Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và hệ số \(a > 0\). Khi đó tam thức đã cho luôn dương khi và chỉ khi
\(\Delta < 0\).
</>
\(\Delta \le 0\).
\(\Delta > 0\).
\(\Delta \ge 0\).
Đáp án đúng là: A
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
Cho các bất phương trình sau: \(5x + 1 > 0;2{x^2} + x \ge 0; - \frac{1}{{3x}} + 5{x^2} < 0;\frac{1}{2}{x^2} + x - 1 > 0\). Có bao nhiêu bất phương trình là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\(3\).
\(1\).
\(2\).
\(4\).
Đáp án đúng là: C
Có hai bất phương trình bậc hai một ẩn là \(2{x^2} + x \ge 0;\frac{1}{2}{x^2} + x - 1 > 0\).
Số nào dưới đây là nghiệm của phương trình\(\sqrt {2{x^2} + x + 3} = \sqrt {{x^2} + 2x + 5} \).
\(x = - 3\).
\(x = - 2\).
\(x = 1\).
\(x = 2\).
Đáp án đúng là: D
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.
Cho tập \(A\) gồm 12 phần tử. Số tập con có 4 phần tử của tập \(A\) là
\(C_{12}^4\).
\(A_{12}^8\).
\(4!\).
\(A_{12}^4\).
Đáp án đúng là: A
Số tập con có 4 phần tử của tập \(A\) là \(C_{12}^4\).
Số hạng tử trong khai triển của \({\left( {x + 2} \right)^5}\) là
\(4\).
\(5\).
\(7\).
\(6\).
Đáp án đúng là: D
Khai triển \({\left( {x + 2} \right)^5}\) có 6 hạng tử.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} > 0\). Khi đó khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) được tính bằng công thức nào sau đây?
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Đáp án đúng là: D
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 4\). Tìm tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\).
\(I\left( { - 1; - 3} \right),R = 2\).
\(I\left( {1; - 3} \right),R = 4\).
\(I\left( { - 1;3} \right),R = 2\).
\(I\left( {1; - 3} \right),R = 2\).
Đáp án đúng là: D
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 3} \right),R = 2\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = - 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)là phương trình chính tắc của hypebol.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử thì gọi là
Biến cố.
Xác suất.
Không gian mẫu của phép thử.
Phép thử.
Đáp án đúng là: C
Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử.
Phép thử nào sau đây không phải phép thử ngẫu nhiên?
Gieo một con xúc xắc có 6 mặt giống nhau và quan sát mặt nào xuất hiện.
Chọn 1 bi từ trong một hộp kín đựng 12 bi đỏ, 5 bi xanh và quan sát xem bi được chọn là màu gì.
Viết ngẫu nhiên hai số tự nhiên lên mặt bảng và tính xem tổng của chúng là số chẵn hay số lẻ.
Chọn một bạn học sinh từ 20 học sinh có học lực giỏi và 22 học sinh có học lực khá của lớp 10A2 xem bạn được chọn có học lực khá hay giỏi.
Đáp án đúng là: A
Gieo một con xúc xắc có 6 mặt giống nhau và quan sát mặt nào xuất hiện không phải phép thử ngẫu nhiên.
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 2x + 4} = 2x - 1\).
\( - 4\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(3{x^2} - 2x + 4 = 4{x^2} - 4x + 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\).
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 3\) là nghiệm của phương trình.
Do đó tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 3.
Đường tròn \(\left( C \right)\) có đường kính \(AB\) với \(A\left( {1;1} \right),B\left( {3;5} \right)\). Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\).
Đáp án đúng là: D
Tâm \(I\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là trung điểm của \(AB\). Suy ra \(I\left( {2;3} \right)\).
Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Tổ I của lớp 10A gồm có 7 học sinh gồm 4 nam và 3 nữ.
a) Xếp 7 học sinh của tổ I vào một hàng ngang để chụp ảnh có \(7!\) cách.
b) Có \(C_7^2\) cách chọn ra một cặp nam nữ của tổ I để tham gia hát song ca.
c) Lớp trưởng cần chọn ra 3 học sinh của tổ I để trực nhật lớp, trong đó 1 bạn quét lớp, 1 bạn lau bảng, 1 bạn kê bàn ghế. Số cách chọn là \(A_7^3\) cách.
d) Có 720 cách xếp 7 học sinh của tổ I vào một hàng dọc sao cho 3 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Xếp 7 học sinh của tổ I vào một hàng ngang để chụp ảnh có \(7!\) cách.
b) Chọn 1 bạn nam có \(C_4^1 = 4\) cách.
Chọn 1 bạn nữ có \(C_3^1 = 3\) cách.
Do đó có \(4.3 = 12\) cách chọn ra một cặp nam nữ của tổ I để tham gia hát song ca.
c) Có \(A_7^3\) cách chọn ra 3 học sinh của tổ I để trực nhật lớp, trong đó 1 bạn quét lớp, 1 bạn lau bảng, 1 bạn kê bàn ghế.
d) Coi 3 bạn nữ là 1 nhóm thì có \(3!\) cách xếp 3 bạn nữ trong nhóm.
Suy ra có \(5!\) cách xếp 4 bạn nam và nhóm bạn nữ vào 5 vị trí.
Do đó có \(3!.5! = 720\) cách xếp 7 học sinh của tổ I vào một hàng dọc sao cho 3 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y + 6 = 0\), \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).
a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)\).
b) Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\).
c) Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng \( - 7\).
d) \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)\).
b) Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1} \right)\).
c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 6 = 0\\x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 2t - 3 - t + 6 = 0\\x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 4\\x = - 7\\y = - 1\end{array} \right.\).
Vậy hoành độ giao điểm là \( - 7\).
d) Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18.
Cho đồ thị của hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) như hình bên. Biết \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;a} \right) \cup \left( {b; + \infty } \right)\). Tính \(a + b\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Suy ra \(a = 1;b = 2\). Do đó \(a + b = 3\).
Bình có 5 cái áo khác nhau và 4 chiếc quần khác nhau. Tính số cách chọn một bộ quần áo (gồm một áo và một quần) của Bình?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 20
Số cách chọn một bộ quần áo của Bình là: \(5.4 = 20\) cách.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M\left( {4; - 3} \right),N\left( {4;1} \right)\) và đường thẳng \(d:x + 6y = 0\). Tìm bán kính (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) của đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua \(M\) và \(N\) biết rằng các tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) và \(N\) cắt nhau tại điểm \(Q\) thuộc \(d\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2,83
Gọi \(I\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\), \(H\) là trung điểm của \(MN\).
Suy ra \(H\left( {4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;4} \right) = 4\left( {0;1} \right)\).
Đường thẳng \(IQ\) đi qua điểm \(H\left( {4; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n \left( {0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
\(y + 1 = 0\).
Tọa độ điểm \(Q\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6y = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 1\end{array} \right.\). Do đó \(Q\left( {6; - 1} \right)\).
Ta có \[\overrightarrow {MQ} = \left( {2;2} \right)\], \(\overrightarrow {NQ} = \left( {2; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(IM\) đi qua \(M\left( {4; - 3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {MQ} \) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
\(2\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + y - 1 = 0\).
Đường thẳng \(IN\) đi qua \(N\left( {4;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {NQ} \) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
\(2\left( {x - 4} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - y - 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right.\). Do đó \(I\left( {2; - 1} \right)\).
Bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \approx 2,83\).
Trong hộp có 15 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 15. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp ra 2 tấm thẻ. Tính số các kết quả thuận lợi của biến cố “Hai thẻ lấy ra có tổng là một số chẵn”.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 49
Hai thẻ lấy ra có tổng là một số chẵn khi 2 số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Từ 1 đến 15 có 7 số chẵn và 8 số lẻ.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố là \(C_7^2 + C_8^2 = 49\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Tìm các nghiệm nguyên của bất phương trình \(6{x^2} + 5x < 5 - 8x\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(6{x^2} + 5x < 5 - 8x\)\( \Leftrightarrow 6{x^2} + 13x - 5 < 0\)\( \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < x < \frac{1}{3}\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\).
Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^1 + C_n^2 = 15\). Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^n}\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\).
Ta có \(C_n^1 + C_n^2 = 15\)\( \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 15\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 6\end{array} \right.\)\( \Rightarrow n = 5\).
Với \(n = 5\) ta có \({\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5} = {x^5} + 5.{x^4}.\frac{2}{{{x^4}}} + 10.{x^3}.{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^3} + 5.x.{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5}\)
\( = {x^5} + 10 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{80}}{{{x^{10}}}} + \frac{{80}}{{{x^{15}}}} + \frac{{32}}{{{x^{20}}}}\).
Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên là \(10\).
Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để chọn được nhiều nhất hai viên bi xanh.
Hướng dẫn giải
Không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = C_{18}^3 = 816\).
Gọi C là biến cố: “Chọn được nhiều nhất hai viên bi xanh”.
Th1: Chọn 2 bi xanh và 1 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng có \(C_5^2.C_{13}^1 = 130\) cách.
Th2: Chọn 1 bi xanh và 2 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng có \(C_5^1.C_{13}^2 = 390\) cách.
Th3: Chọn 0 bi xanh và 3 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng có \(C_{13}^3 = 286\) cách.
Suy ra \(n\left( C \right) = 130 + 390 + 286 = 806\).
Xác suất của biến cố \(C\) là \(P\left( C \right) = \frac{{806}}{{816}} = \frac{{403}}{{408}}\).
