y tế cơ sở có \(C_6^3.C_{15}^1\) cách.
\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_6^4 + C_6^3.C_{15}^1 = 315\)
\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{315}}{{5\,\,985}} = \frac{1}{{19}}\).
\( \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{{19}} = \frac{{18}}{{19}}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\)cho điểm \(A\left( { - 2;1} \right)\) và điểm \(B\left( {4;5} \right)\).
a) Viết phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) đi qua \(2\) điểm \(A\) và \(B\).
b) Viết phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(\left( d \right):3x - y + 2 = 0\).
c) Tìm tọa độ điểm \(M\)thuộc đường thẳng \(\left( d \right):x - 4y + 5 = 0\) để \(\Delta ABM\) vuông tại \(A\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {6;\,\,4} \right) = 2\left( {3;2} \right)\)
Khi đó \(\left( {3;\,\,2} \right)\) là một vectơ chỉ phương đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) hay ta có \(\left( {2; - 3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\left( \Delta \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) là:
\(2\left( {x + 2} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 7 = 0\).
b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\left( d \right):3x - y + 2 = 0\) là \(\left( {3; - 1} \right)\).
Vì đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) song song với đường thẳng \(\left( d \right)\) nên \(\left( {3; - 1} \right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \Delta \right)\).
Vì vậy phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\)là:
\(3\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y + 7 = 0\).
c) Gọi \(d'\) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại điểm \(A\).
Một vectơ pháp tuyến của \(\left( d \right)\) là \(\left( {1;\,\, - 4} \right)\) nên vectơ chỉ phương là \(\left( {4;1} \right)\).
Vì \(d' \bot d\) nên \(\left( {d'} \right)\) nhận \(\left( {4;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, nên phương trình \(\left( {d'} \right)\) là:
\(4\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y + 9 = 0\).
Tọa độ điểm \(M\) cần tìm là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x - y + 9 = 0\\x - 4y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{31}}{{15}}\\y = - \frac{{11}}{{15}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{{31}}{{15}}; - \frac{{11}}{{15}}} \right)\).
a) Trong một môn học, thầy giáo có \(20\) câu hỏi khác nhau, trong đó có \(10\) câu hỏi dễ, \(6\) câu hỏi trung bình và \(4\) câu hỏi khó. Từ \(20\)câu hỏi đó lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm \(5\) câu hỏi, sao cho đề kiểm tra phải có đủ ba loại câu hỏi và có đúng \(2\) câu hỏi dễ.
b) Tính tổng \(T = C_4^0 + 2C_4^1 + 4C_4^2 + 8C_4^3 + 16C_4^4\).
Hướng dẫn giải
a) Để tạo đề kiểm tra gồm \(5\) câu hỏi sao cho có đủ ba loại câu hỏi và có đúng \(2\) câu hỏi dễ sẽ có các phương án sau:
- Phương án 1: Đề gồm \(2\) câu hỏi dễ, \(2\) câu trung bình và \(1\) câu khó có \(C_{10}^2.C_6^2.C_4^1 = 2700\) đề.
- Phương án 2: Đề gồm \(2\) câu hỏi dễ, \(3\) câu trung bình có \(C_{10}^2.C_6^3 = 900\) đề.
- Phương án 3: Đề gồm \(2\) câu hỏi dễ, \(1\) câu trung bình và \(2\) câu khó có \(C_{10}^2.C_6^1.C_4^2 = 1620\) đề.
Áp dụng quy tắc cộng có \(2700 + 900 + 1620 = 5220\) đề.
b) Ta có: \(T = C_4^0 + 2C_4^1 + 4C_4^2 + 8C_4^3 + 16C_4^4\)
\( = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.2 + C_4^2{.1.2^2} + C_4^3{.1.2^3} + C_4^4{.1.2^4}\)
\( = {\left( {1 + 2} \right)^4}\)
\( = {3^4}\)
\( = 81\).
