Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 08
38 câu hỏi
I. TRẮC NGHIỆM
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn?
\[99\];
\[50\];
\[20\];
\[10\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {ab} \]
Vì đều là số chẵn nên
\[a\] có \(4\) cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong bốn số \(2;4;6;8\))
\[b\] có \(5\) cách chọn (vì \(b\) được chọn từ một trong năm số \(0;2;4;6;8\))
Như vậy, ta có \[4.5 = 20\] số cần tìm.
Phương tiện bạn Hà có thể chọn đi từ Lạng Sơn xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt được thể hiện qua sơ đồ cây sau:
Liệt kê tất cả các cách mà bạn Hà đi từ Lạng Sơn xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt.
Xe khách, tàu, xe máy, máy bay;
Xe khách – Xe khách, Tàu – Máy bay, Xe máy – Xe khách;
Xe khách – Xe khách, Xe khách – Máy bay, Tàu – Xe khách, Tàu – Máy bay, Xe máy – Xe khách, Xe máy – Máy bay;
Xe khách – Xe khách, Xe khách – Máy bay, Xe khách – Tàu, Tàu – Xe khách, Tàu – Máy bay, Tàu – Tàu, Xe máy – Xe khách, Xe máy – Máy bay, Xe máy - Tàu.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Dựa vào sơ đồ cây tất cả các cách bạn Hà đi từ Lạng Sơn xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt là: Xe khách – Xe khách, Xe khách – Máy bay, Tàu – Xe khách, Tàu – Máy bay, Xe máy – Xe khách, Xe máy – Máy bay.
Cho tập \(A\) có phần tử \(\left( {n \in \mathbb{N},n \ge 2} \right)\), \(k\) là số nguyên thỏa mãn \(1 \le k \le n\). Số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử trên là
\(n.k\);
\(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\);
\(\frac{n}{k}\);
\(\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử trên là
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}\).
Cho \(10\) điểm phân biệt nằm trong mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong \(10\) điểm đó?
\(45\);
\(6\);
\(90\);
\(20\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Các đoạn thẳng được lập không phân biệt điểm đầu và điểm cuối (ví dụ đoạn thẳng \(AB\) và đoạn thẳng \(BA\) là giống nhau).
Vậy cứ hai điểm phân biệt sẽ cho ta một đoạn thẳng.
Số đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong tám điểm nói trên là \(C_{10}^2 = 45\) đoạn thẳng.
Cho biểu thức \({\left( {a + b} \right)^n}\), với \(n = 4\) ta có khai triển là
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} - C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} - C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = - C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} - C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} - C_4^4.{b^4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Khai triển với \(n = 4\) là:
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0\) là
\(\left( {1;2} \right)\);
\(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;1} \right)\);
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right):{x^2} - 3x + 2\) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.2 = 1 > 0\).
Do đó \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 1 }}{{2.1}} = 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 1 }}{{2.1}} = 2.\)
Ta lại có \(a = 1 > 0\).
Do đó ta có:
⦁ \(f\left( x \right)\) âm trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\);
⦁ \(f\left( x \right)\) dương trên hai khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\);
⦁ \(f\left( x \right) = 0\) khi \(x = 1\) hoặc \(x = 2\).
Vì vậy bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0\) có tập nghiệm là \(\left( {1;2} \right)\).
Có bao nhiêu cách chọn \(5\) cầu thủ từ \(11\) trong một đội bóng để thực hiện đá \(5\) quả luân lưu \(11{\rm{ m}}\), theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm.
\(A_{11}^5\);
\(C_{11}^5\);
\(A_{11}^2.5!\);
\(C_{10}^5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số cách chọn \(5\) cầu thủ từ \(11\) trong một đội bóng để thực hiện đá \(5\) quả luân lưu \(11{\rm{ m}}\), theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm là số chỉnh hợp chập \(5\) của \(11\) phần tử nên số cách chọn là \(A_{11}^5\).
Giá trị của biểu thức \({\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^4} + {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^4}\) bằng
\(28 + 16\sqrt 3 \);
\(28\);
\(56 + 32\sqrt 3 \);
\(56\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
⦁ \[{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^4} = {1^4} + {4.1^3}.\sqrt 3 + {6.1^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + 4.1.{\left( {\sqrt 3 } \right)^3} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^4}\].
⦁ \[{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^4} = {1^4} + {4.1^3}.\left( { - \sqrt 3 } \right) + {6.1^2}.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} + 4.1.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^3} + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^4}\].
Suy ra \({\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^4} + {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^4} = 2.\left[ {{1^4} + {{6.1}^2}.{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^4}} \right]\)
\( = 2.\left( {1 + 6.1.3 + 9} \right) = 56\).
Vậy ta chọn phương án D.
Gieo một đồng xu ba lần liên tiếp. Xác suất để xuất hiện ít nhất một lần mặt ngửa là
\(\frac{7}{8}\);
\(\frac{1}{8}\);
\(0,25\);
\(0,5\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi \(S\) là kí hiệu khi đồng xu xuất hiện mặt sấp, \(N\) là kí hiệu khi đồng xu xuất hiện mặt ngửa.
Không gian mẫu là:
\(\Omega = \left\{ {SSS;SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN} \right\}\)nên \(n\left( \Omega \right) = 8\).
Gọi biến cố \(A\): “ít nhất một lần mặt ngửa”. Các kết quả thuận lợi của biến cố \(A\) là:
\(SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN\). Do đó \(n\left( A \right) = 7\).
Vậy \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{7}{8}\).
Một lớp có 15 bạn nam và 17 bạn nữ. Lấy ngẫu nhiên 3 bạn để làm đội kỉ luật. Xác suất để đội kỉ luật có ít nhất một bạn nữ là
\(\frac{{900}}{{992}}\);
\(\frac{{901}}{{992}}\);
\(\frac{{91}}{{992}}\);
\(\frac{1}{{992}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tổng số học sinh trong lớp: \(15 + 17 = 32\)(học sinh)
Biến cố \(A\): “đội kỉ luật có ít nhất một bạn nữ”
Biến cố đối \(\overline A \): “đội kỉ luật không có bạn nữ nào” tức là chỉ có \(3\) bạn nam
Ta có:
\(n\left( \Omega \right) = C_{32}^3 = 4960\)
\(n\left( {\overline A } \right) = C_{15}^3 = 455\)
Do đó, \(P(\overline A ) = \frac{{n(\overline A )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{455}}{{4960}} = \frac{{91}}{{992}}\)
Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{91}}{{992}} = \frac{{901}}{{992}}\).
Cho biến cố \(A\) có biến cố đối \(\overline A \). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(0 \le P\left( A \right)\) hoặc \(P\left( A \right) \ge 1\);
\(P\left( A \right) - P\left( {\overline A } \right) = 1\);
\(0 \le P\left( {\overline A } \right) \le 1\);
\(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Cho biến cố \(A\) có biến cố đối \(\overline A \). Ta có: \(P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 1\) và \(0 \le P\left( A \right),P\left( {\overline A } \right) \le 1\).
Do đó C đúng.
Trong mặt phẳng \[Oxy\], đường thẳng \[d:\,x - 2y - 1 = 0\] song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?
\[x + 2y + 1 = 0\];
\[2x - y = 0\];
\[ - x + 2y + 1 = 0\];
\[ - 2x + 4y - 1 = 0\];
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(x + 2y + 1 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;2} \right)\) không cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(x + 2y + 1 = 0\) không song song.
+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(2x - y = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1} \right)\) không cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(2x - y = 0\) không song song.
+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \( - x + 2y + 1 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;2} \right)\) cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \( - x + 2y + 1 = 0\) song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm \(M\left( {3;1} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) và cũng thuộc đường thẳng \( - x + 2y + 1 = 0\) nên hai đường thẳng trùng nhau.
+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \( - 2x + 4y - 1 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 2;4} \right)\) cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \( - 2x + 4y - 1 = 0\) song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm \(M\left( {3;1} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) và nhưng không thuộc đường thẳng \( - 2x + 4y - 1 = 0\) nên hai đường thẳng song song.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây đúng?
\[\vec a\] được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) nếu \(\vec a \ne \vec 0\) và giá của \[\vec a\] song song hoặc trùng với \(d\);
\(\vec n\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) nếu \(\vec n \ne \vec 0\) và giá của \(\vec n\) vuông góc với \(d\);
Nếu \[\vec a\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) thì \(k\vec a\,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\);
Cả A, B đều đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương án A, B đúng.
Phương án C sai. Sửa lại: Nếu \[\vec a\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) thì \(k\vec a\,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Vậy ta chọn phương án D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)\). Biết \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0.\) Xác định vị trí tương đối giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương;
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng;
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng;
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\).
Do đó \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right),B\left( { - 6;2} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 6 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {3; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 9;3} \right) = - 3\left( {3; - 1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\).
Cho điểm \(M\) có hoành độ nhỏ hơn \( - 3\) nằm trên \(\Delta :x + y - 1 = 0\) và cách \(N\left( { - 3;4} \right)\) một khoảng bằng \(\sqrt 2 \). Khi đó tọa độ điểm \(M\) là
\(M\left( { - 2;3} \right)\);
\(M\left( { - 4;5} \right)\);
Cả A và B đều đúng;
Không tồn tại điểm \(M\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(\Delta :x + y - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;1} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương \(\left( {1; - 1} \right)\). Lấy điểm \(\left( {0;1} \right)\) thuộc \(\Delta \), khi đó phương trình tham số của \(\Delta \) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\x = 1 - t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {t;1 - t} \right)\,\,\left( {t < - 3} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} \left( { - 3 - t;t + 3} \right) \Rightarrow MN = \sqrt 2 \left| {t + 3} \right|\)
Mà \(MN = \sqrt 2 \) nên \(\sqrt 2 \left| {t + 3} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {t + 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 3 = 1\\t + 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = - 4\end{array} \right.\).
Do đó \(t = - 4\) thỏa mãn vậy \(M\left( { - 4;5} \right)\).
Xác định vị trí tương đối của \(2\) đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) biết chúng lần lượt có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;3} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6;9} \right)\).
\({d_1}\) và \({d_2}\) tạo với nhau một góc \(30^\circ \);
\({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song hoặc trùng nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\[{\rm{cos}}\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {{d_1};{d_2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.6 + 3.9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} .\sqrt {{6^2} + {9^2}} }} = 1\]
Vậy góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng \(0^\circ \) hay hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) song song hoặc trùng nhau.
Khoảng cách từ điểm \[O\left( {0;0} \right)\] tới đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] là:
\[d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {0.x + 0.y + c} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2}} }}\];
\[d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{a.0 + b.0 + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\];
\[d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\];
\[d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {a.0 + b.0 + c} \right|\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Khoảng cách từ điểm \[O\left( {0;\,\,0} \right)\] tới đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] là: \[d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a.0 + b.0 + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\),\(n\)cho hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \({\vec a_1}\), \({\vec a_2}\). Nếu hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) song song thì
\({\vec a_1}\) cùng phương với \({\vec a_2}\);
\({\vec a_1}\) không cùng phương với \({\vec a_2}\);
\(\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} = \overrightarrow 0 \);
Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Nếu hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) song song thì \({\vec a_1}\) cùng phương với \({\vec a_2}\).
Cho \(d\) là đường thẳng có phương trình tham số như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t + 1\\y = 3t + 2\end{array} \right.\). Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d\)?
\(A\left( {2;4} \right)\);
\(B\left( {3;5} \right)\);
\(C\left( {10;1} \right)\);
\(D\left( {3; - 10} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Thay điểm A(2; 4) vào phương trình tham số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = 2t + 1\\4 = 3t + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)(vô lí).
Vậy A(2; 4) không thuộc đường thẳng d.
Tương tự điểm C(10; 1) và điểm D(3; ‒10) không thuộc đường thẳng d.
Thay điểm B(3; 5) vào phương trình tham số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3 = 2t + 1\\5 = 3t + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1\).
Vậy B(3; 5) thuộc đường thẳng d.
Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 2\sqrt 3 y + \sqrt 5 = 0\) và \({\Delta _2}:y - \sqrt 6 = 0\) là:
\(60^\circ \);
\(125^\circ \);
\(145^\circ \);
\(30^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = \left( {2;2\sqrt 3 } \right),\,\,{\vec n_2} = \left( {0;1} \right)\).
Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra (∆1, ∆2) = 30°.
Vậy ta chọn phương án D.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {a;b} \right)\) di động trên đường thẳng \(d:2x + 5y - 10 = 0\). Tìm \(a,b\) để khoảng cách ngắn nhất từ điểm \(A\) đến điểm \(M\), biết điểm \(A\left( {3; - 1} \right)\).
\(a = \frac{{111}}{{29}}\) và \(b = \frac{{26}}{{29}}\);
\(a = \frac{{10}}{{29}}\) và \(b = \frac{{16}}{{29}}\);
\(a = \frac{{105}}{{29}}\) và \(b = \frac{{16}}{{29}}\);
\(a = \frac{{15}}{{29}}\) và \(b = \frac{{16}}{{29}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Kẻ \(AH \bot d\) (tại \(H\))
Ta có: \(AM \ge AH\) (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)
Do đỏ để \(AM\) ngắn nhất thì \(M\) trùng \(H\).
Đường thẳng \(d:2x + 5y - 10 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\left( {2;5} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\left( {5; - 2} \right)\).
Khi đó phương trình đường thẳng \(AH\) nhận \(\left( {5; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đi qua \(A\left( {3; - 1} \right)\) có phương trình là:
\(5\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y - 17 = 0\).
Tọa độ của điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 10 = 0\\5x - 2y - 17 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{105}}{{29}}\\y = \frac{{16}}{{29}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{105}}{{29}};\frac{{16}}{{29}}} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0\) có tâm là
\[I\left( { - 2; - 3} \right)\];
\[I\left( {2;3} \right)\];
\[I\left( {4;6} \right)\];
\[I\left( { - 4; - 6} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình đường tròn là:
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\).
Vậy tâm đường tròn là: \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).
Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
\({a^2} + {b^2} \ge c\);
\({a^2} + {b^2} < c\);
\({a^2} + {b^2} > c\);
\({a^2} + {b^2} \le c\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
\({a^2} + {b^2} > c\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {4;4} \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?
\(M\left( {1;5} \right)\);
\(N\left( {0;0} \right)\);
\(P\left( {5;2} \right)\);
\(Q\left( {12;1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {IA} \left( {1;3} \right)\)
Khi đó phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {4;4} \right)\) là:
\(x - 4 + 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 16 = 0\).
Ta có \(M\left( {1;5} \right)\) là điểm thỏa mãn phương trình trên.
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{49}} = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình chính tắc của Elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\) với \(a = 7,b = 6\) thỏa mãn \(a > b > 0\).
Phương trình chính tắc của Parabol \(\left( P \right)\) có đường chuẩn \(\Delta :3x + 5 = 0\) là
\({y^2} = \frac{{20}}{3}x\);
\({y^2} = \frac{{10}}{3}x\);
\({y^2} = 20x\);
\({y^2} = 5x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(3x + 5 = 0 \Leftrightarrow x + \frac{5}{3} = 0 \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow p = \frac{{10}}{3}\)
Vì vậy phương trình chính tắc của Parabol \(\left( P \right)\) là \({y^2} = \frac{{20}}{3}x\).
Cho Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) và đường thẳng \(\Delta :x + y = 3\). Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\) đến \(\Delta \) bằng giá trị nào sau đây?
\(16\);
\(8\);
\(64\);
\(7\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\end{array} \right.\)
Ta có \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 + 9 = 25\).
Suy ra \(c = 5\).
Khi đó hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\) là \(\overrightarrow {{F_1}} \left( { - 5;0} \right),\overrightarrow {{F_2}} \left( {5;0} \right)\).
Ta có \(\Delta :x + y = 3 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\).
Ta có \(d\left( {{F_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 4\sqrt 2 \) và \[d\left( {{F_2},\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \].
Khi đó tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\) đến \(\Delta \) là: \(4\sqrt 2 .\sqrt 2 = 8\).
Vậy ta chọn phương án B.
Kí hiệu nào sau đây là kí hiệu của biến cố chắc chắn?
\(\Omega \);
\(\emptyset \);
\(M\);
\(P\left( A \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Biến cố chắc chắn là \(\Omega \).
Chọn ngẫu nhiên một số có \(2\) chữ số nhỏ hơn \(40\). Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố: “Số được chọn là số chia hết cho \(5\)” là
\(\left\{ {10;\,\,15;\,\,20;\,\,25;\,\,30;\,\,35} \right\}\);
\(\left\{ {10;\,\,15;\,\,20;\,\,25;\,\,30;\,\,35;\,\,40} \right\}\);
\(\left\{ {10;\,\,15;\,\,20;\,\,25;\,\,30} \right\}\);
\(\left\{ {15;\,\,20;\,\,25;\,\,30;\,\,35;\,\,40} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố: “Số được chọn là số chia hết cho \(5\)” là:
\(\left\{ {10;\,\,15;\,\,20;\,\,25;\,\,30;\,\,35} \right\}\).
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = x\);
\(y = - \sqrt {x + 1} \);
\(y = - 3{x^2} + 2x\);
\(y = - \frac{1}{2}x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Hàm số \(y = x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(y = - \sqrt {x + 1} \) có tập xác định là \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\).
+) Hàm số \(y = - 3{x^2} + 2x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và \( - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.\left( { - 3} \right)}} = \frac{1}{3}\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
+) Hàm số \(y = - \frac{1}{2}x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và \(a = - \frac{1}{2} < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có ai là:
\(\frac{3}{4}\);
\(\frac{3}{{16}}\);
\(\frac{{13}}{{16}}\);
\(\frac{1}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Không gian mẫu của phép thử trên là số cách xếp \(4\) hành khách lên \(4\) toa tàu.
Vì chọn mỗi hành khách có \(4\) cách chọn toa nên ta có \({4^4}\) cách xếp.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {4^4}\).
Gọi biến cố A: “\(1\) toa có \(3\) người, \(1\) toa có \(1\) người và \(2\) toa còn lại không có ai”.
Để tìm số phần tử của biến cố A, ta chia thành hai giai đoạn như sau:
Giai đoạn 1: Chọn \(3\) hành khách trong số \(4\) hành khách và chọn \(1\) toa trong số \(4\) toa.
Sau đó xếp lên toa đó \(3\) hành khách vừa chọn.
Khi đó ta có \(C_4^3.C_4^1\) cách.
Giai đoạn 2: Chọn \(1\) toa trong số \(3\) toa còn lại và xếp \(1\) hành khách còn lại lên toa đó.
Suy ra có \(C_3^1\) cách. Hiển nhiên khi đó \(2\) toa còn lại sẽ không có hành khách nào.
Theo quy tắc nhân, ta có \(n\left( A \right) = C_4^3.C_4^1.C_3^1\).
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_4^3.C_4^1.C_3^1}}{{{4^4}}} = \frac{3}{{16}}\).
Ta chọn phương án B.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 2 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) song song với \(\left( d \right):4x - 3y + 3 = 0\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\) là
\(4x - 3y + 3 = 0\);
\(4x - 3y - 17 = 0\);
\(4x - 3y - 5 = 0\);
\(4x - 3y - 9 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\)
Khi đó tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(I\left( {1; - 1} \right)\) và \(R = 2\).
Vì đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) song song với \(\left( d \right):4x - 3y + 3 = 0\) nên \(\left( \Delta \right)\) có dạng \(4x - 3y + c = 0\left( {c \ne 3} \right)\).
Ta có đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) nên:
\(d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.1 - 3.\left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {c + 7} \right|}}{5} = 2\)
\( \Leftrightarrow \left| {c + 7} \right| = 10\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c + 7 = 10\\c + 7 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 3\\c = - 17\end{array} \right.\)
Vậy tiếp tuyến là \(4x - 3y - 17 = 0.\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có phương trình cạnh \(AB\) là \(x - y - 2 = 0,\) phương trình cạnh \(AC\) là \(x + 2y - 5 = 0\). Biết trọng tâm của tam giác là điểm \(G\left( {3;2} \right)\) và phương trình đường thẳng \(BC\) có dạng \(x + my + n = 0.\) Tìm \(m + n.\)
\(3\);
\(2\);
\(5\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y - 2 = 0}\\{x + 2y - 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) suy ra \(A\left( {3;1} \right)\)
Gọi \(B\left( {b;\,b - 2} \right)\) và \(C\left( {5 - 2c;\;c} \right)\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(b,\;c\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - 2c + b + 3 = 9}\\{c + b - 2 + 1 = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 5}\\{c = 2}\end{array}} \right.\).
Vậy \[B(5;3);\,C(1;2)\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( { - 4; - 1} \right)\]
Phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {1;2} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - 4} \right)\) có dạng \(BC:1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow BC:x - 4y + 7 = 0\).
Vậy ta có \(m = - 4;n = 7 \Rightarrow m + n = 3\).
Phép thử là
một thí nghiệm hay một hành động biết trước kết quả trước khi thực hiện phép thử;
tập hợp các kết quả có thể x\(a,b\)ảy ra của phép thử;
một thí nghiệm hay một hành động không biết trước kết quả trước khi thực hiện phép thử;
một cách sắp xếp \(k\) phần tử nào đó vào \(n\) vị trí.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động không biết trước kết quả trước khi thực hiện phép thử.
II. PHẦN TỰ LUẬN
Cho nhị thức \({\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\), trong đó số nguyên \(n\) thỏa mãn \(A_n^3 = 12n\). Tìm số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển.
Hướng dẫn giải
Xét phương trình \(A_n^3 = 12n\) (n ≥ 3)
\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} = 12n\)
\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12n\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 2\end{array} \right.\)
Do đó chỉ có \(n = 5\) thỏa mãn điều kiện.
Khi đó \({\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^2}} \right)^5} + 5.{\left( {2{x^2}} \right)^4}.\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right) + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^3}\)
\( + 5.\left( {2{x^2}} \right).{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}\)
\( = 32{x^{10}} + 80{x^5} + 80 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{10}}{{{x^{10}}}} + \frac{1}{{{x^{15}}}}\).
Vậy số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển là \(80{x^5}\).
Một bàn dài có hai dãy ghế ngồi đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Người ta xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trường A và 4 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp, sao cho bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau khác trường với nhau?
Hướng dẫn giải
Ta có sơ đồ sau:
Dãy ghế thứ nhất | 1 | 2 | 3 | 4 |
Dãy ghế thứ hai | 5 | 6 | 7 | 8 |
Ở ghế 1: có \(8\) cách chọn học sinh ngồi vào ghế
Ở ghế 5: có \(4\) cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).
Ở ghế 2: có \(6\) cách chọn học sinh ngồi vào ghế
Ở ghế 6: có \(3\) cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).
Ở ghế 3: có \(4\) cách chọn học sinh ngồi vào ghế
Ở ghế 7: có \(2\) cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).
Ở ghế 4: có \(2\) cách chọn học sinh ngồi vào ghế
Ở ghế 8: có \(1\) cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).
Vậy có: \(8.4.6.3.4.2.2.1 = 9\,\,216\) cách xếp sao cho bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau khác trường với nhau.
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\left( {2;\,\,2} \right)\), điểm \(D\) là chân đường phân giác ngoài của góc \[\widehat {BAC}\]. Đường thẳng \(AD\) cắt đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC\) tại điểm thứ hai là \(M\) . Biết điểm \(J\left( { - 2;\,\,2} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ACD\) và phương trình đường thẳng \(CM\) là: \(x + y - 2 = 0.\) Tìm tổng hoành độ của các đỉnh \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] của tam giác \(ABC\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\widehat {BCM} = \widehat {BAM}\) \(\left( 1 \right)\)
\(\widehat {BAM} = \widehat {MAT} = \widehat {DAC}\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {BCM}\), mà \(\widehat {BCM} = \widehat {CDA} + \widehat {AMC},\,\,\widehat {DAC} = \widehat {ACM} + \widehat {AMC}\) từ đó suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {ACM}\), do đó\(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) có tâm \(J\) nên \(JC \bot MC\). Hay \(C\) là hình chiếu của \(J\) lên đường thẳng \(CM\).
Đường thẳng qua \(J\) và vuông góc với \(CM\) có phương trình:
\(\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\)
Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x - y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 1;\,\,3} \right)\).
\(AC\) là đường thẳng qua \(C\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {IJ} \left( { - 4;\,\,0} \right)\) nên có phương trình: \( - 4\left( {x + 1} \right) + 0\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0\).
Do đó tọa độ điểm \(A\) có dạng \(A\left( { - 1;\,\,a} \right)\). Ta có
\(I{A^2} = I{C^2} \Leftrightarrow 9 + {\left( {a - 2} \right)^2} = 9 + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right.\).
Vì \(A \ne C\) nên \(A\left( { - 1;\,\,1} \right)\).
Tọa độ điểm \(M\) có dạng \(M\left( {m;\,\,2 - m} \right)\). Ta có
\(I{M^2} = I{C^2} \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + {m^2} = 10 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 3\end{array} \right.\).
Vì \(M \ne C\) nên \(M\left( {3;\,\, - 1} \right)\).
\(BC\) là đường thẳng qua \(C\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {MI} \left( { - 1;\,\,3} \right)\) nên có phương trình:
\( - \left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 10 = 0\).
Tọa độ điểm \(B\) có dạng \(B\left( {3b - 10;\,\,b} \right)\). Ta có
\(I{B^2} = I{C^2} \Leftrightarrow {\left( {3b - 12} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 3\\b = \frac{{23}}{5}\end{array} \right.\).
Vì \(B \ne C\) nên \(B\left( {\frac{{19}}{5};\,\,\frac{{23}}{5}} \right)\).
Vậy tổng hoành độ của các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\) là \( - 1 - 1 + \frac{{19}}{5} = \frac{9}{5}\).
