Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 09
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Điều kiện xác định của phương trình: \(\sqrt {2x - 3} = {x^2} - x - 2\) là
\(x \ge \frac{3}{2}\);
\(x = - 1\) và \(x = 2\);
\( - 1 \le x \le 2\);
\(x \le - 1\) hoặc \(x \ge 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét phương trình \(\sqrt {2x - 3} = {x^2} - x - 2\)
Điều kiện xác định của phương trình là \({x^2} - x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 2\end{array} \right.\).
Điều kiện của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^2} - \left( {5 - {m^2}} \right)x + 3\) là tam thức bậc hai
\(m \ne \pm \sqrt 5 \);
\(m \in \mathbb{R}\);
\(m \in \emptyset \);
\(m \ne \pm 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Để hàm số \(y = {x^2} - \left( {5 - {m^2}} \right)x + 3\) là tam thức bậc hai thì (luôn đúng với mọi \(m\)).
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 4x - 3 \le 2\) có dạng \(S = \left[ {a;b} \right]\). Giá trị biểu thức \(a - b\) bằng
\(4\);
\(6\);
\[ - 6\];
\( - 2\sqrt 7 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \({x^2} - 4x - 3 \le 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 \le 0\)
Xét hàm số \(f(x) = {x^2} - 4x - 5\) là tam thức bậc hai có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 36 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 5\).
Áp dụng đinh lí về dấu ta có \(f(x) \le 0\) khi \(x \in \left[ { - 1;5} \right]\).
Do đó \(S = \left[ { - 1;5} \right] \Rightarrow a = - 1,b = 5 \Rightarrow a - b = - 1 - 5 = - 6\).
Cho hàm số bậc hai có đồ thị như sau:
Hàm số nhận giá trị dương trên khoảng
\(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\);
\(\left( {0;3} \right)\);
\(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nằm phía trên trục hoành hay hàm số nhận giá trị dương khi \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow v = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là
\(\overrightarrow v = \left( {2;\,\,0} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 2;\,\,1} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( {2;\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 2;\,\,0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow v = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\overrightarrow v = \left( { - 2;\,\,1} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2;\,\, - 3} \right)\) và \(B\left( { - 5;\, - 4} \right)\). Khoảng cách giữa \(A\) và \(B\) là
\(5\sqrt 2 \);
\(2\sqrt 5 \);
\(\sqrt {58} \);
\(8\sqrt 5 \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Khoảng cách giữa \(A\) và \(B\) là \(AB = \sqrt {{{\left( { - 5 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {7; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {3; - 4} \right)\). Giá trị của \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) là
29;
13;
\( - \,26\);
\(5\sqrt {33} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 7 \cdot 3 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 29\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\] là
\(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\]có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 3} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow u \left( {2;5} \right)\) là vectơ chỉ phương là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 + 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 3 + 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 - 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 3 + 5t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow u \left( {2;5} \right)\) là vectơ chỉ phương có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 + 5t\end{array} \right.\).
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 9 - 2t\end{array} \right.\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là
\(2x + y - 1 = 0\);
\( - 2x + y - 1 = 0\);
\(x + 2y + 1 = 0\);
\(2x + 3y - 1 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 9} \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2} \right)\) vậy đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2;1} \right)\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) có dạng: \(2\left( {x - 5} \right) + 1\left( {y + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\).
Kết luận nào đúng về hai đường thẳng \({d_1}:7x - 3y + 6 = 0\) và \({d_2}:2x - 5y - 4 = 0\)?
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau;
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {7; - 3} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 5} \right)\) không cùng phương nên \({d_1}\) và \({d_2}\) không song song.
Xét \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 7.2 + \left( { - 3} \right).\left( { - 5} \right) = 29 \ne 0\) nên \({d_1}\) và \({d_2}\) không vuông góc với nhau. Vậy kết luận C đúng.
Phương trình đường thẳng nào sau đây tạo với đường thẳng \(d:2x - \,y\, - 1\, = 0\) một góc \(45^\circ \)?
\(2x - y + 5 = 0\);
\(x - y - 5 = 0\);
\(x + 3y = 0\);
\(x - 3y - 2 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_1}:2x - y + 5 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_1}} \left( {2; - 1} \right)\) cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(2x - y + 5 = 0\) song song hoặc trùng nhau. Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng \(0^\circ \). Do đó A sai.
+) Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_2}:x - y - 5 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {1; - 1} \right)\).
Ta có: \[{\rm{cos}}\left( {d;{d_2}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\].
Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng \(18,4^\circ \). Do đó B sai.
+) Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_3}:x + 3y = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_3}} \left( {1;3} \right)\)
Ta có: \[{\rm{cos}}\left( {d;{d_3}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\].
Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng \(81,9^\circ \). Do đó C sai.
+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_4}:x - 3y - 2 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_4}} \left( {1; - 3} \right)\).
Ta có: \[{\rm{cos}}\left( {d;{d_4}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_4}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\].
Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng \(45^\circ \). Do đó D đúng.
Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng \({d_1}:2x + y + 4 - m = 0\) và \({d_2}:\left( {m + 3} \right)x + y + 2m - 1 = 0\) song song?
\(m = 1\);
\(m = - 1\);
\(m = 2\);
\(m = 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Với \(m = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x + y = 0\\{d_2}:7x + y + 7 = 0\end{array} \right.\)
Đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;1} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {7;1} \right)\) không cùng phương nên đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\) không song song.
Vậy \(m = 4\) không thoả mãn.
+) Với \(m\not = 4\) thì đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;1} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {m + 3;1} \right)\)
Để đường thẳng thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \(a = 1 \ne 0\) song song thì\(\frac{{m + 3}}{2} = \frac{1}{1}\not = \frac{{ - 2m - 1}}{{4 - m}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\m\not = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho đường tròn \[\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\]. Đường tròn có tâm và bán kính là
\[I\left( {2;3} \right),\,\,R = 9\];
\[I\left( {2; - 3} \right),\,\,R = 3\];
\[I\left( { - 3;2} \right),\,\,R = 3\];
\[I\left( { - 2;3} \right),\,\,R = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) có bán kính \(R\) có dạng :
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)
Vậy đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
Từ một điểm nằm ngoài đường tròn có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn đó?
\(0\);
\(1\);
\(2\);
vô số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Từ một điểm nằm ngoài đường tròn có thể vẽ được \(2\) tiếp tuyến đến đường tròn đó.
Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2{\rm{x}} - 4y - 4 = 0\) và điểm \(A\left( {1;5} \right)\). Đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\).
\(y - 5 = 0\);
\(y + 5 = 0\);
\(x + y - 5 = 0\);
\(x - y - 5 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {0;3} \right)\).
Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\), khi đó \(d\) đi qua \(A\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {IA} \) là một vectơ pháp tuyến
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow y - 5 = 0\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 8x - 6y + 16 = 0\). Độ dài nhỏ nhất của \(OM\) là
\(3\);
\(1\);
\(5\);
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;3} \right)\), bán kính \(R = 3\).
Ta có \(\overrightarrow {OI} = \left( { - 4;3} \right)\) suy ra phương trình đường thẳng \(OI\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4t\\y = 3t\end{array} \right.\).
Gọi \(OI \cap \left( C \right) = \left\{ M \right\}\). Khi đó \(M\left( { - 4t;3t} \right)\).
Vì \(M \in \left( C \right)\) nên ta có: \({\left( { - 4t} \right)^2} + {\left( {3t} \right)^2} + 8.\left( { - 4t} \right) - 6.\left( {3t} \right) + 16 = 0\)
\[ \Leftrightarrow 25{t^2} - 50t + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{8}{5}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\]
Với \(t = \frac{8}{5} \Rightarrow {M_1}\left( { - \frac{{32}}{5};\frac{{24}}{5}} \right)\).
Với \(t = \frac{2}{5} \Rightarrow {M_2}\left( { - \frac{8}{5};\frac{6}{5}} \right)\).
Ta có \(O{M_1} = \sqrt {{{\left( { - \frac{{32}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{24}}{5}} \right)}^2}} = 8,O{M_2} = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2}} = 2\).
Vì vậy độ dài nhỏ nhất của \(OM\) là \(O{M_{\min }} = O{M_2} = 2\).
Phương trình chính tắc của elip là
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\];
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\] ;
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = - 1\left( {a > b > 0} \right)\];
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = - 1\left( {a > b > 0} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 & ;\,\left( {a > b > 0} \right)\).
Tiêu cự của Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) là
\(6\);
\(4\);
\(2\sqrt {13} \);
\(13\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có \(a = 2,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \).
Vì vậy tiêu cự của \(\left( H \right)\) là \(2c = 2\sqrt {13} \).
Phương trình chính tắc của parabol biết rằng Parabol đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\) là
\({y^2} = 4x\);
\({y^2} = 2x\);
\({y^2} = 8x\);
\({y^2} = 16x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình chính tắc của Parabol có dạng: \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\).
Vì Parabol đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\) ta có: \({4^2} = 2p.2 \Leftrightarrow p = 4\)
Vậy phương trình chính tắc là: \({y^2} = 8x\).
Một tổ có \(5\) học sinh nữ và \(6\) học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật?
\[20\];
\[11\];
\[30\];
\[10\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Chọn một học sinh của tổ đó đi trực nhật được chia thành hai phương án:
- Phương án 1: Chọn học sinh nữ có \(5\) cách chọn;
- Phương án 2: Chọn học sinh nam có \(6\) cách chọn;
Áp dụng quy tắc cộng ta có \(5 + 6 = 11\) cách.
Từ các chữ số \[1;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7\] có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có \[4\] chữ số?
\[324\];
\[256\];
\[248\];
\[124\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] với \[a,b,c,d \in \left\{ {1;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7} \right\}\].
Vì số cần tìm có \[4\] chữ số không nhất thiết khác nhau nên:
Chọn \[a\] có \(4\) cách chọn (vì \(a\) có thể chọn một trong các số \(1;5;6;7\))
Chọn \[b\] có \(4\) cách chọn (vì \(b\) có thể chọn một trong các số \(1;5;6;7\))
Chọn \[c\] có \(4\) cách chọn (vì \(c\) có thể chọn một trong các số \(1;5;6;7\))
Chọn \[d\] có \(4\) cách chọn (vì \(d\) có thể chọn một trong các số \(1;5;6;7\))
Như vậy, ta có \[4.4.4.4 = 256\] số cần tìm.
Cần chọn \(3\) người đi công tác từ một tổ có \(30\) người, khi đó số cách chọn là
\(A_{30}^3\);
\({3^{30}}\);
\(10\);
\(C_{30}^3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mỗi cách chọn \(3\) người bất kì trong \(30\) người là một tổ hợp chập \(3\) của \(30\) phần tử
Vậy có \(C_{30}^3\) cách chọn.
Một lớp có \[15\] học sinh nam và \(20\) học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn \(5\) bạn học sinh sao cho trong đó có đúng \(3\) học sinh nữ?
\(324\,\,632\);
\(119\,\,700\);
\(1\,\,245\);
\(15\,\,504\).
Hướng dẫn giải.
Đáp án đúng là: B
Số cách chọn \(3\) học sinh nữ là: \(C_{20}^3 = 1\,\,140\) cách.
Số cách chọn \(2\) bạn học sinh nam là: \(C_{15}^2 = 105\) cách.
Số cách chọn \(5\) bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(1\,\,140.105 = 119\,\,700\).
Đội văn nghệ của nhà trường gồm \(4\) học sinh lớp \(12A\), \(3\) học sinh lớp \(12B\) và \(2\) học sinh lớp \(12C\). Chọn ngẫu nhiên \(4\) học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
\(120\);
\(72\);
\(150\);
\(360\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì cần chọn ra \(4\) học sinh có đủ cả \(3\) lớp nên ta có các trường hợp
Trường hợp 1: Chọn \(1\) học sinh lớp \(12A\), \(1\) học sinh lớp \(12B\), \(2\) học sinh lớp \(12C\) có: \(C_4^1.C_3^1.C_2^2 = 12\).
Trường hợp 2: Chọn \(1\) học sinh lớp \(12A\), \(2\) học sinh lớp \(12B\), \(1\) học sinh lớp \(12C\) có: \(C_4^1.C_3^2.C_2^1 = 24\).
Trường hợp 3: Chọn \(2\) học sinh lớp \(12A\), \(1\) học sinh lớp \(12B\), \(1\) học sinh lớp \(12C\) có: \(C_4^2.C_3^1.C_2^1 = 36\).
Áp dụng quy tắc cộng có: \(12 + 24 + 36 = 72\) cách chọn.
Trong khai triển của nhị thức \[{\left( {a - b} \right)^5}\] có bao nhiêu số hạng âm ?
\(0\);
Tất cả các số hạng;
\[3\];
Không xác định được.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{\left( {a - b} \right)^5} = {a^5} - 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} - 10{a^2}.{b^3} + 5a{b^4} - {b^5}\].
Dấu của các số hạng còn phụ thuộc vào dấu của \(a\) và \(b\) nên không xác định được.
Bình phương hệ số của số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của nhị thức \({\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\) là
\( - 10\);
\(25\);
\(100\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\({\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {{x^3}} \right)^5} - 5{\left( {{x^3}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 10{\left( {{x^3}} \right)^3}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 10{\left( {{x^3}} \right)^2}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + 5\left( {{x^3}} \right){\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} - {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\)\( = {x^{15}} - 5{x^{10}} + 10{x^5} - 10 + \frac{5}{{{x^5}}} - \frac{1}{{{x^{10}}}}\)
Số hạng không chứa \[x\] trong khai triển là: \(\left( { - 10} \right)\).
Bình phương hệ số của số hạng này là \(100\).
Gieo một con xúc xắc \(2\) lần. Biến cố \(A\): “Tổng số chấm trên hai mặt bằng \(2\)”. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là
\(\left\{ {\left( {1;\,1} \right)} \right\}\);
\(\emptyset \);
\(\left\{ {\left( {1;1} \right);\,\,\left( {2;2} \right);\,\,\left( {3;3} \right);\,\,\left( {4;4} \right);\,\,\left( {5;5} \right);\,\,\left( {6;6} \right)} \right\}\);
\(\left\{ {\left( {1;3} \right);\,\,\left( {2;4} \right);\,\,\left( {3;5} \right);\,\,\left( {4;6} \right)} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(1 + 1 = 2\).
Do đó tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(\left\{ {\left( {1;\,1} \right)} \right\}\).
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Gọi \(A\) là biến cố “ Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”. Xác định biến cố \(A\).
\(A = \left\{ {SSS;SNN} \right\}\);
\(A = \left\{ {SNS;SSN;SSS} \right\}\);
\(A = \left\{ {SNN} \right\}\);
\(A = \left\{ {SNN;SNS;SSN;SSS} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\Omega = \left\{ {SS;SN;NS;NN} \right\} \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 4\).
Gọi \(A\) là biến cố “mặt ngửa xuất hiện đúng một lần”
Suy ra \(A = \left\{ {NS;SN} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 2\)
Vậy số phần tử của biến cố \(\overline A \) là \(n\left( {\overline A } \right) = n\left( \Omega \right) - n\left( A \right) = 4 - 2 = 2\).
Gọi \(\overline A \) là biến cố đối của biến cố \(A\) và \(P\left( A \right) = \frac{4}{5}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(P\left( {\overline A } \right) = 0\);
\(P\left( {\overline A } \right) = 1\);
\(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{5}\);
\(P\left( {\overline A } \right) = \frac{3}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\).
Trong một cuộc tổng điều tra dân số, điều tra viên chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba người con và quan tâm tới giới tính của ba người con này. Sơ đồ cây dưới đây mô tả các phần tử của không gian mẫu:
Số phần tử của không gian mẫu là
\(2\);
\(4\);
\(8\);
\(14\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Dựa vào sơ đồ cây ta thấy số phần tử của không gian mẫu là \(8\).
Một lớp có \[20\] học sinh nam và \[18\] học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất chọn được một học sinh nữ bằng
\(\frac{1}{{38}}\);
\(\frac{{10}}{{19}}\);
\(\frac{9}{{19}}\);
\(\frac{{19}}{9}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi A là biến cố: “chọn được một học sinh nữ.”
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{38}^1 = 38\).
Gọi A là biến cố: “chọn được một học sinh nữ.”
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_{18}^1 = 18\)
Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{18}}{{38}} = \frac{9}{{19}}\).
Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như nhau là:
\[\frac{5}{{36}}\];
\[\frac{1}{6}\];
\[\frac{1}{2}\];
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu:\[n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\]
Biến cố xuất hiện hai lần như nhau: \[A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\]
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = 6\)
Suy ra \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\].
Cho biểu thức \({\left( {a + b} \right)^n}\), với \(n = 4\) ta có khai triển là
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} - C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} - C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = - C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} - C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} - C_4^4.{b^4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Khai triển với \(n = 4\) là:
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\).
Phương tiện bạn Hà có thể chọn đi từ Lạng Sơn xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt được thể hiện qua sơ đồ cây sau:
Hỏi bạn Hà có mấy cách chọn đi từ Lạng Sơn xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt.
\(3\);
\(6\);
\(18\);
\(9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào sơ đồ cây có \(6\) cách đi từ Lạng Sơn vào Đà Lạt.
II. PHẦN TỰ LUẬN
a) Từ các số \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(6\) chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng \(8\).
b) Cho \[n\] là số nguyên dương thỏa mãn \[C_n^1 + C_n^2 = 15\]. Tìm số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \[{\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^n}.\]
Hướng dẫn giải
Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) là số thỏa yêu cầu bài toán thì \({a_3} + {a_4} + {a_5} = 8\).
Có hai bộ \(3\) số có tổng bằng \(8\) trong các số \(1;2;3;...;9\) là: \(\left\{ {1;2;5} \right\}\)và \(\left\{ {1;3;4} \right\}\)
Nếu \({a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}\) thì \({a_3},{a_4},{a_5}\) có \(3!\) cách chọn và \({a_1},{a_2},{a_6}\) có \(A_6^3\) cách chọn suy ra có \(3!A_6^3 = 720\) số thỏa mãn yêu cầu.
Nếu \({a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}\) tương tự ta cũng có \(720\) số thỏa yêu cầu.
Vậy có \(720 + 720 = 1400\) số thỏa yêu cầu.
b) Điều kiện: \[n \ge 2,n \in {\mathbb{N}^*}\]
\[C_n^1 + C_n^2 = 15 \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 15 \Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 5}\\{n = - 6}\end{array}} \right. \Rightarrow n = 5\]
Khi đó,
\[{\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5} = C_5^0{x^5}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^0} + C_5^1{x^4}\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right) + C_5^2{x^3}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^2} + C_5^3{x^2}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^3} + C_5^4x{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^4} + C_5^5{x^0}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5}\]\( = {x^5} + 10 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{80}}{{{x^{10}}}} + \frac{{80}}{{{x^{15}}}} + \frac{{32}}{{{x^{20}}}}\)
Suy hệ số của số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5}\) là \(10\).
Cho một đa giác đều \(n\) đỉnh (với \(n\) là số lẻ). Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh của đa giác đều đó. Gọi \(P\) là xác suất sao cho \(3\) đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết \(P = \frac{{45}}{{62}}\). Tìm \(n\).
Hướng dẫn giải
Do \(n\) là số lẻ nên ta đặt \(n = 2k + 1\left( {k \in \mathbb{N},k \ge 1} \right)\).
Số phần tử không gian mẫu là:\(n\left( \Omega \right) = C_{2k + 1}^3\).
Gọi \(A\) là biến cố: “\(3\) đỉnh được chọn tạo thành tam giác tù”
Giả sử tam giác \(ABC\) có góc \(\widehat A,\widehat B\) là góc nhọn và góc \(\widehat C\) tù
Chọn một đỉnh bất kì làm đỉnh \(A\) có \(2k + 1\) cách
Khi đó còn lại \(2k\) đỉnh, từ điểm được chọn ta chia làm \(2\), mỗi bên là \(k\) đỉnh
Để tạo thành tam giác tù thì \(2\) đỉnh còn lại phải được chọn từ \(k\) đỉnh cùng thuộc một phía so với điểm đã chọn do đó có \(C_k^2 + C_k^2\) cách chọn
Nhưng với cách tính như vậy số tam giác được lặp lại \(2\) lần nên
\(n\left( A \right) = \frac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {C_k^2 + C_k^2} \right)}}{{2!}} = \left( {2k + 1} \right)C_k^2\)
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{\left( {2k + 1} \right)C_k^2}}{{C_{2k + 1}^3}} = \frac{{45}}{{62}}\).
\( \Leftrightarrow 62\frac{{k!}}{{2!\left( {k - 2} \right)!}}.\left( {2k + 1} \right) = 45\frac{{\left( {2k + 1} \right)!}}{{3!\left( {2k - 2} \right)!}}\)
\( \Leftrightarrow 62\frac{{k\left( {k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{2} = 45\frac{{2k\left( {2k + 1} \right)\left( {2k - 1} \right)}}{6}\)
\( \Leftrightarrow 62{k^3} - 31{k^2} - 31k = 60{k^3} - 15k\)
\( \Leftrightarrow 2{k^3} - 31{k^2} - 16k = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 16\\k = - \frac{1}{2}\\k = 0\end{array} \right.\).
Kết hợp với điều kiện \(k = 16\) thoả mãn bài toán.
Vậy \(n = 33\).
Cho hai đường thẳng \[d:2x - y + 3 = 0\] và \[\Delta :x + 3y - 2 = 0\]. Đường thẳng \(d\) cắt \(\Delta \) tại \(A\). Điểm \(M\left( {0;{\rm{ }}3} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\). Lấy điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(\Delta \). Viết phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(A\) và điểm \(M'\).
Hướng dẫn giải
Giao điểm \(A\) của \(d\) và \(\Delta \) là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\x + 3y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\x + 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)\].
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \): \(\Delta ':3x - y + c = 0\)
Vì \(M \in \Delta ' \Rightarrow 3.0 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = 3\)
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta ':3x - y + 3 = 0\)
Gọi \[H\] là giao điểm của \(\Delta '\) và đường thẳng \(\Delta \). Tọa độ \[H\] là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 = 0\\3x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 2\\3x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{7}{{10}}\\y = \frac{9}{{10}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{7}{{10}};{\rm{ }}\frac{9}{{10}}} \right)\].
Ta có \[H\] là trung điểm của \(MM'\). Từ đó suy ra tọa độ \(M'\left( { - \frac{7}{5};{\rm{ }} - \frac{6}{5}} \right)\)
Viết phương trình đường thẳng \(d'\) chính là phương trình đường thẳng \(AM'\):
Ta có phương trình đường thẳng \(AM'\) đi qua \[A( - 1;1)\], có vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow {AM'} = \left( {\frac{2}{5};{\rm{ }}\frac{{11}}{5}} \right)\) suy ra vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {\frac{{11}}{5};{\rm{ }} - \frac{2}{5}} \right)\)
\(d' = AM':\frac{{11}}{5}\left( {x + 1} \right) - \frac{2}{5}\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 11x - 2y + 13 = 0\)
