Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\), \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(f\left( x \right)\) có dấu cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Khẳng định đúng về dấu của \(\Delta \) là:
\(\Delta = 0\).
\(\Delta > 0\).
\(\Delta < 0\).
\(\Delta \le 0\).
Đáp án đúng là: C
\(f\left( x \right)\) có dấu cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(\Delta < 0\).
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\(2{x^3} - x + 1 > 0\).
\(2x + 1 < 0\).
>
\(2{x^2} - x + 1 \le 0\).
\(\sqrt {2{x^2} - 2x + 3} < \sqrt x \).
>
Đáp án đúng là: C
Bất phương trình \(2{x^2} - x + 1 \le 0\) là bất phương trình bậc hai một ẩn.
Cho đồ thị của hàm số bậc hai \(f\left( x \right)\) như hình vẽ
Nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) > 0\) là
\(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
\(x \in \left( {0;2} \right)\).
\(x \in \mathbb{R}\).
\(x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 5} = - 2\) có bao nhiêu nghiệm?
\(1\).
\(0\).
\(2\).
\(3\).
Đáp án đúng là: B
Vì \( - 2 < 0\) nên phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 5} = - 2\) vô nghiệm.
Hãng hàng không Quốc gia VietNam Airlines khai thác duy nhất một chuyến bay từ Đà Nẵng đi Đà Lạt vào ngày 30 tháng 4 với các loại vé khác nhau được mô tả bởi sơ đồ hình cây sau:
Một người muốn mua vé của hãng máy bay VietNam Airlines đi từ Đà Nẵng đến Đà Lạt vào ngày 30 tháng 4. Hỏi có bao nhiêu loại vé để người đó lựa chọn?
2.
6.
9.
8.
Đáp án đúng là: B
Có \(4 + 2 = 6\) loại vé để người đó lựa chọn.
Chọn công thức đúng
\({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} - 4{a^3}b - 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} - {b^4}\).
\({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\).
\({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b - 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\).
\({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\).
Đáp án đúng là: B
\({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\).
Đường thẳng đi qua \(M\left( {3; - 1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 1 + 5t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 1 - 5t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 5t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 5 - t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng đi qua \(M\left( {3; - 1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 1 + 5t\end{array} \right.\).
Cho một đường thẳng \(\Delta \) và một điểm \(F\) không thuộc \(\Delta \). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) là
một elip.
một parabol.
một hypebol.
một đường tròn.
Đáp án đúng là: B
Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) là một parabol.
Một thí nghiệm hay một hành động mà ta không thể biết trước được kết quả của nó thì gọi là
Xác suất.
Phép thử.
Không gian mẫu.
Biến cố.
Đáp án đúng là: B
Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động mà ta không thể biết trước được kết quả.
Xét \(A\) là biến cố liên quan đến phép thử T với không gian mẫu là \(\Omega \). Mệnh đề nào dưới đây sai?
\(P\left( \emptyset \right) = 0\).
\(0 < P\left( A \right) < 1\).
\(P\left( \Omega \right) = 1\).
\(P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 1\).
Đáp án đúng là: B
\(0 \le P\left( A \right) \le 1\).
Tính số chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử?
\(35\).
\(720\).
\(24\).
\(840\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(A_7^4 = 840\).
Khai triển nhị thức \({\left( {2{x^2} - \frac{1}{2}} \right)^5}\) ta được số hạng chứa \({x^6}\) là:
\( - \frac{5}{8}\).
\(20{x^6}\).
\( - 20\).
\(\frac{5}{8}{x^6}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có
\({\left( {2{x^2} - \frac{1}{2}} \right)^5} = {\left( {2{x^2}} \right)^5} - 5.{\left( {2{x^2}} \right)^4}.\frac{1}{2} + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 10.{\left( {2{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + 5.\left( {2{x^2}} \right).{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}\)
\( = 32{x^{10}} - 40{x^8} + 20{x^6} - 5{x^4} + \frac{5}{8}{x^2} - \frac{1}{{32}}\).
Suy ra số hạng chứa \({x^6}\) là \(20{x^6}\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\) và đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 1 = 0\).
a) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\).
b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\).
c) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {4;1} \right)\) là \(x + 3y + 3 = 0\).
d) Khoảng cách từ điểm \(M\left( {3;4} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\frac{8}{5}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4} \right)\).
b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\).
c) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {4;1} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {1;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).
d) Ta có \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.3 - 4.4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{8}{5}\).
Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối đồng chất.
a) Số phần tử của không gian mẫu là 36.
b) Số phần tử của biến cố \(A\): “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là như nhau” bằng 3.
c) Xác suất của biến cố \(B\): “Ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm” là \(\frac{{13}}{{36}}\).
d) Xác suất của biến cố \(C:\) “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 2” là \(\frac{2}{9}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).
b) Có \(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\). Suy ra \(n\left( A \right) = 6\).
c) Gọi biến cố \(\overline B \): “Không xuất hiện mặt 6 chấm”.
Ta có \(n\left( {\overline B } \right) = 5.5 = 25\). Suy ra \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{{25}}{{36}}\).
Do đó \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = \frac{{11}}{{36}}\).
d) Ta có \(C = \left\{ {\left( {1;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {6;4} \right);\left( {5;3} \right);\left( {4;2} \right);\left( {3;1} \right)} \right\}\).
Suy ra \(n\left( C \right) = 8\). Do đó \(P\left( C \right) = \frac{8}{{36}} = \frac{2}{9}\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18.
Có bao nhiêu tam thức bậc hai luôn mang dấu dương trong các tam thức bậc hai sau \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 5;f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 5;f\left( x \right) = {x^2} - 10x + 9;f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\)?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
Xét tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 5\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.1.5 = - 16 < 0\end{array} \right.\). Do đó \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).</>
Xét tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 5\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.5 = 16 > 0\end{array} \right.\).
Do đó \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Xét tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 10x + 9\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\Delta = 64\end{array} \right.\). Do đó \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {9; + \infty } \right)\).
Xét tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\\Delta = 4\end{array} \right.\). Do đó \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
Bất phương trình \( - {x^2} - 9x + 10 \ge 0\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 12
Ta có \( - {x^2} - 9x + 10 \ge 0\)\( \Leftrightarrow - 10 \le x \le 1\).
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 10; - 9; - 8;...;1} \right\}\).
Suy bất phương trình có 12 nghiệm nguyên.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\) và điểm \(M \in \left( E \right)\). Tính tổng khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 8
Ta có \({a^2} = 16 \Rightarrow a = 4\).
Suy ra \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 8\).
Từ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 750
Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là \(\overline {abcd} \).
Th1: \(d = 0\).
\(d:\) có 1 cách chọn.
\(a,b,c:\) có \(A_7^3 = 210\). Do đó trong trường hợp này lập được 210 số.
Th2: \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\}\).
\(d\): có 3 cách chọn.
\(a:\) có 6 cách chọn.
\(b,c:\) có \(A_6^2\).
Do đó trong trường hợp này có \(3.6.A_6^2 = 540\) số.
Vậy có tất cả \(210 + 540 = 750\) số.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Tính tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {x + 2y} \right)^4}\).
Hướng dẫn giải
\({\left( {x + 2y} \right)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.2y + 6.{x^2}.{\left( {2y} \right)^2} + 4.x.{\left( {2y} \right)^3} + {\left( {2y} \right)^4}\)
\( = {x^4} + 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} + 32x{y^3} + 16{y^4}\).
Do đó tổng tất cả các hệ số là: \(1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81\).
Trong bản vẽ thiết kế (hình bên dưới), vòm của ô thoáng là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có \({A_1}{A_2} = 180{\rm{cm}}\), \(O{B_1} = 60\) cm. Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao \(h\) của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa \(O\) của đế ô thoáng \(60\)cm.
Hướng dẫn giải
Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Giả sử phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\).
Vì \(\left( E \right)\) đi qua \({A_2}\left( {3;0} \right),{B_1}\left( {0;2} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{{a^2}}} = 1\\\frac{4}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 4\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Tại điểm cách điểm chính giữa \(O\) của đế ô thoáng \(60\)cm tương ứng với 2 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.
Suy ra chiều cao của ô thoáng là \(\frac{{{2^2}}}{9} + \frac{{{h^2}}}{4} = 1\)\( \Rightarrow h = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\) tương ứng với \(20\sqrt 5 \) cm trên thực tế.
Khối 12 có 12 học sinh xuất sắc trong đó có 6 nam. Khối 11 có 15 học sinh xuất sắc trong đó có 7 nam. Khối 10 có 10 học sinh xuất sắc trong đó có 4 nam. Nhân dịp tổng kết cuối năm học, nhà trường chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để trao thưởng. Tính xác suất sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh và có cả học sinh nam lẫn học sinh nữ.
Hướng dẫn giải
Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{37}^3\).
Gọi biến cố \(A:\) “Mỗi khối có ít nhất 1 học sinh và có cả học sinh nam lẫn học sinh nữ”.
Chọn 3 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh có \(C_{12}^1.C_{15}^1.C_{10}^1 = 1800\) cách.
Chọn 3 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh và toàn học sinh nam có \(C_6^1.C_7^1.C_4^1 = 168\) cách.
Chọn 3 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh và toàn học sinh nữ có \(C_6^1.C_8^1.C_6^1 = 288\) cách.
Suy ra \(n\left( A \right) = 1800 - 168 - 288 = 1344\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{1344}}{{1800}} = \frac{{56}}{{75}}\).
