Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 02
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Cho hàm số bậc hai \[y = a{x^2} + bx + c\] có \(a > 0\) và hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\). Hàm số đã cho có bảng xét dấu là
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có hàm số bậc hai \[y = a{x^2} + bx + c\] có \(a > 0\) và hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\) có bảng xét dấu là:
Hàm số \[y = - {x^2} + 2x - 3\] có đồ thị hàm số như hình vẽ:
Dựa vào đồ thị hàm số trên cho biết hàm số dương với giá trị \(x\) thuộc khoảng
\[\left( {0;1} \right)\];
\[\left( {1;3} \right)\];
\[\left( { - \infty ;2} \right)\];
\[\left( {2; + \infty } \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy, hàm số nằm phía trên trục hoành khi \(x \in \left( {1;3} \right)\) hay \(f\left( x \right) > 0\) với \(x \in \left( {1;3} \right)\).
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - 4x + 4 \ge 0\) là
\[S = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\];
\(S = \mathbb{R}\);
\[S = \left( {2; + \infty } \right)\];
\(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 4\) có \(\Delta = 0,\,a = 1 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = 2\)Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):
Do đó tập nghiệm \(S\) của bất phương trình là: \(S = \mathbb{R}\).
Cho phương trình\(\sqrt {x - 1} = 5 - m\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình có nghiệm?
\(3\);
\(4\);
\(5\);
\(6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện tồn tại căn: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\).
Để phương trình có nghiệm thì \(5 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5\).
Khi đó \(\sqrt {x - 1} = 5 - m \Leftrightarrow x - 1 = {\left( {5 - m} \right)^2}\)suy ra phương trình có nghiệm là \(x = {(5 - m)^2} + 1 \ge 1\) với mọi \(m\).
Vậy các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình có nghiệm là: \(m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).
Vậy có \(5\) giá trị của \(m\).
Góc giữa hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\,x - 2y + 15 = 0\] và \[{\Delta _2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.\,\,\left( {\,t \in \mathbb{R}\,} \right)\] bằng
\(5^\circ \);
\(60^\circ \);
\(0^\circ \);
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \[{\Delta _1}\]có một vectơ pháp tuyến là là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{\mkern 1mu} 1; - 2{\mkern 1mu} } \right)\).
Đường thẳng \[{\Delta _2}\]có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( { - 1;2} \right)\) suy ra \({\Delta _2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.2 + \left( { - 2} \right).1 = 0\) suy ra \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).
Vậy góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \(90^\circ \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {2; - 3} \right)\). Khi đó hoành độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là
\(2\);
\( - 3\);
\( - 1\);
\(5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(M\left( {2; - 3} \right)\) thì \(\overrightarrow {OM} \left( {2; - 3} \right)\).
Vậy hoành độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) bằng \(2\).
Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(5x - 12y - 6 = 0\) là
\(13\);
\( - 13\);
\( - 1\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :5x - 12y - 6 = 0\) là
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.1 - 12.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {6; - 7} \right),\,\,B\left( {0;8} \right)\) và trọng tâm \(G\left( {1; - 2} \right)\). Tọa độ điểm \(C\) là
\(C\left( { - 3; - 7} \right)\);
\(C\left( { - 5; - 3} \right)\);
\(C\left( {9; - 1} \right)\);
\(C\left( {\frac{7}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{6 + 0 + {x_C}}}{3}\\ - 2 = \frac{{ - 7 + 8 + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 3\\{y_C} = - 7\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 3; - 7} \right)\).
Cho đường thẳng \[\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.\]. Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[\Delta \] có tọa độ
\[\left( {5; - 3} \right)\];
\[\left( {6;2} \right)\];
\[\left( { - 1;3} \right)\];
\[\left( { - 5;3} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \[\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.\] có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left( { - 1;3} \right)\] suy ra có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\]. Do đó đường thẳng \[\Delta \] cũng có một vectơ pháp tuyến có tọa độ \[\left( {6;2} \right) = 2\left( {3;1} \right)\].
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \[M\left( {1;2} \right)\] và song song với đường thẳng \[\Delta :2x + 3y - 12 = 0\] có phương trình tổng quát là
\[2x + 3y - 8 = 0\];
\[2x + 3y + 8 = 0\];
\[4x + 6y + 1 = 0\];
\[4x - 3y - 8 = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \[\Delta :2x + 3y - 12 = 0\] nên phương trình đường thẳng \(d\) có dạng:
\[2x + 3y + c = 0\left( {c \ne - 12} \right)\].
Vì \(M\left( {1;2} \right) \in d\) nên thay \(x = 1\) và \(y = 2\) vào đường thẳng \[2.1 + 3.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 8\] (thỏa mãn điều kiện).
Vậy \(d:2x + 3y - 8 = 0.\)
Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :mx + y - m + 4 = 0\) bằng \(2\sqrt 5 \) là
\(\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\);
\(\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\);
\(m = - \frac{1}{2}\);
\(m = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là\[{d_{\left( {A,\Delta } \right)}} = \frac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1} \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\].
Trong mặt phẳng \[Oxy\], đường thẳng \[d:\,x - 2y - 1 = 0\] song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?
\[x + 2y + 1 = 0\];
\[2x - y = 0\];
\[ - x + 2y + 1 = 0\];
\[ - 2x + 4y - 1 = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét đáp án A: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[x + 2y + 1 = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;2} \right)\) là hai vectơ không cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[x + 2y + 1 = 0\] không song song.
Xét đáp án B: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[2x - y = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1} \right)\) là hai vectơ không cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[2x - y = 0\] không song song.
Xét đáp án C: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;2} \right)\) là hai vectơ cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] song song hoặc trùng nhau. Mặt khác điểm \(M(1;0)\) thuộc đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] và cũng thuộc đường thẳng \(d\) nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] trùng nhau.
Xét đáp án D: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 2;4} \right)\) là hai vectơ cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] song song hoặc trùng nhau. Mặt khác điểm \(M\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\) thuộc đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] nhưng không thuộc \(d\) nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] song song.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), tọa độ tâm \(I\) của đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\), \(C\left( {2;0} \right)\) là
\(I\left( {1;1} \right)\);
\(I\left( {0;0} \right)\);
\(I\left( {1;2} \right)\);
\(I\left( {1;0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Giả sử phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A,B,C\) có dạng \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\)
Vì ba điểm \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\), \(C\left( {2;0} \right)\) thuộc đường tròn nên ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}8b + c = - 16\\4a + 8b + c = - 20\\4a + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\).
Vậy \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\).
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(I\left( {1;1} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):3x + 4y - 2 = 0\). Đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) có bán kính \(R = {d_{\left( {I;d} \right)}} = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\).
Vậy đường tròn tâm \(I\left( {1;1} \right)\) bán kính \(R = 1\) có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4 = 0\) và điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\). Đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây đi qua \(A\) và là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\)?
\(4x - 3y + 10 = 0\);
\(6x + y + 4 = 0\);
\(3x + 4y + 10 = 0\);
\(3x - 4y + 11 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm là gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và có bán kính \(R = 2\).
Họ đường thẳng \(\Delta \) qua\(A\left( { - 1;2} \right)\) là \(a\left( {x + 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\), với \({a^2} + {b^2} \ne 0\).
Vì \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn nên: \({d_{\left( {O;\Delta } \right)}} = R\) hay \(\frac{{\left| {a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} = 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\3a = - 4b\end{array} \right.\).
Với \(a = 0\), chọn \(b = 1\) ta có \({\Delta _1}:y - 2 = 0\).
Với \(3a = - 4b\), chọn \(a = 4\) và \(b = - 3\) ta có :
\({\Delta _2}:4\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 10 = 0\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính của đường tròn là
Tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 3\);
Tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 9\);
Tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) bán kính \(R = 3\);
Tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) bán kính \(R = 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) có bán kính \(R\) có dạng:
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 3\).
Cho Parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\). Tiêu điểm của \(\left( P \right)\) là
\(F\left( {1;\,0} \right)\);
\(F\left( { - 1;\,0} \right)\);
\(F\left( {2;\,0} \right)\);
\(F\left( { - 2;\,0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình Parabol \(\left( P \right){y^2} = 4x\) vậy có \(2p = 4 \Leftrightarrow p = 2\)
Parabol \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {1;0} \right)\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], tìm tiêu cự của elip \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\].
\[3\];
\[6\];
\[4\];
\[5\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 16\end{array} \right. \Rightarrow {c^2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow c = 3\].
Vậy tiêu cự \[2c = 6\].
Cho điểm \(M\) nằm trên Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Nếu hoành độ điểm \(M\) bằng \(8\) thì khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu cự của \(\left( H \right)\) bằng
\(8 + 4\sqrt 5 \) và \(8 - 4\sqrt 5 \);
\(5\) và \(13\);
\(8 + \sqrt 5 \) và \(8 - \sqrt 5 \);
\(6\) và \(14\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Với \(x = 8\) ta có \(\frac{{{8^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 3\sqrt 3 \\y = 3\sqrt 3 \end{array} \right.\).
Suy ra có hai điểm \(M\) thoả mãn là \({M_1}\left( {8;\,\,3\sqrt 3 } \right)\) và \[{M_2}\left( {8;\,\, - 3\sqrt 3 } \right)\].
Ta có \(a = 4;\,b = 3 \Rightarrow c = 5\). Tiêu điểm của \(\left( H \right)\) là \({F_1}\left( { - 5;\,0} \right)\) và \({F_2}\left( {5;\,0} \right)\).
Khi đó:
\(\overrightarrow {{M_1}{F_1}} = \left( { - 13;\, - 3\sqrt 3 } \right) & \)và \(\overrightarrow {{M_2}{F_1}} = \left( { - 13;\,3\sqrt 3 } \right)\);
\(\overrightarrow {{M_1}{F_2}} = \left( { - 3;\, - 3\sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{F_2}} = \left( { - 3;\,3\sqrt 3 } \right)\).
Ta có \({M_1}{F_1} = {M_2}{F_1} = 14\) và \({M_1}{F_2} = {M_2}{F_2} = 6\) .
Vậy khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu cự bằng \(6\) và \(14\).
Một tổ có \(5\) học sinh nữ và \(6\) học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.
\[20\];
\[11\];
\[30\];
\[10\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Chọn học sinh nữ có \(5\) cách chọn.
Chọn học sinh nam có \(6\) cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng ta có: chọn một học sinh đi trực nhật có \(5 + 6 = 11\) cách.
Có bao nhiêu cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?
\({5^5}\);
\(5!\);
\(20\);
\(5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc là \(5!\).
Có \(4\) học sinh nam là \[{A_1};\,\,{A_2};\,\,{A_3};\,\,{A_4}\] và \(3\) học sinh nữ \({B_1};\,\,{B_2};\,\,{B_3}\) được xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp để các bạn nữ không ngồi cạnh nhau?
\(5\,\,040\);
\(144\);
\(720\);
\(210\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xếp \(3\) bạn nữ trước có \(3!\) cách xếp.
Xếp \(4\) bạn nam vào \(4\) khoảng trống còn lại có \(4!\) cách xếp.
Vậy có \(3!.4! = 144\)cách xếp để các bạn nữ không ngồi cạnh nhau.
Một tổ công nhân có \(12\) người. Cần chọn \(3\) người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
\(220\);
\(12!\);
\(1320\);
\(1230\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mỗi cách chọn \(3\) người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(12\) phần tử \(A_{12}^3 = 1320\).
Một nhóm gồm \[6\] học sinh nam và \[7\] học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra \[3\] học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam.
\(245\);
\(3480\);
\(336\);
\(251\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Chọn ra \[3\] học sinh tham gia văn nghệ trong \[13\] học sinh tùy ý có \[C_{13}^3\] cách.
Chọn ra \[3\] học sinh tham gia văn nghệ trong \[7\] học sinh nữ có \[C_7^3\] cách.
Vậy chọn ra \[3\] học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam có \[C_{13}^3 - C_7^3 = 251\].
Có \(5\) nhà toán học nam, \(3\) nhà toán học nữ và \(4\) nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác gồm \(3\) người cần có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý thì có bao nhiêu cách.
\(220\);
\(90\);
\(96\);
\(60\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Chọn ra \(3\) người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Chọn được \(1\) nhà vật lý nam, \(2\) nhà toán học nữ có \(C_4^1C_3^2 = 18\) cách chọn.
Trường hợp 2: Chọn được \(1\) nhà vật lý nam, \(1\) nhà toán học nữ và \(1\) nhà toán học nam có \(C_4^1C_3^1C_5^1 = 60\) cách chọn.
Trường hợp 3: Chọn được \(2\) nhà vật lý nam, \(1\) nhà toán học nữ có \(C_4^2C_3^1 = 18\) cách chọn.
Vậy, có \(18 + 60 + 18 = 96\) cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
Khai triển của \[{\left( {1 - 2x} \right)^5}\] là
\[5 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} - 80{x^4} - 32{x^5}\];
\[1 + 10x + 40{x^2} - 80{x^3} - 80{x^4} - 32{x^5}\];
\[1 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} + 80{x^4} - 32{x^5}\];
\[1 + 10x + 40{x^2} + 80{x^3} + 80{x^4} + 32{x^5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có
\[{\left( {1 - 2x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1{\left( { - 2x} \right)^1} + C_5^2{\left( { - 2x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - 2x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - 2x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 2x} \right)^5}\]\[ = 1 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} + 80{x^4} - 32{x^5}\].
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) có bao nhiêu số hạng?
\[6\];
\[3\];
\[5\];
\[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) có \(n + 1\) số hạng
Vậy trong khai triển của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) có \[4 + 1 = 5\] số hạng.
Tìm hệ số của số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \[{\left( {\frac{x}{2} + \frac{4}{x}} \right)^4}\]với \[x \ne 0\].
\(24\);
\(36\);
\(96\);
\(58\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\[{\left( {\frac{x}{2} + \frac{4}{x}} \right)^4} = C_4^0.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^4} + C_4^1.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^3}.\left( {\frac{4}{x}} \right) + C_4^2.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}.{\left( {\frac{4}{x}} \right)^2} + C_4^3.\left( {\frac{x}{2}} \right).{\left( {\frac{4}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{4}{x}} \right)^4}\]
\[ = \frac{{{x^4}}}{{16}} + 2{x^3} + 24 + \frac{{128}}{{{x^2}}} + \frac{{256}}{{{x^4}}}\].
Vậy hệ số của số hạng không chứa \[x\] trong khai triển là \[24\].
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) có bao nhiêu số hạng?
\[6\];
\[3\];
\[5\];
\[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) có \(n + 1\) số hạng
Vậy trong khai triển của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) có \[4 + 1 = 5\] số hạng.
Một đoàn đại biểu gồm \(5\) người được chọn ra từ một tổ gồm \(8\) nam và \(7\) nữ để tham dự hội nghị. Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\) người nữ là
\(\frac{{56}}{{143}}\);
\(\frac{{140}}{{429}}\);
\(\frac{1}{{143}}\);
\(\frac{{28}}{{715}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{15}^5\).
Gọi biến cố \(A\): “Chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\) người nữ” Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_7^2.C_8^3\).
Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{56}}{{143}}\).
Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng \[11\] là
\(\frac{1}{{18}}\);
\(\frac{1}{6}\);
\(\frac{1}{8}\);
\(\frac{2}{{25}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số phần tử không gian mẫu:\[n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\]
Biến cố tổng hai mặt là \[11\]: \[A = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\] nên \[n\left( A \right) = 2\].
Suy ra \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{{36}} = \frac{1}{{18}}\].
Một nhóm gồm \(8\) nam và \(7\) nữ. Chọn ngẫu nhiên \(5\) bạn. Xác suất để trong \(5\) bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:
\(\frac{{60}}{{143}}\);
\(\frac{{238}}{{429}}\);
\(\frac{{210}}{{429}}\);
\(\frac{{82}}{{143}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ”
Số phân tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = C_{15}^5\).
Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ”
Trường hợp 1: chọn 5 bạn trong đó có \(4\) nam, \(1\) nữ có: \(C_8^4.C_7^1\) cách
Trường hợp 2: cách chọn \(5\) bạn trong đó có \(3\) nam, \(2\) nữ có: \(C_8^3.C_7^2\) cách
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_8^4.C_7^1 + C_8^3.C_7^2 = 1666\).
Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1666}}{{C_{15}^5}} = \frac{{238}}{{429}}\).
Gieo đồng tiền hai lần. Số phần tử của biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng \[1\] lần là
\[2\];
\[4\];
\[5\];
\[6\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \(A\) là biến cố mặt ngửa xuất hiện đúng một lần, ta có: \[A = \left\{ {NS;SN} \right\}\]
Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 2\).
Cho biến cố \(M\) có xác suất xảy ra là \(0,4\). Xác suất xảy ra biến cố đối \(\overline M \) của biến cố \(M\) bằng
\(0,4\);
\(0,5\);
\(0,6\);
\(1,4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(P\left( M \right) + P\left( {\overline M } \right) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline M } \right) = 1 - P\left( M \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Rút ra một lá bài từ bộ bài \[52\] lá. Xác suất để được lá \(K\) là:
\[\frac{1}{{52}}\];
\[\frac{1}{{169}}\];
\[\frac{1}{{13}}\];
\(\frac{3}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{52}^1 = 52\)
Gọi \(A\) là biến cố: “Rút được lá \(K\) ”
Suy ra: số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_4^1 = 4\)
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{52}} = \frac{1}{{13}}\).
PHẦN TỰ LUẬN
a) Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = {x^2} - 2x - 2\).
b) Tìm \(x\) thỏa mãn \(A_x^3 + 5A_x^2 \le 21x\).
Hướng dẫn giải
a) Xét phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = {x^2} - 2x - 2\)
\( \Rightarrow \left| {x - 2} \right| = {x^2} - 2x - 2\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = {x^2} - 2x - 2\\ - x + 2 = {x^2} - 2x - 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x = 0\\{x^2} - x - 4 = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\\x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}\\x = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình ta thấy \(x = 3\) và \(x = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}\) thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{1 - \sqrt {17} }}{2};3} \right\}\).
b) Điều kiện \(x \in \mathbb{N},x \ge 3\)
Xét \(A_x^3 + 5A_x^2 \le 21x\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 3} \right)!}} + \frac{{5.x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} \le 21x\)
\( \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) \le 21x\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 + 5x - 5 \le 21\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 24 \le 0\)
\( \Leftrightarrow - 6 \le x \le 4\)
Mà \(x \in \mathbb{N},x \ge 3\) nên \(x \in \left\{ {3;4} \right\}\).
Vậy \(x = 3\) hoặc \(x = 4\).
Cho tam giác \(ABC\) biết \(H\left( {3;2} \right)\), \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)\) lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác, đường thẳng \(BC\) có phương trình \(x + 2y - 2 = 0\). Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)?
Hướng dẫn giải
Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {HI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {HG} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 3 = \frac{3}{2}\left( {\frac{5}{3} - 3} \right)\\{y_I} - 2 = \frac{3}{2}\left( {\frac{8}{3} - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = 1\\{y_I} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;3} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow IM \bot BC\) \( \Rightarrow IM:2x - y + c = 0\).
Vì \(I \in IM \Rightarrow 2.1 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = 1\)
\( \Rightarrow IM:2x - y + 1 = 0\)
\(M = IM \cap BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 1\\x + 2y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;1} \right)\).
Lại có: \(\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MG} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3.\frac{5}{3}\\{y_A} - 1 = 3.\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;6} \right)\) .
Suy ra: đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;3} \right)\) bán kính \(R = IA = 5\).
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).
Một chi đoàn có \(3\) đoàn viên nữ và một số đoàn viên nam. Cần lập một đội thanh niên tình nguyện gồm \(4\) người. Biết xác suất để trong \(4\) người được chọn có \(3\) nữ bằng \(\frac{2}{5}\) lần xác suất \(4\) người được chọn toàn nam. Hỏi chi đoàn đó có bao nhiêu đoàn viên.
Hướng dẫn giải.
Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là \(n\left( {n \ge 7,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là \(n - 3\).
Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện trong đó có \(3\) nữ là \(\frac{{C_3^3.C_{n - 3}^1}}{{C_n^4}}\).
Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện có toàn nam là \(\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}}\).
Theo giả thiết, ta có \(\frac{{C_3^3.C_{n - 3}^1}}{{C_n^4}} = \frac{2}{5}.\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}} \Leftrightarrow C_{n - 3}^1 = \frac{2}{5}C_{n - 3}^4\).
\[ \Leftrightarrow \left( {n - 3} \right) = \frac{2}{5}\frac{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 6} \right)\left( {n - 7} \right)!}}{{4!\left( {n - 7} \right)!}} \Leftrightarrow \left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 6} \right) = 60\]
\( \Leftrightarrow {n^3} - 15{n^2} + 74n - 180 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {n - 9} \right)\left( {{n^2} - 6n + 20} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - 9 = 0\\{n^2} - 6n + 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 9\) (do \({n^2} - 6n + 20 = 0\) vô nghiệm).
Vậy cho đoàn có \(9\) đoàn viên.
