Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 05
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM
Giá trị của \(m\) để đa thức \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\) là tam thức bậc hai
\[m = - 1\];
\[m \ne 1\];
\[m > 1\];
\[m > - 1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Để đa thức \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\) là tam thức bậc hai khi \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\).
Hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 2x + 1\) có bảng xét dấu là
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 2x + 1\) là tam thức bậc hai có \(\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.2.1 = - 4 < 0\) nên \(f(x)\) vô nghiệm và \(a = 2 > 0\) do đó có bảng xét dấu:
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = 25{x^2} + 10x - 8\] nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
\[25{x^2} + 10x + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ - 1}}{5}} \right\}\];
\[25{x^2} + 10x + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\];
\[25{x^2} + 10x + 1 < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ - 1}}{5}} \right\}\];
\[25{x^2} + 10x + 1 < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{\rm{\Delta '}} = {b^2} - 4ac = {10^2} - 4.25 = 0\] mà \[a > 0\] nên \[25{x^2} + 10x + 1 \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\].
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = x\left( {cm} \right),\,\left( {x > 0} \right)\), độ dài \(AB\) ngắn hơn \(AC\) là \(2\,\,cm\) và độ dài \(BC\) lớn hơn \(AC\) là \(3\,cm\). Giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình nào dưới đây?
\({\left( {x + x - 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2}\);
\(\sqrt {{x^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} = x + 5\);
\(\sqrt {{x^2} + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} = x + 5\);
\(\sqrt {{x^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} = x + 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(AB\) ngắn hơn \(AC\) là \(2\,\,cm\) nên \(AC = x + 2\,\,\left( {cm} \right)\).
Ta lại có \(BC\) lớn hơn \(AC\) là \(3\,cm\) nên \(BC = x + 5\,\,\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lí Pythagore, ta có:
\({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = {\left( {x + 5} \right)^2}\)
\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \left| {x + 5} \right|\)
\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} = x + 5\).
Hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \). Biết góc giữa hai vectơ này bằng \(150^\circ \), khi đó góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng
\(150^\circ \);
\(30^\circ \);
\(60^\circ \);
\(180^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \).
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \[{d_1}:x - 2y + 1 = 0\] và \[{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\].
Trùng nhau;
Vuông góc với nhau;
Song song;
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x - 2y + 1 = 0\\{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{ - 3}} = \frac{{ - 2}}{6} \ne \frac{1}{{ - 10}} \Rightarrow {d_1}\,\parallel \,{d_2}\].
Đường thẳng nào sau đây có vô số điểm chung với đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1\end{array} \right.\]?
\[d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - t\\y = 0\end{array} \right.\];
\[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 1 - 2023t\end{array} \right.\];
\[d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1 + t\end{array} \right.\];
\[d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2023t\\y = - 1\end{array} \right.\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Khi hai đường thẳng có từ hai điểm chung thì chúng trùng nhau. Như vậy bài toán trở thành tìm đường thẳng trùng với đường thẳng đã biết. Ta có:
\[d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\vec u}_d} = \left( {1;\,0} \right)\\A\left( {0;\, - 1} \right) \in d\end{array} \right.\].
Vậy \[d'\] là đường thẳng đi qua \[A\left( {0; - 1} \right)\] và có vectơ chỉ phương cùng phương với \[{\vec u_d} = \left( {1;\,0} \right)\]. Suy ra chọn D.
Với giá trị nào của \[m\] thì hai đường thẳng \[{\Delta _1}:mx + y - 19 = 0\] và \[{\Delta _2}:\left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 20 = 0\] vuông góc?
\[m = 2\];
Với mọi m;
\[m = \pm 1\];
Không có \[m\] thỏa mãn.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:mx + y - 19 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_{{\Delta _1}}} = \left( {m;\,1} \right)\\{\Delta _2}:\left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 20 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_{{\Delta _2}}} = \left( {m - 1;\,m + 1} \right)\end{array} \right.\]
Để \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Rightarrow m\left( {m - 1} \right) + 1\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow m \in \emptyset \].
Vậy nên không có giá trị nào của \[m\] thỏa mãn điều kiện.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 3y + 4 = 0\). Phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(A\left( {0;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) là
\(x - 3y + 6 = 0\);
\(3x + y - 2 = 0\);
\(3x - y + 2 = 0\);
\(x + 3y - 6 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1; - 3} \right)\) nên vectơ chỉ phương là \(\left( {3;1} \right)\).
Vì \(d \bot d'\) nên \(d'\) nhận \(\left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm \(A\left( {0;2} \right)\) có phương trình là:
\(3\left( {x - 0} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0\).
Phương trình tham số của đường thẳng có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + At\\y = {y_0} + Bt\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + Bt\\y = {y_0} - At\end{array} \right.\);
\(A{x_0} + B{y_0} = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình tham số của đường thẳng có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {B; - A} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + Bt\\y = {y_0} - At\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(AB:x + y - 1 = 0\), \(AC:7x - y + 2 = 0\) và \(BC:10x + y - 19 = 0\). Phương trình đường phân giác trong tại đỉnh \(A\) là
\(2x - 6y + 7 = 0\);
\(12x + 4y - 3 = 0\);
Cả A và B đều đúng;
Cả A và B đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tọa độ điểm \(C\) là giao điểm của \(AC\) và \(BC\) nên là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}7x - y + 2 = 0\\10x + y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 9\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;9} \right)\).
Tọa độ điểm \(B\) là giao điểm của \(AB\) và \(BC\) nên là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\10x + y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 1} \right)\).
Gọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường phân giác tại đỉnh \(A\), khi đó ta có:
\(d\left( {M;AB} \right) = d\left( {M;AC} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {7x - y + 2} \right|}}{{5\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5\left( {x + y - 1} \right) = 7x - y + 2\\5\left( {x + y - 1} \right) = - 7x + y - 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 6y + 7 = 0\\12x + 4y - 3 = 0\end{array} \right.\)
+) Xét \(f\left( {x;y} \right) = 2x - 6y + 7\)
Tại \(B\left( {2; - 1} \right)\) có \(f\left( {2; - 1} \right) = 2.2 - 6.\left( { - 1} \right) + 7 = 17 > 0\)
Tại \(C\left( {1;9} \right)\) có \(f\left( {1;9} \right) = 2.1 - 6.9 + 7 = - 45 < 0\).
Do đó \(B\) và \(C\) khác phía với đường thẳng \(2x - 6y + 7 = 0\).
+) Xét \(f\left( {x;y} \right) = 12x + 4y - 3\)
Tại \(B\left( {2; - 1} \right)\) có \(f\left( {2; - 1} \right) = 12.2 + 4.\left( { - 1} \right) - 3 = 17 > 0\)
Tại \(C\left( {1;9} \right)\) có \(f\left( {1;9} \right) = 12.1 + 4.9 - 3 = 45 > 0\).
Do đó \(B\) và \(C\) khác phía với đường thẳng \(12x + 4y - 3 = 0\).
Vậy phương trình đường phân giác trong tại đỉnh \(A\) là \(2x - 6y + 7 = 0\).
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
\[1\];
\[2\];
\[4\];
Vô số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Nếu \[\overrightarrow u \] là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \] thì \[k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)\] cũng là vectơ chỉ phương của \[\Delta \]. Vậy nên có vô số vectơ là vectơ chỉ phương của \[\Delta \].
Phương trình tiếp tuyến \[d\] của đường tròn \[\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\] tại điểm \[M\left( {2;\,1} \right)\] là
\[d:4x + 3y - 11 = 0\];
\[d:4x + 3y + 14 = 0\];
\[d:3x - 4y - 2 = 0\];
\[d:4x + 3y - 5 = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( { - 2; - 2} \right)\] nên tiếp tuyến tại \[M\] có vectơ pháp tuyến là \[\vec n = \overrightarrow {IM} = \left( {4;\,3} \right)\] nên có phương trình \[4\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 11 = 0\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 3y - 5 = 0\) có bán kính nào trong khoảng nào dưới đây?
\(\left( {0;2} \right)\);
\(\left( {1;3} \right)\);
\(\left( {3;5} \right)\);
\(\left( {5;7} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét \({x^2} + {y^2} - 2x + 3y - 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{33}}{4}\)
\( \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {33} }}{2}\).
Vậy \(R \in \left( {1;3} \right)\).
Cho phương trình \[{x^2} + {y^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4y - 1 = 0\left( * \right)\]. Tìm điều kiện của \[m\] để \[\left( * \right)\] là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
\[m = - 2\];
\[m = - 1\];
\[m = 2\];
\[m = 1\] .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[{x^2} + {y^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4y - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \left( {m + 1} \right)\\b = - 2\\c = - 1\end{array} \right.\]
Để \[\left( * \right)\] là phương trình đường tròn thì \[{a^2} + {b^2} - c = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\]
(luôn đúng với mọi \(m\)).
\[ \Rightarrow {R^2} = {\left( {m + 1} \right)^2} + 5\].
Vì \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}\) nên \({\left( {m + 1} \right)^2} + 5 \ge 5\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)
\[ \Rightarrow {R_{\min }} = 5 \Leftrightarrow m = - 1\].
Đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính \[R = 2\] có phương trình là:
\[{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\];
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\];
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\];
\[{x^2} + {y^2} = 4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {0;\,0} \right)\], bán kính \[R = 2\]
\[ \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} = 4\].
Cho Hypebol \[\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]. Tính tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực?
\[2\];
\[\frac{1}{2}\];
\[\frac{{\sqrt 5 }}{2}\];
\[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 3\end{array} \right.\]
Nên độ dài trục ảo là: \[2.3 = 6\] và độ dài trục thực là: \[2.6 = 12\].
Khi đó, tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực là \[\frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\].
Cho phương trình chính tắc của parabol \[\left( P \right)\], biết rằng \[\left( P \right)\] có đường chuẩn là đường thẳng \[\Delta :x + 4 = 0\]. Tìm toạ độ điểm \[M\] thuộc \[\left( P \right)\] sao cho khoảng cách từ \[M\] đến tiêu điểm của \[\left( P \right)\]bằng \[5\]?
\[M\left( {--1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 4} \right)\];
\[M\left( {1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 4} \right)\];
\[M\left( {1;\,2} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 2} \right)\];
\[M\left( {1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( { - 1;\,4} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình chính tắc của \[\left( P \right)\] có dạng: \[{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\]
Vì \[\left( P \right)\] có đường chuẩn \[\Delta :x + 4 = 0\] nên \[\frac{p}{2} = 4 \Leftrightarrow \;p = 8\].
Do đó phương trình chính tắc của \[\left( P \right)\] là \[{y^2} = 16x\].
Gọi \[M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( P \right)\], ta có:
\[d\left( {M;\,\Delta } \right) = MF = 5\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{x_0} + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 5\]
\[ \Leftrightarrow \left| {{x_0} + 4} \right| = 5\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} + 4 = 5\\{x_0} + 4 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 9\end{array} \right.\]
+) Với \[{x_0} = 1\] có \[{y_0}^2 = 16.1 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} = - 4}\\{{y_0} = 4}\end{array}} \right.\]
+) Với \[{x_0} = - 9\] có \[{y_0}^2 = 16.\left( {--9} \right) = --144\](vô lí).
Vậy \[M\left( {1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 4} \right)\].
Elip \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\] có độ dài trục lớn bằng
\[6\];
\[10\];
\[12\];
\[25\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 3\end{array} \right.\]
Vậy độ dài trục lớn \[{A_1}{A_2} = 2.6 = 12\].
Một lớp có \[23\] học sinh nữ và \[17\] học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện có cả nam và nữ?
\[391\];
\[40\];
\[780\];
\[1560\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Việc chọn hai học sinh (nam và nữ) phải tiến hành hai hành động liên tiếp:
+) Chọn một học sinh nữ trong số \[23\] học sinh nữ nên có \[23\] cách chọn
+) Chọn một học sinh nam trong số \[17\] học sinh nam nên có \[17\] cách chọn
Theo quy tắc nhân, có \[23.17 = 391\] cách chọn hai học sinh tham gia hội trại có cả nam và nữ.
Một túi có \[20\] viên bi khác nhau trong đó có \[7\] bi đỏ, \[8\] bi xanh và \[5\] bi vàng. Số cách lấy ba viên bi khác màu là
\[20\];
\[6840\];
\[280\];
\[1140\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Việc chọn ba viên bi khác màu phải tiến hành ba hành động liên tiếp:
+) Chọn một bi đỏ trong \[7\] bi đỏ nên có \[7\] cách chọn.
+) Chọn một bi xanh trong \[8\] bi xanh nên có \[8\] cách chọn.
+) Chọn một bi vàng trong \[5\] bi vàng nên có \[5\] cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: \[7.8.5 = 280\] cách.
Có bao nhiêu cách sắp xếp \[8\] viên bi đỏ khác nhau và \[8\] viên bi đen khác nhau thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu thì không được ở cạnh nhau?
\[36\];
\[1625702400\];
\[72\];
\[3251404800\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Do hai viên bi cùng màu không được ớ cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:
+) Phương án 1: Các bi đỏ ở vị trí lẻ.
Có \[8\] cách chọn bi đỏ ở vị trí số \[1\].
Có \[7\] cách chọn bi đỏ ở vị trí số \[3\].
….
Có \[1\] cách chọn bi đỏ ở vị trí số \[15\].
Suy ra có \[8.7.6...3.2.1\;\]cách xếp \[8\] bi đỏ. Tương tự có \[8.7.6...3.2.1\;\] cách xếp \[8\] bi đen.
Vậy có \[{\left( {8.7.6...3.2.1\;} \right)^2}\] cách xếp.
+) Phương án 2: Các bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.
Vậy theo quy tắc cộng ta có \[{\left( {8!} \right)^2} + {\left( {8!} \right)^2} = 3251404800\].
Trong vườn hoa có \(11\) bông hồng trắng, \(8\) bông hồng đỏ. Bạn Lan làm một bó hoa gồm \(10\) bông trong đó có đúng \(3\) bông đỏ để tặng mẹ. Hỏi bạn Lan có thể làm được bao nhiêu bó hoa như vậy?
\[92\,\,378\];
\[1\,320\];
\[25\,\,872\];
\[18\,\,480\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số cách chọn \(10\) bông trong đó có đúng \(3\) bông đỏ là: \(C_8^3.C_{11}^7 = 18\,\,480\).
Vậy bạn Lan có thể làm được \[18\,\,480\] bó hoa như vậy.
Giả sử \[k,\,n\] là các số nguyên bất kì thỏa mãn \[1 \le k \le n\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\];
\[C_n^k = kC_n^{k - 1}\];
\[C_n^k = C_n^{n - k}\];
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tổ hợp chập \[k\] của \[n\] có tính chất: \[C_n^k = C_n^{n - k}\]. Vậy nên chọn C.
Có \[4\] bì thư khác nhau và có \[6\] con tem khác nhau. Chọn từ đó ra \[2\] bì thư và \[2\] con tem sau đó dán \[2\] con tem lên \[2\] bì thư đã chọn. Biết rằng một bì thư chỉ dán một con tem. Hỏi có bao nhiêu cách dán?
\[A_4^2.A_6^2\];
\[3!A_4^2.A_6^2\];
\[C_4^2.C_6^2\];
\[3!.C_4^2.C_6^2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \[4\] bì thư khác nhau, chọn \[2\] bì thư có \[C_4^2\] cách chọn.
Có \[6\] con tem khác nhau, chọn \[2\] con tem thì có \[C_6^2\] cách chọn.
Dán \[2\] con tem lên \[2\] bì thư có \[2!\] cách dán khác nhau.
Theo quy tắc nhân ta có \[2!C_4^2.C_6^2\] cách dán \[2\] con tem lên \[2\] bì thư.
Số hạng đứng chính giữa trong khai triển \[{\left( {3x + xy} \right)^4}\] là
\[C_4^1.27{x^4}.y\];
\[C_4^2.9{x^2}.{y^2}\];
\[C_4^3.3{x^4}{y^3}\];
\[C_4^2.9{x^4}.{y^2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có:
\[{\left( {3x + xy} \right)^4}\]
\[ = C_4^0.{\left( {3x} \right)^4}.{\left( {xy} \right)^0} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.{\left( {xy} \right)^1} + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( {xy} \right)^2} + C_4^3.{\left( {3x} \right)^1}.{\left( {xy} \right)^3} + C_4^4.{\left( {3x} \right)^0}.{\left( {xy} \right)^4}\]
Khai triển \[{\left( {3x + xy} \right)^4}\] có tất cả \[5\] số hạng nên số hạng đứng giữa là số hạng thứ \[3\]: \[C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( {xy} \right)^2} = C_4^2.9{x^4}.{y^2}\].
Vậy số hạng đứng giữa cần tìm là \[C_4^2.9{x^4}.{y^2}\].
Trong khai triển nhị thức \[{\left( {3a + 2} \right)^4}\], ba số hạng đầu của khai triển là?
\[216{a^4} + 96{a^3} + 81{a^2}\];
\[216{a^4} + 216{a^3} + 96{a^2}\];
\[81{a^4} + 216{a^3} + 96{a^2}\];
\[81{a^4} + 216{a^3} + 216{a^2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Khai triển nhị thức Newton ta được:
\[{\left( {3a + 2} \right)^4} = C_4^0{\left( {3a} \right)^4}.1 + C_4^1{\left( {3a} \right)^3}.2 + C_4^2{\left( {3a} \right)^2}{2^2} + C_4^3.\left( {3a} \right){.2^3} + C_4^4{.2^4}\]
\[ = 81{a^4} + 216{a^3} + 216{a^2} + 96a + 16\].
Vậy ba số hạng đầu của khai triển là \[81{a^4} + 216{a^3} + 216{a^2}\].
Tìm số hạng không chứa biến \[x\] trong khai triển \[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{{n - 7}}{2}}}\] biết \[x \ne 0\] và \[n \in {\mathbb{Z}^ + }\] thỏa mãn \[A_n^2 - C_n^2 = 105\]:
Không có số hạng nào thỏa mãn;
\[C_4^2\];
\[C_4^4.\frac{1}{{16}}\];
\[C_4^4.\frac{1}{8}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Từ phương trình:
\[A_n^2 - C_n^2 = 105\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105\]
\[ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105\]
\[ \Leftrightarrow {n^2} - n - 210 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 14\\n = 15\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]
Thay \[n = 15\] vào khai triển có:
\[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{{15 - 7}}{2}}} = {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^3}.\frac{1}{x} + C_4^2.{x^2}.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + C_4^3.x.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}\]
\[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^2} + C_4^2 + C_4^3.\frac{1}{{{x^2}}} + C_4^4.\frac{1}{{{x^4}}}\].
Vậy số hạng không chứa biến \[x\] trong khai triển là \(C_4^2\).
Hệ số của số hạng thứ \[3\] (từ trái sang phải) trong khai triển \[{\left( {x - 2} \right)^5}\] là
\[C_5^3.2\];
\[ - C_5^3.2\];
\[C_5^2{.2^2}\];
\[ - C_5^2{.2^2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Khai triển nhị thức ta được:
\[{\left( {x - 2} \right)^5}\]\[ = C_5^0.{x^5}.{\left( { - 2} \right)^0} + C_5^1.{x^4}.{\left( { - 2} \right)^1} + C_5^2.{x^3}.{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{x^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{x^1}.{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{x^0}.{\left( { - 2} \right)^5}\]
Hệ số hạng thứ \[3\] trong khai triển là \[C_5^2.{\left( { - 2} \right)^2} = C_5^2{.2^2}\].
Cho tập hợp \[A = \left\{ {1;\,2;\,3;4;5;6;7;8;\,9;\,10} \right\}\]. Lập các tập con có \(2\) phần tử của tập \(A\). Xác suất để trong các tập con chứa hai phần tử của tập \(A\) chọn được tập luôn có phần tử \(9\) là
\[\frac{1}{5}\];
\[\frac{1}{9}\];
\[\frac{2}{5}\];
\[\frac{4}{5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số tập con có hai phần tử của tập \(A\) là: \(C_{10}^2\).
Do đó \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45\).
Số các tập con của tập \(A\) có hai phần tử và luôn có phần tử \(9\) có: \(1.C_9^1 = 9\).
Gọi M là biến cố tập con có hai phần tử luôn có phần tử 9.
\( \Rightarrow n\left( M \right) = 9\)
\( \Rightarrow \frac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{45}} = \frac{1}{5}\).
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì
các kết quả thuận lợi cho biến cố đó là rất ít;
các kết quả thuận lợi cho không gian mẫu là rất lớn;
trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra;
trong một phép thử biến cố đó sẽ hoàn toàn xảy ra.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Theo nguyên lí xác suất bé, ta có:
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.
Từ các chữ số \(0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5\). Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6?
\[16\];
\[4\];
\[20\];
\[6\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\)
Để số đó chia hết cho \(6\) thì số đó vừa chia hết cho \(2\) và \(3\).
Do đó số cần tìm là số chẵn nên \(c \in \left\{ {0;2;4} \right\}\).
+) TH1 \(c = 0\):
Ta có các bộ số có tổng chia hết cho \(3\) là:
\(\left( {0;\,\,1;\,\,2} \right),\,\left( {0;\,\,1;\,\,5} \right),\,\,\left( {0;\,\,2;\,\,4} \right),\,\,\left( {0;\,\,4;\,\,5} \right)\).
Do đó có \(1 + 1 + 1 + 1 = 4\) số.
+) TH2 \(c = 2\):
Ta có các bộ số có tổng chia hết cho \(3\) là:
\(\left( {0;\,\,1;\,\,2} \right),\,\,\left( {0;\,\,2;\,\,4} \right),\,\,\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right),\,\left( {2;3;4} \right)\).
Do đó có \(1 + 1 + 2! + 2! = 6\) số.
+) TH3 \(c = 4\):
Ta có các bộ số có tổng chia hết cho \(3\) là:
\(\,\left( {0;\,\,2;\,\,4} \right),\,\,\left( {0;5;4} \right),\,\,\left( {2;3;4} \right),\left( {3;4;5} \right)\).
Do đó có \(1 + 1 + 2! + 2! = 6\) số.
Vậy \(4 + 6 + 6 = 16\) số.
Xếp \[4\] người gồm An, Bình, Nhi, Trang ngồi vào \[6\] chỗ trên một bàn dài. Xác suất để bạn An luôn ngồi cạnh bạn Nhi bằng
\[\frac{2}{3}\];
\[\frac{1}{4}\];
\[\frac{1}{3}\];
\[\frac{1}{6}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số cách xếp khác nhau cho \[4\] người ngồi vào \[6\] chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập \[4\] của \[6\] phần tử.
Suy ra \[n\left( \Omega \right) = A_6^4 = 360\] cách.
Gọi \(A\) là biến cố để bạn An luôn ngồi cạnh bạn Nhi.
Vì An luôn ngồi cạnh bạn Nhi nên coi hai bạn này là một phần tử, trong phần tử này có \(2!\) cách xếp. Khi đó ta cần xếp \(3\) người vào \(5\) chỗ có \(A_5^3 = 60\) cách.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 2!.60 = 120\).
\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{120}}{{360}} = \frac{1}{3}\).
Nhận xét nào dưới đây là sai?
Biến cố là tập con của không gian mẫu;
\(P\left( \emptyset \right) = 0\);
\(P\left( \Omega \right) = 1\);
Biến cố đối của \(A\) là biến cố \(A\) xảy ra.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Biến cố đối của \(A\) là biến cố \(A\) không xảy ra.
Cho một hộp đựng bóng có \(5\) quả bóng đen và \(5\) quả bóng trắng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng. Xác suất để quả bóng lấy ra là màu đen là
\[\frac{1}{2}\];
\[\frac{1}{{10}}\];
\[\frac{1}{5}\];
\[\frac{1}{5}.\frac{1}{5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Lấy \(1\) quả bóng trong \(10\) quả bóng có \(10\) cách chọn. Do đó \(n\left( \Omega \right) = 10\).
Gọi \(A\) là quả bóng lấy ra màu đen nên \(n\left( A \right) = 5\).
\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{5}\).
II. TỰ LUẬN
Tìm giá trị \[n \in N\] thỏa mãn \[C_{n + 1}^n + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3\].
Hướng dẫn giải
\[C_{n + 1}^n + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3\,\left( {n \in N,\,n \ge 2} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{1!n!}} + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!.\left( {n - 2} \right)!}}\]
\[ \Leftrightarrow n + 1 + 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)}}{6}\]
\[ \Leftrightarrow 1 + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n}}{6}\]
\[ \Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} - n\]
\[ \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 2\\n = 12\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]
Vậy \[n = 12\] là giá trị cần tìm.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho hai đường thẳng \[d:x + 2y - 3 = 0\] và \[\Delta :x + 3y - 5 = 0\]. Viết phương trình của \[\left( C \right)\], biết bán kính bằng \[\frac{{2\sqrt {10} }}{5}\], có tâm thuộc \[d\] và tiếp xúc với \[\Delta \].
Hướng dẫn giải
Gọi \[I\left( { - 2t + 3;\,t} \right) \in d\] là tâm của đường tròn \[\left( C \right)\].
Theo giả thiết, ta có:
\[d\left( {I,\,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2t + 3 + 3t - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| {t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = - 2\end{array} \right.\]
+) Với \[t = 6 \Rightarrow I\left( { - 9;\,6} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = \frac{8}{5}\].
+) Với \[t = - 2 \Rightarrow I\left( {7;\, - 2} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{8}{5}\].
Cho tập \[A = \left\{ {0;\,\,1;\,\,\,2;\,\,\,3;\,\,\,4;\,\,\,5;\,\,\,6} \right\}\]. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ các số của \[A\]. Tính xác suất để chọn được số sao cho số đó nhỏ hơn \[323\].
Hướng dẫn giải
Gọi số có 3 chữ số khác nhau là \[\overline {abc} \,\left( {a \ne 0} \right)\].
Chọn \[a\] có \[6\] cách chọn (vì \[a\] chọn tuý ý một trong các số từ \[1\] đến \[6\]).
Chọn \[b\] có \[5\] cách chọn (vì \[b \ne a\] nên \[b\] có thể chọn một trong các số từ \[1\] đến \[6\] nhưng không được chọn số mà \[a\] đã chọn).
Chọn \[c\] có \[4\] cách chọn (vì \[c \ne a,\,c \ne b\] nên \[c\] có thể chọn một trong các số từ \[1\] đến \[6\] nhưng không được chọn số mà \[a,\,b\] đã chọn).
Áp dụng quy tắc nhân, ta có \[6.5.4 = 120\] số có ba chữ số khác nhau được lập từ các số \[1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\].
Vậy số phần tử của không gian mẫu là: \[n\left( \Omega \right) = 120\].
Gọi \[A\] là biến cố: “chọn được số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho số đó nhỏ hơn \[323\]”.
TH1: \(a = 3\), khi đó:
Nếu \(b < 2\) thì \(b \in \left\{ {0;1} \right\}\) hay \(b\) có \(2\) cách; \(c\) có \(5\) cách.
Do đó có: \(1.2.5 = 10\) số.
Nếu \(b = 2\) thì \(b\) có \(1\) cách; \(c\) phải nhỏ hơn \(3\) và khác \(b\) nên \(c \in \left\{ {0;1} \right\}\) hay \(c\) có \(2\) cách.
Do đó có: \(1.1.2 = 2\) số.
TH2: \(a < 3\) nên \(a \in \left\{ {1;2} \right\}\) hay \(a\) có hai cách chọn, khi đó:
\(b\) có \(6\) cách chọn, \(c\) có \(5\) cách chọn.
Do đó có \(2.6.5 = 60\) số.
Vậy có \(10 + 2 + 60 = 72\) số.
