Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 8x - 8\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\Delta = {8^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 8} \right) = 0\) mà \(a = - 2 < 0\) nên \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Cho tam thức bậc hai \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(\Delta < 0\). Giá trị của \(a\) để biểu thức luôn dương là
\(a = 1\).
\(a = - 1\).
\(a = - 10\).
\(a = - 2\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\). Do đó chọn A.
Cho các bất phương trình \(4{x^2} - 3x + 9 < 0;{x^2} - 5x < 0;4x - 3 > 0;4{x^2} + 1 > {x^3}\). Số lượng bất phương trình bậc hai một ẩn là</>
3.
2.
1.
4.
Đáp án đúng là: B
Có 2 bất phương trình là bất phương trình bậc hai một ẩn trong các bất phương trình trên là \(4{x^2} - 3x + 9 < 0;{x^2} - 5x < 0\).
Phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 2} = 2x + 3\) có nghiệm là giá trị nào sau đây?
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = - 1\).
\(x = - 2\).
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = - 1\) vào phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 2} = 2x + 3\) ta thấy thỏa mãn.
Do đó phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 2} = 2x + 3\) có nghiệm \(x = - 1\).
Một công việc có 2 công đoạn thực hiện liên tiếp nhau. Công đoạn 1 có \(a\) cách thực hiện. Công đoạn 2 có b cách thực hiện. Số cách thực hiện công việc trên là
\(ab\left( {a + b} \right)\).
\(a + b\).
\(a.b\).
\({a^b}\).
Đáp án đúng là: A
Số cách thực hiện công việc trên là \(a.b\).
Số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử được tính bằng công thức
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\left( {1 \le k \le n} \right)\).
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\left( {0 \le k \le n} \right)\).
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\left( {0 \le k \le n} \right)\).
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\left( {1 \le k \le n} \right)\).
Đáp án đúng là: B
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\left( {0 \le k \le n} \right)\).
Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) có bao nhiêu số hạng?
6.
3.
5.
4.
Đáp án đúng là: C
Khai triển nhị thức Newton của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) có 5 số hạng.
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 2y + 1 = 0\).
Vuông góc.
Trùng nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Song song .
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 1;2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} = - \overrightarrow {{n_2}} \) nên hai vectơ này cùng phương với nhau.
Mà \(A\left( {1;1} \right) \in {\Delta _1}\) nhưng không thuộc \({\Delta _2}\).
Do đó \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).
Phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) là
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và có bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol
\({y^2} = 16x\).
\({x^2} = 16y\).
\({y^2} = - 16x\).
\({x^2} = - 16y\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của parabol là \({y^2} = 16x\).
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số: 1;2; 3; 4; 5?
10.
6.
100.
60.
Đáp án đúng là: D
Có \(A_5^3 = 60\) số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số: 1;2; 3; 4; 5.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {4;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 5 = 0\) có phương trình là
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 1\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.4 - 4.3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).
Suy ra đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình là \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 1\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
a) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {3; - 1} \right)\).
b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\).
c) Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(3x + y - 5 = 0\).
d) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 3;1} \right)\).
Mà \(\overrightarrow u = - \overrightarrow {{u_1}} \) nên \(\overrightarrow u \) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {2;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta thấy không thỏa mãn.
Do đó điểm \(A \notin \Delta \).
c) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 3;1} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).
d) Ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2 + 3.1 - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Một hộp đựng 4 quả cầu xanh, 6 quả cầu đỏ, 5 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp đó.
a) Số phần tử của không gian mẫu là 1356.
b) Xét biến cố \(A\): “Chọn được đúng 2 quả cầu xanh”. Khi đó \(n\left( A \right) = 330\).
c) Xác suất để chọn được 4 quả cầu có ít nhất 3 quả xanh là \(\frac{3}{{91}}\).
d) Xác suất để chọn được 4 quả cầu trong đó có ít nhất 1 quả đỏ là \(\frac{6}{{65}}\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{15}^4 = 1365\).
b) Có \(n\left( A \right) = C_4^2.C_6^1.C_5^1 + C_4^2.C_6^2 + C_4^2.C_5^2 = 330\).
c) Số cách chọn được 4 quả cầu có ít nhất 3 quả xanh là \(C_4^3.C_6^1 + C_4^3.C_5^1 + C_4^4 = 45\).
Xác suất chọn được 4 quả cầu có ít nhất 3 quả xanh là \(\frac{{45}}{{1365}} = \frac{3}{{91}}\).
d) Số cách chọn 4 quả cầu không có quả màu đỏ là: \(C_4^1.C_5^3 + C_4^2.C_5^2 + C_4^3.C_5^1 = 90\).
Xác suất chọn được 4 quả cầu không có quả màu đỏ là \(\frac{{90}}{{1365}} = \frac{6}{{91}}\).
Suy ra xác suất để chọn được 4 quả cầu trong đó có ít nhất 1 quả đỏ là \(1 - \frac{6}{{91}} = \frac{{85}}{{91}}\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18.
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\({x^2} + 3x - 2 = 1 + x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 3\) hoặc \(x = 1\)
Thử lại ta thấy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình.
Do đó tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.
Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 12
Số cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây là \(3.4 = 12\) (cách).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\) có tọa độ tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\). Tính \({a^2} + {b^2} - R\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 8
Ta có \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
Suy ra \(I\left( {3; - 2} \right),R = 5\). Do đó \({a^2} + {b^2} - R = 9 + 4 - 5 = 8\).
Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi trắng và 4 viên bi xanh. Hộp thứ hai chứa 7 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Người ta lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi sau đó từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để hai viên bi lấy được từ hộp thứ hai là hai viên bi trắng. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,32
Gọi \(\Omega \) là không gian mẫu.
Có 9 cách lấy ra 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai. Sau khi bỏ thì số viên bi trong hộp thứ hai là 13 viên. Khi đó có \(C_{13}^2\) cách lấy 2 viên bi từ hộp thứ hai.
Suy ra số phần tử không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 9C_{13}^2\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được từ hộp thứ hai 2 viên bi trắng”.
TH1: Lấy được 1 viên bi xanh từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.
Có 4 cách lấy ra một viên bi xanh từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai. Sau khi bỏ viên bi xanh lấy từ hộp thứ nhất vào hộp thứ hai thì số bi trắng trong hộp thứ hai vẫn là \(7\). Khi đó có \(C_7^2\) cách lấy hai viên bi trắng từ hộp thứ hai. Suy ra trong trường hợp này có \(4C_7^2\) cách.
TH2: Lấy được 1 viên bi trắng từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.
Có 5 cách lấy ra một viên bi trắng từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai. Sau khi bỏ viên bi trắng lấy từ hộp thứ nhất vào hộp thứ hai thì số bi trắng trong hộp thứ hai là 8. Khi đó có \(C_8^2\) cách lấy 2 viên bi trắng từ hộp thứ hai. Suy ra trong trường hợp này có \(5C_8^2\) cách.
Suy ra \(n\left( A \right) = 4C_7^2 + 5C_8^2\) cách.
Do đó xác suất cần tính là \(P = \frac{{4C_7^2 + 5C_8^2}}{{9C_{13}^2}} = \frac{{112}}{{351}} \approx 0,32\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Tổng chi phí \(T\) (đơn vị tính: nghìn đồng) để sản xuất \(Q\) sản phẩm được cho bởi biểu thức \(T = {Q^2} + 20Q + 4000\), giá bán 1 sản phẩm là 150 nghìn đồng. Tính số sản phẩm cần sản xuất để đảm bảo không bị lỗ (giả thiết các sản phẩm được bán hết).
Hướng dẫn giải
Lợi nhuận thu được là: \(150Q - \left( {{Q^2} + 20Q + 4000} \right) = - {Q^2} + 130Q - 4000\).
Để không bị lỗ thì \( - {Q^2} + 130Q - 4000 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 50 \le Q \le 80\).
Do đó \(Q \in \left[ {50;80} \right]\) thì sản xuất không bị lỗ.
Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^2 - 3C_n^1 = 5\). Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {2 - 3{x^2}} \right)^n}\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}*\).
Ta có \(A_n^2 - 3C_n^1 = 5\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 3n = 5\)\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 3n = 5\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 4n - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 1\end{array} \right.\).
Với \(n = 5\) ta có khai triển \({\left( {2 - 3{x^2}} \right)^5}\).
Ta có \({\left( {2 - 3{x^2}} \right)^5} = {2^5} + {5.2^4}.\left( { - 3{x^2}} \right) + {10.2^3}.{\left( { - 3{x^2}} \right)^2} + {10.2^2}.{\left( { - 3{x^2}} \right)^3} + 5.2.{\left( { - 3{x^2}} \right)^4} + {\left( { - 3{x^2}} \right)^5}\)
\( = 32 - 240{x^2} + 720{x^4} - 1080{x^6} + 810{x^8} - 243{x^{10}}\).
Suy ra hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) trong khai triển trên là \( - 1080\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Viết phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) có tiêu điểm là tiêu điểm có hoành độ dương của \(\left( E \right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4\).
Tiêu điểm của elip có hoành độ dương là \({F_2}\left( {4;0} \right)\).
Gọi phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) là \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\).
Vì \(\left( P \right)\) có tiêu điểm là \({F_2}\left( {4;0} \right)\)\( \Rightarrow \frac{p}{2} = 4 \Rightarrow p = 8\).
Vậy phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) là \({y^2} = 16x\).
