Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 03
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Hàm số nào dưới đây là tam thức bậc hai?
\(y = \frac{1}{{{x^2}}} - 3\);
\(y = {t^2} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}t\);
\(y = {x^2}{y^2}\);
\(y = \sqrt {{x^2} - 3x + 1} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {t^2} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}t\) là tam thức bậc hai .
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} - 4x + 5\). Khi đó\(f\left( x \right) > 0\) khi
\(x \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right] \cup \left[ {5;\, + \infty } \right)\);
\(x \in \left[ { - 1;\,5} \right]\);
\(x \in \left[ { - 5;\,1} \right]\);
\(x \in \left( { - 5;\,1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Dễ thấy \(f\left( x \right) = - {x^2} - 4x + 5\) có \(\Delta = 36 > 0,\,a = - 1 < 0\)và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;\,{x_2} = - 5\). Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):
Suy ra \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - 5;1} \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Vậy đáp án đúng là D.
Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} - 10x + m} = 2 - x\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì phương trình đã cho vô nghiệm?
\(m \ge 2\);
\(m > 16\);
\(m < 2\);
\(m \le 16\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định của phương trình đã cho là \(2 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\({x^2} - 10x + m = {x^2} - 4x + 4\)
\( \Rightarrow 6x = m - 4\)
\( \Rightarrow x = \frac{{m - 4}}{6}\)
Để phương trình vô nghiệm thì \(\frac{{m - 4}}{6} > 2 \Leftrightarrow m - 4 > 12 \Leftrightarrow m > 16\).
Cho tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 8{\rm{x}} + 16\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
phương trình \(f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm;
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) < 0\) khi \(x < 4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 8{\rm{x}} + 16\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta = {\left( { - 8} \right)^2} - 4.1.16 = 0\) nên \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x = 4\) và \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \ne 4\).
Suy ra \(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(M\left( {0;2} \right)\) và \(N\left( { - 10;8} \right)\). Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\) là
\(I\left( { - 5;3} \right)\);
\(I\left( { - 5;5} \right)\);
\(I\left( { - 10;6} \right)\);
\(I\left( {10; - 6} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\) thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{0 + \left( { - 10} \right)}}{2} = - 5\\{y_I} = \frac{{2 + 8}}{2} = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 5;5} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\overrightarrow m \left( { - 1;3} \right)\) và \(\overrightarrow n \left( {4;5} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow m .\overrightarrow n \) bằng
\(11\);
\(\left( { - 4;15} \right)\);
\(\left( {5;2} \right)\);
\( - 19\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow m .\overrightarrow n = \left( { - 1} \right).4 + 3.5 = 11\).
Với giá trị nào của \[m\] thì hai đường thẳng \[{d_1}:2x - 3y - 10 = 0\] và \[{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 1 - 4mt}\end{array}} \right.\] vuông góc?
\[m = \frac{1}{2}\];
\[m = \frac{9}{8}\];
\[m = - \frac{9}{8}\];
\(m = - \frac{5}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Đường thẳng \[{d_1}:2x - 3y - 10 = 0\] có vectơ pháp tuyến là \[{\vec n_1} = \left( {2; - 3} \right)\].
Đường thẳng \[{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 1 - 4mt}\end{array}} \right.\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3; - 4m} \right)\] nên vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4m; - 3} \right)\].
Để đường thẳng \({d_1} \bot {d_2}\) thì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{8}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {2; - 3} \right),\,\,B\left( {8;4} \right),\,\,C\left( {12; - 5} \right)\). Điểm \(D\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \) có tọa độ là
\(\left( {10; - 2} \right)\);
\(\left( {6; - 12} \right)\);
\(\left( {18;2} \right)\);
\(\left( {2; - 6} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow {AC} \left( {10; - 2} \right)\)
Gọi \(D\left( {x;y} \right)\) khi đó \(\overrightarrow {BD} \left( {x - 8;y - 4} \right)\)
Để \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 8 = 10\\y - 4 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 18\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {18;2} \right)\).
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =- 9 - 2t\end{array} \right.\).Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là
\(2x + y - 1 = 0\);
\( - 2x + y - 1 = 0\);
\(x + 2y + 1 = 0\);
\(2x + 3y - 1 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 9} \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2} \right)\) suy ra đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2;1} \right)\). Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là: \(d:\,2\left( {x - 5} \right) + 1\left( {y + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \[d:x - 2y + 3 = 0\]. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[d\] là
\[\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\];
\[\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\];
\[\overrightarrow n = \left( { - 2;3} \right)\];
\[\overrightarrow n = \left( {1;3} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình đường thẳng \(x - 2y + 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
Với giá trị nào của \[m\] thì hai đường thẳng\[{d_1}:\left( {2m - 1} \right)x + {m^2}y + 10 = 0\] và \[{d_2}:3x + 4y + 10 = 0\] trùng nhau?
\(m \pm 2\);
\[m = \pm 1\];
\[m = 2\];
\(m = - 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2m - 1;{m^2}} \right)\).
Đườn thẳng \({d_2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {3;4} \right)\).
Để hai đường thẳng trùng nhau thì \(\frac{{2m - 1}}{3} = \frac{{{m^2}}}{4} = \frac{{10}}{{10}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 = 3\\{m^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\).
Đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng \(d:3x - 4y + 1 = 0\) và cách \(d\) một khoảng bằng \(1\) có phương trình là
\(3x - 4y + 6 = 0\) hoặc \(3x - 4y - 4 = 0\);
\(3x - 4y - 6 = 0\) hoặc \(3x - 4y + 4 = 0\);
\(3x - 4y + 6 = 0\) hoặc \(3x - 4y + 4 = 0\);
\(3x - 4y - 6 = 0\) hoặc \(3x - 4y - 4 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(\Delta \parallel d \Rightarrow \Delta :3x - 4y + c = 4\)
Lấy điểm \(M\left( {1;1} \right) \in d\) khi đó \({d_{\left( {d;\Delta } \right)}} = {d_{\left( {M;\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {3.1 - 4.1 + c} \right|}}{5} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {c - 1} \right|}}{5} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 1 = 5\\c - 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 6\\c = - 4\end{array} \right.\) .
Phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 6 = 0\) hoặc \(\Delta :3x - 4y - 4 = 0\).
Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 10y - 24 = 0\) có bán kính bằng bao nhiêu?
\(49\);
\(7\);
\(1\);
\(\sqrt {29} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 10y - 24 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 49\) vậy đường tròn có bán kính là \(R = 7\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 25\), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:3x - 4y + 5 = 0\).
\(4x + 3y + 29 = 0\);
\(4x + 3y + 29 = 0\) hoặc \(4x + 3y - 21 = 0\);
\(4x - 3y + 5 = 0\) hoặc \(4x - 3y - 45 = 0\);
\(4x + 3y + 5 = 0\) hoặc \(4x + 3y + 3 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 25\) có tâm \(I(2; - 4)\), bán kính \(R = 5\).
Đường thẳng \(\Delta \) vuông\(y = {t^2} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}t\)góc với đường thẳng \(d:3x - 4y + 5 = 0\) có phương trình dạng:\(4x + 3y + c = 0\)
\(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi:
\(d(I;\Delta ) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.2 + 3.( - 4) + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| {c - 4} \right| = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 4 = 25\\c - 4 = - 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 29\\c = - 21\end{array} \right.\).
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: \(4x + 3y + 29 = 0\) và \(4x + 3y - 21 = 0\).
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = 25 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) nên có phương trình là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
Minh cần mua một mảnh vật liệu hình đa giác \({A_1}{A_2}...{A_8}\) nội tiếp elip tâm \(O\) có độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(10m\)và \(8m\). Đa giác có hai trục đối xứng là các trục đối xứng của elip và góc\(\widehat {{A_1}O{A_2}} = 45^\circ \). Minh cần bao nhiêu tiền để mua biết giá của vật liệu \(100\,\,000\) đồng trên \(1\,\,{m^2}\)(làm tròn đến hàng nghìn).
\(5\,\,622\,\,000\);
\(11\,\,244\,\,511\);
\(1\,1\,\,245\,\,000\);
\(5\,\,600\,\,000\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(10m\)và \(8m\) nên \(a = 5,\,b = 4\).
Suy ra phương trình của Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Ta có \(\widehat {{A_1}O{A_2}} = 45^\circ \) nên \({A_2}\) là giao điểm của đường thẳng \(y = x\) và Elip \(\left( E \right)\)
Suy ra \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{x^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow 41{x^2} = 400 \Rightarrow x = \frac{{20\sqrt {41} }}{{41}}\)
Do đó \({A_2}\left( {\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}};\,\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}}} \right)\).
Diện tích tam giác \({A_1}O{A_2}\) là: \({S_{{A_1}O{A_2}}} = \frac{1}{2}O{A_1}.d({A_2};O{A_1}) = \frac{1}{2}.5.\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{50\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Diện tích tam giác \({A_2}O{A_3}\) là: \({S_{{A_2}O{A_3}}} = \frac{1}{2}O{A_3}.d({A_2};O{A_3}) = \frac{1}{2}.4.\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{40\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
\( \Rightarrow {S_{{A_1}O{A_3}{A_2}}} = {S_{{A_1}O{A_2}}} + {S_{{A_2}O{A_3}}} = \frac{{50\sqrt {41} }}{{41}}\,\, + \,\,\frac{{40\sqrt {41} }}{{41}} = \,\frac{{90\sqrt {41} }}{{41}}\,\left( {{m^2}} \right)\).
Gọi \(S\) là diện tích đa giác \({A_1}{A_2}...{A_8}\) ta có
\(S = 4{S_{{A_1}O{A_3}{A_2}}} = 4\frac{{90\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{360\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Vậy số tiền Minh cần là \(\frac{{360\sqrt {41} }}{{41}}.100\,000 \approx 5\,\,622\,\,000\) (đồng).
Cho Elip có phương trình \[\left( E \right):9{x^2} + 25{y^2} = 225\]. Hỏi diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp \[\left( E \right)\] (như hình vẽ) là
\(15\);
\(30\);
\(40\);
\[60\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình chính tắc của \[\left( E \right)\]: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.\]
Độ dài trục lớn \(2a = 10\); độ dài trục bé \(2b = 6\)
Diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp \[\left( E \right)\] là \[S = 2a.2b = 10.6 = 60\] (đvdt).
Cho phương trình (E):x²a2+y²4=1. Điều kiện của \(a\) để \(\left( E \right)\) là elip là
\(a > 4\);
\(0 < a < 4\);
\(a > 2\);
\(0 < a < 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: (E):x²a2+y²4=1⇔x2a2+y222=1 .
Điều kiện để \(\left( E \right)\) là elip khi \(a > 2\).
Cho đa giác đều \(n\) đỉnh, \(n \in \mathbb{N}\) và \(n \ge 3\). Biết rằng đa giác đã cho có \(135\) đường chéo khi đó giá trị của \(n\) là
\[n = 15\];
\[n = 27\];
\[n = 8\];
\[n = 18\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đa giác lồi \(n\) đỉnh thì có \(n\) cạnh.
Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong \(n\) đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.
Do đó để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh.
Bằng cách lấy ra \(2\) điểm bất kỳ trong \(n\) điểm ta được số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập \(2\) của \(n\) phần tử.
Như vậy, tổng số đoạn thẳng là \(C_n^2\).
Số cạnh của đa giác lồi là \(n\).
Suy ra số đường chéo của đa giác đều \(n\) đỉnh là
\[C_n^2 - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\]
Theo bài ra, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 135\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n - 270 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 18\].
Từ các chữ số \[0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,8\] lập được bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho \[2\] và \[3\]?
\[35\];
\[52\];
\[32\];
\[48\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số chia hết cho \[2\] và \[3\] là số chẵn và có tổng các chữ số của nó chia hết cho \[3\].
Gọi \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} \]là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho \[2\] và \[3\] được lập từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5;8\).
Trường hợp 1: \[{a_3} = 0\]
Khi đó các chữ số \[{a_1},\,{a_2}\] được lập từ các tập \[\left\{ {1;\,2} \right\}\], \[\left\{ {1;\,5} \right\}\], \[\left\{ {1;\,8} \right\}\], \[\left\{ {2;4} \right\}\], \[\left\{ {4;5} \right\}\], \[\left\{ {4;\,8} \right\}\].
Trường hợp này có \[6.2! = 12\] số.
Trường hợp 2: \[{a_3} = 2\]
Khi đó các chữ số \[{a_1},\,{a_2}\] được lập từ các tập \[\left\{ {1;\,0} \right\}\], \[\left\{ {4;\,0} \right\}\], \[\left\{ {1;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;4} \right\}\], \[\left\{ {5;8} \right\}\].
Trường hợp này có \[2 + 3.2! = 8\] số.
Trường hợp 3: \[{a_3} = 4\]
Khi đó các chữ số \[{a_1},\,{a_2}\] được lập từ các tập \[\left\{ {2;\,0} \right\}\], \[\left\{ {2;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,5} \right\}\], \[\left\{ {3;8} \right\}\].
Trường hợp này có \[1 + 3.2! = 7\] số.
Trường hợp 4: \[{a_3} = 8\]
Khi đó các chữ số \[{a_1},\,{a_2}\] được lập từ các tập \[\left\{ {0;\,1} \right\}\], \[\left\{ {0;\,4} \right\}\], \[\left\{ {1;\,3} \right\}\], \[\left\{ {2;5} \right\}\], \[\left\{ {3;4} \right\}\].
Trường hợp này có \[2 + 3.2! = 8\] số.
Vậy có tất cả \[12 + 8 + 7 + 8 = 35\] số cần tìm.
Có \(3\) kiểu mặt đồng hồ đeo tay và \(4\) kiểu dây. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
\(4\);
\(7\);
\(12\);
\(16\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Để chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây có hai công đoạn:
Công đoạn thứ nhất: Chọn mặt đồng hồ có \(3\) cách chọn.
Công đoạn thứ hai: Chọn dây có \(4\) cách chọn.
Vậy theo qui tắc nhân ta có \(3.4 = 12\) cách.
Cho \[6\] chữ số \[2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7\]. Số các số tự nhiên chẵn có \[3\] chữ số lập thành từ \[6\] chữ số đó là
\[36\];
\[18\];
\[256\];
\[108\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi số tự nhiên có \[3\] chữ số cần tìm là: \[\overline {abc} ,{\rm{ }}a \ne 0\], khi đó:
Chọn \[c\] có \[3\] cách (vì là số lẻ nên \(c\) có thể chọn một trong các số \(2;4;6\))
\[a\] có \[6\] cách (vì \(a\) có thể chọn một trong các số \[2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7\])
\[b\] có \[6\] cách (vì \(b\) có thể chọn một trong các số \[2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7\])
Vậy có: \[3.6.6 = 108\] số.
Một tổ có \[10\] học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra \[2\] học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó?
\[A_{10}^2\];
\[C_{10}^2\];
\[A_{10}^8\];
\[{10^2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Mỗi cách chọn ra \[2\] học sinh từ một tổ có \[10\] học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một chỉnh hợp chập \[2\] của \(10\) phần tử.
Do đó số cách chọn là \[A_{10}^2\] cách.
Số giao điểm tối đa của \[5\] đường tròn phân biệt là
\[10\];
\[20\];
\[18\];
\[22\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Cách tìm số giao điểm của \[5\] đường tròn phân biệt được chia làm \(2\) công đoạn:
- Công đoạn thứ 1: Chọn \(2\) đường tròn trong \[5\] đường tròn có \(C_5^2\) cách.
- Công đoạn thứ 2: Ứng với \(2\) đường tròn có tối đa \(2\) giao điểm.
Vậy số giao điểm tối đa của \[5\] đường tròn phân biệt là \[2.C_5^2 = 20\].
Số hạng không chứa \[x\] trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\) là
\(1\);
\(4\);
\(6\);
\(12\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có
\({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4} = C_4^0{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}{\left( {{x^3}} \right)^0} + C_4^1{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}{\left( {{x^3}} \right)^1} + C_4^2{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2}{\left( {{x^3}} \right)^2} + C_4^3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^1}{\left( {{x^3}} \right)^3} + C_4^4{\left( {\frac{1}{x}} \right)^0}{\left( {{x^3}} \right)^4}\)\( = \frac{1}{{{x^4}}} + 4 + 6{x^4} + 4{x^8} + {x^{12}}\)
Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\) là \[4\].
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {a + b} \right)^{n - 3}}\) có \(6\) số hạng. Giá trị của \(n\) là?
\[6\];
\[7\];
\[8\];
\[9\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \[{\left( {a + b} \right)^{n - 3}}\] có \[6\] số hạng nên ta có:
\(n - 3 = 5 \Leftrightarrow n = 8\).
Gọi \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^3 + 2A_n^2 = 48\). Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {1 - 3x} \right)^n}\) thuộc khoảng nào dưới đây?
\[\left( { - \infty ; - 108} \right)\];
\[\left( { - \infty ;50} \right)\];
\[\left( {50;108} \right)\];
\[\left( {0;2} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: \(n \in \mathbb{N},n \ge 3\)
\(A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 48\)
\( \Leftrightarrow \)\(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2.n\left( {n - 1} \right) = 48\)
\( \Leftrightarrow \)\({n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4\)
Ta có \({\left( {1 - 3x} \right)^4} = C_4^0{1^4}{\left( { - 3x} \right)^0} + C_4^1{1^3}{\left( { - 3x} \right)^1} + C_4^2{1^2}{\left( { - 3x} \right)^2} + C_4^3{1^1}{\left( { - 3x} \right)^3} + C_4^4{1^0}{\left( { - 3x} \right)^4}\)
\( = 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}\)
Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {1 - 3x} \right)^4}\) là \[ - 108\].
Khai triển của nhị thức \[{\left( { - 1 - 3x} \right)^5}\] là
\[1 + 15x + 90{x^2} + 270{x^3} + 405{x^4} + 243{x^5}\];
\[1 - 15x + 90{x^2} - 270{x^3} + 405{x^4} - 243{x^5}\];
\[243{x^5} - 405{x^4} + 270{x^3} - 90{x^2} + 15x - 1\];
\[243{x^5} + 405{x^4} + 270{x^3} + 90{x^2} + 15x + 1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[{\left( {1 - 3x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1{\left( { - 3x} \right)^1} + C_5^2{\left( { - 3x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - 3x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - 3x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 3x} \right)^5}\]\[ = 1 - 15x + 90{x^2} - 270{x^3} + 405{x^4} - 243{x^5}\].
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả hai lần là
\[\frac{1}{{12}}\];
\[\frac{1}{{18}}\];
\[\frac{1}{{20}}\];
\[\frac{1}{{36}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).
Gọi \(A\) là biến cố mặt hai chấm xuất hiện cả hai lần.
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = 1\)
Xác suất biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{1}{{36}}\).
Có một hộp đựng bóng đèn có tất cả \(100\) bóng. Do sơ suất nên trong hộp này bị trộn bóng hỏng và bóng tốt. Biết xác suất lấy được một quả bóng tốt là \(0,96\). Số bóng hỏng bị lẫn trong hộp là
\(4\);
\(25\);
\(96\);
\(8\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \(A\) là biến cố lấy được một quả bóng tốt. Khi đó \(\overline A \) là biến cố lấy được một quả bóng hỏng.
Ta có: \(P\left( A \right) = 0,96 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,96 = 0,04\).
Vì vậy số quả bóng hỏng bị lẫn trong hộp là \(0,04.100 = 4\) (bóng).
Rút ra một lá bài từ bộ bài \[52\] lá. Xác suất để được lá \(K\) là:
\[\frac{1}{{52}}\];
\[\frac{1}{{169}}\];
\[\frac{1}{{13}}\];
\(\frac{3}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{52}^1 = 52\)
Gọi \(A\) là biến cố: “Rút được lá \(K\) ”
Suy ra: số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_4^1 = 4\)
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{52}} = \frac{1}{{13}}\).
Gieo một con xúc xắc \(2\) lần. Số phần tử của không gian mẫu là?
\(6\);
\(12\);
\(18\);
\(36\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mỗi lần gieo con xúc xắc có sáu trường hợp có thể xảy ra.
Vậy \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).
Trong một hộp có \(10\) viên bi đánh số từ \(1\) đến \(10\), lấy ngẫu nhiên ra hai bi. Tính xác suất để hai bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ.
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{4}{9}\);
\(\frac{1}{9}\);
\(\frac{2}{9}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^2\).
Gọi biến cố \(A\): “Hai bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ”.
Vì tích hai số là số lẻ nên hai số được chọn phải được đánh số lẻ nên ta chọn \(2\) trong \(5\) viên bi đánh số lẻ.
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_5^2\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{9}\).
Từ các chữ số \(0;\,\,1;\,\,2;\,\,4;\,\,5\) lập số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau mà số đó là số lẻ. Tập hợp không gian mẫu là
\(\Omega = \left\{ {21;\,\,41;\,\,51;\,\,15;\,\,25;\,\,45} \right\}\);
\(\Omega = \left\{ {01;\,\,41;\,\,51;\,\,05;\,\,15;\,\,25;\,\,45} \right\}\);
\(\Omega = \left\{ {01;\,\,11;\,\,41;\,\,51;\,\,05;\,\,15;\,\,25;\,\,45;\,\,55} \right\}\);
\(\Omega = \left\{ {11;\,21;\,\,41;\,\,51;\,\,15;\,\,25;\,\,45;\,\,55} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau là số lẻ được lập từ các chữ số trên là: \(21;\,\,41;\,\,51;\,\,15;\,\,25;\,\,45\).
Do đó \(\Omega = \left\{ {21;\,\,41;\,\,51;\,\,15;\,\,25;\,\,45} \right\}\).
PHẦN TỰ LUẬN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \(d:3x - 4y - 1 = 0\) và điểm \(I\left( {1;\, - 2} \right)\). Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn có tâm \(I\) và cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) có diện tích bằng \(4\). Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).
Hướng dẫn giải
Kẻ \(IH \bot d\). Khi đó
\(IH = d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).
Diện tích tam giác \(IAB\) là: \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}.AB.IH = \frac{1}{2}.AB.2 = AB\).
Mặt khác tam giác \(IAB\) có diện tích bằng \(4\) nên \(AB = 4\).
\( \Rightarrow AH = BH = \frac{{AB}}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
Xét tam giác \(IAH\) vuông tại \(H\), có:
\(IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \).
Do đó bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = 2\sqrt 2 \).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).
a) Tính tích \(P\) của tất cả các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1}\).
b) Giải phương trình: \(\sqrt {{x^2} - 7x} = \sqrt { - 9{x^2} - 8x + 3} \).
Hướng dẫn giải
a) Xét \(C_{14}^x + C_{14}^{x + 2} = 2C_{14}^{x + 1}\left( {x \le 12} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {14 - x} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {x + 2} \right)!.\left( {14 - x - 2} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {x + 1} \right)!\left( {14 - x - 1} \right)!}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {14 - x} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {x + 2} \right)!.\left( {12 - x} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {x + 1} \right)!\left( {13 - x} \right)!}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{x!\left( {12 - x} \right)!}}\left( {\frac{1}{{\left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right) = 2.\frac{{14!}}{{x!\left( {12 - x} \right)!}}.\frac{1}{{\left( {x + 1} \right).\left( {13 - x} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{\left( {x + 1} \right).\left( {13 - x} \right)}}\)
\[ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {14 - x} \right)\left( {13 - x} \right) = 2\left( {14 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 + {x^2} - 27x + 182 = - 2{x^2} + 24x + 56\]
\[ \Leftrightarrow 4{x^2} - 48x + 128 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 8\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tích \(P = 4.8 = 32\).
b) \(\sqrt {{x^2} - 7x} = \sqrt { - 9{x^2} - 8x + 3} \)
\( \Rightarrow {x^2} - 7x = - 9{x^2} - 8x + 3\)
\( \Rightarrow 10{x^2} + x - 3 = 0\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = - \frac{3}{5}\end{array} \right.\)
Thay lần lượt \(x = \frac{1}{2}\) và \(x = - \frac{3}{5}\) vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x = - \frac{3}{5}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{3}{5}} \right\}\).
Ba bạn \(A,B,C\) mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ {1;17} \right]\). Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho \(3\)?
Hướng dẫn giải
Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = {17^3} = 4913\).
Trong các số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ {1;17} \right]\) có \(5\) số chia hết cho \(3\) là \(3;6;9;12;15\), có \(6\) số chia cho \(3\) dư \(1\) là \(1;4;7;10;13;16\), có \(6\) số chia cho \(3\) dư \(2\) là \(3;5;8;11;14;17\).
Gọi \(A\) là biến cố “ba số được viết ra có tổng chia hết cho \(3\)” có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Cả ba số viết ra đều chia hết cho \(3\). Trường hợp này có: \({5^3}\) cách viết.
Trường hợp 2: Cả ba số viết ra đều chia cho \(3\) dư \(1\). Trường hợp này có: \({6^3}\) cách viết.
Trường hợp 3: Cả ba số viết ra đều chia cho \(3\) dư \(2\). Trường hợp này có: \({6^3}\) cách viết.
Trường hợp 4: Trong ba số được viết ra có \(1\) số chia hết cho \(3\) , có \(1\) số chia cho \(3\) dư \(1\), có \(1\) số chia cho \(3\) dư \(2\). Trong trường hợp này có: \(5.6.6.3!\) cách viết.
Vậy xác suất cần tìm là:
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \({5^3} + {6^3} + {6^3} + 5.6.6.3! = 1637\).
Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1637}}{{4913}}\).
