Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 4
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là tam thức bậc hai?
\(f\left( x \right) = 2{x^3} - x + 1\).
\(f\left( x \right) = - 2x + 1\).
\(f\left( x \right) = 2{x^2} - x + 1\).
\(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \).
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Do đó \(f\left( x \right) = 2{x^2} - x + 1\)là tam thức bậc hai.
Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0\) là
\[2 < x < 3\].
\[\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.\].
\[1 < x < 2\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\].
Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\) có \(\Delta = 1\) nên \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = 1\,;\,\,x = 2\).
Vậy nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0\) là \[1 < x < 2\].
Tập nghiệm \[S\] của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x + 5} = \sqrt {{x^2} + 5} \) là
\[S = \left\{ 0 \right\}\].
\[S = \left\{ { \pm 3} \right\}\].
\[S = \left\{ {0\,;3} \right\}\].
\[S = \left\{ 3 \right\}\].
Bình phương hai vế của phương trình, ta có
\(2{x^2} - 3x + 5 = {x^2} + 5 \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\).
Thay lần lượt \(x = 3\) và \(x = 0\) vào phương trình đã cho, ta thấy hai nghiệm đều thỏa mãn. Vậy tập phương trình đã cho là \[S = \left\{ {0\,;3} \right\}\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \[M\left( { - 5;2\,} \right)\] và đường thẳng \[d:x - 2y + 10 = 0\]. Phương trình đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[M\]và song song với \[d\] là
\[ - x + 2y + 7 = 0\].
\[2x + y + 8 = 0\].
\[x - 2y - 9 = 0\].
\[x - 2y + 9 = 0\].
Đường thẳng \[d\] có một véctơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1; - 2} \right)\).
Vì \[\Delta \] song song \[d\] nên \[\Delta \] nhận \(\vec n = \left( {1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \[\Delta \] là: \(1\left( {x + 5} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 9 = 0.\)
Trong mặt phẳng \[Oxy\], đường tròn \[\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\] có tâm và bán kính là
\[I\left( {2;3} \right),\,\,R = 9\].
\[I\left( {2; - 3} \right),\,\,R = 3\].
\[I\left( { - 3;2} \right),\,\,R = 3\].
\[I\left( { - 2;3} \right),\,\,R = 3\].
Đường tròn tâm \[I\left( {a\,;\,b} \right)\], bán kính \[R\] có phương trình\[{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.\]
Do đó đường tròn \[\left( C \right)\] đã cho có tâm và bán kính là \[I\left( {2; - 3} \right),\,\,R = 3.\]
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?
\(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{5^2}}} = - 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
.
\({y^2} = 2x\).
Đường hypebol có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > 0,\;b > 0\).
Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, máy bay, tàu thủy. Mỗi ngày có 8 chuyến xe ô tô, 3 chuyến tàu hỏa, 5 chuyến máy bay, 4 chuyến tàu thủy. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B?
480.
20.
32.
15.
Nếu đi bằng ô tô: có 8 cách.
Nếu đi bằng tàu hỏa: có 3 cách.
Nếu đi bằng máy bay: có 5 cách.
Nếu đi bằng tàu thủy: có 4 cách.
Áp dụng quy tắc cộng, ta có: \[8 + 3 + 5 + 4 = 20\] cách đi từ A đến B.
Lớp 10A có \(45\) học sinh, giáo viên chủ nhiệm cần chọn lần lượt \(5\) học sinh trồng năm cây khác nhau trong buổi lễ phát động trồng cây mùa xuân. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?
\(5!\).
\(C_{45}^5\).
\(A_{45}^5\).
\(45\).
Mỗi cách chọn lần lượt \(5\) học sinh trồng 5 cây khác nhau là một chỉnh hợp chập \(5\) của \(45\) phần tử nên số cách chọn thỏa mãn là \(A_{45}^5\).
Khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn của biểu thức \({\left( {x + y} \right)^5}\) là
\({x^5} + 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} + 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} + {y^5}\).
\({x^5} - 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} - 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} - {y^5}\).
\({x^5} - 5{x^4}y - 10{x^3}{y^2} - 10{x^2}{y^3} - 5x{y^4} + {y^5}\).
\({x^5} + 5{x^4}y - 10{x^3}{y^2} + 10{x^2}{y^3} - 5x{y^4} + {y^5}\).
Ta có \({\left( {x + y} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4}{y^1} + C_5^2{x^3}{y^2} + C_5^3{x^2}{y^3} + C_5^4{x^1}{y^4} + C_5^5{y^5}\)
\( = {x^5} + 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} + 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} + {y^5}\,.\)
Lớp \(10A\) có \(25\)học sinh nam và \(10\) học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên ba học sinh để tham gia công tác tình nguyện. Số phần tử của không gian mẫu trong phép thử ngẫu nhiên trên là
\[A_{35}^3\].
\[250\].
\[C_{35}^3\].
\(3!\).
Phép thử: “Chọn ngẫu nhiên \(3\) bạn từ \(35\) bạn trong lớp \(10A\)”.
Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = \,C_{35}^3\).
Cho \(X\) là tập hợp các số nguyên dương bé hơn \(10\). Chọn một số từ tập \(X\). Gọi \(B\) là biến cố: “Số được chọn chia hết cho \(3\)”. Khi đó biến cố đối \(\overline B \) của biến cố \(B\) là
\(\overline B \) là biến cố: “Số được chọn chia hết cho \(6\)”.
\(\overline B \) là biến cố: “Số được chọn không chia hết cho \(6\)”.
\(\overline B \) là biến cố: “Số được chọn chia hết cho \(3\)”.
\(\overline B \) là biến cố: “Số được chọn không chia hết cho \(3\)”.
Biến cố đối của biến cố \(B\) là \(\overline B \): “Số được chọn không hết cho \(3\)”.
Một hộp có \(12\) quả cầu bao gồm \(4\)quả màu xanh, \(3\) quả màu đỏ, \(5\) quả màu vàng. Lấy ra 4 quả cầu. Tính xác suất sao cho trong \(4\) quả cầu lấy ra có ít nhất một quả cầu màu đỏ.
\(\frac{{99}}{{495}}\).
\(\frac{{13}}{{55}}\).
\(\frac{{261}}{{495}}\).
\(\frac{{41}}{{55}}\).
Số phần tử không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^4\).
Gọi \(A\) là biến cố: “\(4\) quả cầu lấy ra có ít nhất một quả cầu màu đỏ”.
Khi đó \[\overline {\,A\,} \] là biến cố: “\(4\) quả cầu lấy ra không quả cầu nào màu đỏ” \( \Rightarrow n\left( A \right) = C_9^4\).
Vậy xác suất cần tìm là: \[P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline {\,A\,} } \right) = 1 - \frac{{n\left( {\overline {\,A\,} } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1 - \frac{{C_9^4}}{{C_{12}^4}} = \frac{{41}}{{55}}\].
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho tam thức bậc hai \[f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ sau:
Tập nghiệm của bất phương trình \[f\left( x \right) < 0\] là \[\mathbb{R}\backslash \left( {1;3} \right)\].
Tập nghiệm của bất phương trình \[f\left( x \right) \ge 0\]là \[S = \left[ {1;3} \right]\].
Nghiệm \[x = 2\] là một nghiệm của bất phương trình \[f\left( x \right) > 0\].
Bất phương trình \[f\left( x \right) < 2\]có tập nghiệm \[S = \mathbb{R}\].
a) Sai: Tập nghiệm của bất phương trình \[f\left( x \right) < 0\] là \[\mathbb{R}\backslash \left[ {1;3} \right]\]
b) Đúng: Tập nghiệm của bất phương trình \[f\left( x \right) \ge 0\]là \[S = \left[ {1;3} \right]\].
c) Sai: Tập nghiệm của bất phương trình \[f\left( x \right) > 0\]là \[S = \left( {1;3} \right)\]mà \[x = 1 \notin \left( {1;3} \right)\].
d) Sai: Bất phương trình \[f\left( x \right) < 2\] có tập nghiệm \[S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\].
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho hypebol \[\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]. Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:
Hypebol\(\left( H \right)\) có toạ độ tiêu điểm \[{F_1}\left( { - 5;0} \right)\,,\,\,{F_2}\left( {5;0} \right)\].
Hypebol\(\left( H \right)\) có độ dài trục thực bằng \(16\).
Hypebol\(\left( H \right)\) có độ dài trục ảo bằng \(4\).
Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên \(\left( H \right)\)đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng 10.
a) Đúng: Ta có \[c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {16 + 9} = 5 \Rightarrow {F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( { - 5;0} \right)\].
b) Sai: Độ dài trục thực \[2a = 2\sqrt {16} = 8\].
c) Sai: Độ dài trục ảo \[2b = 2\sqrt 9 = 6\].
d) Sai: Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên \(\left( H \right)\)đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối là \[\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a = 8\].
Trên một giá sách có \(4\) quyển sách Toán, \(5\) quyển sách Vật lí và \(6\) quyển sách Hóa học. Các quyển sách đôi một khác nhau.
Có \(15\) cách lấy một quyển sách tùy ỳ từ giá sách.
Có \(9\) cách lấy một quyển sách Toán hoặc Vật lý từ giá sách.
Có \(10\) cách lấy hai quyển sách gồm Toán và Hóa học từ giá sách.
Có \(120\) cách lấy ba quyển sách có đủ ba môn học từ giá sách.
a) Đúng: Trên giá sách có \(4 + 5 + 6 = 15\) quyển sách.
Lấy \(1\) quyển tùy ý từ \(15\) quyển nên có 15 cách lấy.
b) Đúng: Lấy một quyển sách Toán hoặc Vật lý từ giá sách.
Lấy một quyển Toán: có 4 cách lấy.
Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy
Việc lấy sách được hoàn thành bởi một trong hai hành động trên nên theo quy tắc cộng có \(4 + 5 = 9\) cách lấy.
c) Sai: Lấy hai quyển sách gồm Toán và Hóa học từ giá sách.
Lấy một quyển Toán: có \(4\) cách lấy.
Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.
Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp hai hành động trên nên theo quy tắc nhân có \(4.{\rm{6}} = 24\) cách lấy.
d) Đúng: Lấy ba quyển sách có đủ ba môn học từ giá sách.
Lấy một quyển Toán: có \(4\) cách lấy.
Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy
Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.
Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp ba hành động trên nên theo quy tắc nhân có \(4.5.{\rm{6}} = 120\) cách lấy.
Lớp 11A có \[7\] học sinh nữ và \[13\] học sinh nam. Cô chủ nhiệm chọn ra \[5\] bạn để tham gia văn nghệ.Hãy xác định định đúng – sai của các khẳng định sau:
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[5\] học sinh nữ là \[\frac{{21}}{{15504}}\].
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được đúng \[3\] học sinh nam là\[\frac{{C_{13}^3.C_7^2}}{{C_{20}^5}}\].
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được ít nhất \[1\]học sinh nữ là \[\frac{{429}}{{5168}}\].
Xác suất để cô chủ nhiệm số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là \[\frac{{1603}}{{7752}}\].
Không gian mẫu là \[C_{20}^5 = 15504\].
a) Đúng: Số cách chọn \[5\] học sinh nữ từ \[7\] học sinh nữ là \[C_7^5 = 21\].
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[5\] học sinh nữ là \[\frac{{21}}{{15504}} = \frac{7}{{5168}}\].
b) Đúng: Để chọn đúng \[3\] học sinh nam thì cô chủ nhiệm sẽ chọn \[3\] nam và \[2\] nữ.
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được \[3\] nam và \[2\] nữ là \[\frac{{C_{13}^3.C_7^2}}{{15504}} = \frac{{1001}}{{2584}}\].
c) Sai: Phần bù của biến cố “chọn được ít nhất \[1\] học sinh nữ là chọn được \[5\] học sinh nam”
Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được ít nhất \[1\] học sinh nữ là \[\frac{{C_{20}^5 - C_{13}^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{4739}}{{5168}}\].
d) Đúng : Ta chia làm 3 trường hợp
Trường hợp 1: \[3\] nữ \[2\] nam
Trường hợp 2: \[4\] nữ \[1\] nam
Trường hợp 3: \[5\] nữ
Xác suất để cô chủ nhiệm số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là
\[\frac{{C_7^3.C_{13}^2 + C_7^4.C_{13}^1 + C_7^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{1603}}{{7752}}\].
Trường hợp 2: Với \(3A = - 4B\), chọn \(A = 4 \Rightarrow B = - 3\).
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \({\Delta _2}:4x - 3y - 18 = 0\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Bác Nam dự định xây dựng một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài \(10m\), trên khu vườn đó bác Nam muốn chia thành hai phần: phần đất trồng rau dạng hình vuông có cạnh bằng với chiều rộng của khu vườn, phần còn lại bác Nam làm hồ nuôi cá. Biết chi phí thi công phần đất trồng rau và hồ nuôi cá lần lượt là \(60.000\) đồng/m2 và \(135.000\) đồng/m2. Hỏi chiều rộng khu vườn lớn nhất có thể là bao nhiêu để tổng chi phí thi công không quá \(5.400.000\) đồng.
Gọi \(x\,\,\left( {0 < x < 10} \right)\) là chiều rộng của khu vườn.
Khi đó : Diện tích phần đất trồng rau là \({x^2}\) \(\left( {{m^2}} \right)\)
Diện tích hồ nuôi cá là \(10x - {x^2}\) \(\left( {{m^2}} \right)\)
Theo giả thiết đề ra ta có bất phương trình: \(60000{x^2} + 135000\left( {10x - {x^2}} \right) \le 5400000\)
\( \Leftrightarrow - 75000{x^2} + 1350000x - 5400000 \le 0\)\( \Leftrightarrow x \le 6\) (nhận) \( \vee \) \(x \ge 12\) (loại)\( \Rightarrow 0 < x \le 6\)
Vậy chiều rộng khu vườn lớn nhất có thể là \(6m\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + {m^2} + 3m\), \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\).
Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.\).
\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {m;m + 3} \right)\)
Do đó: \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(\left( { - 1;0} \right) \subset \left( {m;m + 3} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(m \le - 1 < 0 \le m + 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\0 \le m + 3\end{array} \right.\).\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\ - 3 \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m \le - 1\)
Vậy \( - 3 \le m \le - 1\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1} \right\}\) nên có \(3\) giá trị nguyên thỏa mãn.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\],cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(R = 5\). Chân các đường cao kẻ từ \(B,C\) lần lượt là \(H\left( {3;1} \right),K\left( {0; - 3} \right)\). Tính bình phương bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BCHK\), biết rằng điểm A có tung độ dương.
Đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\)có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\).
Tứ giác\(BCHK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) (vì \(\widehat {BHC} = \widehat {BKC} = {90^0}\)).
Dựng tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A.\) Ta có \[\widehat {CAx} = \widehat {CBA} = \] sđ \(\left( 1 \right)\)
Mặt khác: \[\widehat {CBA} = \widehat {AHK}\] (Vì tứ giác \(BCHK\) nội tiếp) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[\widehat {CAx} = \widehat {AHK}\]. Vậy \[HK//Ax\], nên \[HK \bot AI\].
Đường thẳng \(AI\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {HK} \) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:
\(3\left( {x - 1} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;3} \right)\) (vì \(A\)có tung độ dương).
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và \(K\) nên có phương trình: \(2x + y + 3 = 0\).
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 5} \right)\] (vì \(B\) khác \(A\)).
Đường thẳng \(AC\)đi qua \(A\) và \(H\) nên có phương trình: \(x + 3y - 6 = 0\).
Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;0} \right)\] (vì \(C\) khác\(A\)).
Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có đường kính \(BC\) bằng \(\frac{{25}}{2} = 12,5\).
Một cửa hàng đồ chơi có 8 loại ô tô khác nhau, 7 loại máy bay khác nhau và \(10\) món đồ chơi xếp hình khác nhau. Bạn Minh muốn mua hai món đồ chơi khác loại. Hỏi có bao nhiêu cách?
Trường hợp 1: Chọn mua ô tô và máy bay
Chọn mua ô tô có 8 cách.
Chọn mua máy bay có 7 cách.
Theo quy tắc nhân có \(7.8 = 56\) cách chọn một ô tô và một máy bay.
Trường hợp 2: Chọn mua ô tô và đồ chơi xếp hình
Chọn mua ô tô có 8 cách.
Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.
Theo quy tắc nhân có \(8.10 = 80\) cách chọn một ô tô và một món đồ chơi xếp hình.
Trường hợp 3: Chọn mua máy bay và đồ chơi xếp hình
Chọn mua máy bay có 7 cách.
Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.
Theo quy tắc nhân có \(7.10 = 70\) cách chọn một máy bay và một món đồ chơi xếp hình.
Vậy theo quy tắc cộng có \(56 + 70 + 80 = 206\) cách mua hai món đồ chơi khác loại.
Trong một trường THPT có 8 lớp 10, mỗi lớp cử 2 học sinh đi tham gia buổi họp của đoàn trường. Trong buổi họp ban tổ chức cần chọn ra 4 học sinh từ 16 học sinh của khối 10 để phát biểu ý kiến. Có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 học sinh được chọn có đúng hai học sinh học cùng một lớp.
Cách 1.
Để tính số cách chọn được 4 học sinh trong đó có đúng hai học sinh cùng lớp ta thực hiện như sau:
Trường hợp 1: Tính tổng tất cả số cách chọn ra 4 học sinh từ 16 học sinh có \[C_{16}^4 = 1820\]cách.
Trường hợp 2: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 2 lớp (hai cặp học sinh cùng lớp) có \[C_8^2 = 28\] cách (Mỗi cách chọn ra 2 lớp học từ 8 lớp học là một cách chọn ra hai cặp học sinh học cùng lớp)
Trường hợp 3: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 4 lớp khác nhau có \[C_8^4.2.2.2.2 = 1120\] cách
(Chọn 4 lớp từ 8 lớp có \[C_8^4\] cách, ứng với mỗi cách chọn ra 4 lớp thì mỗi lớp có 2 cách chọn một học sinh)
Từ đó suy ra số cách chọn 4 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh học cùng lớp là \[1820 - 28 - 1120 = 672\] cách.
Cách 2: Ta gọi 8 lớp 10 là A1, A2, A3,…, A8.
Chọn 2 học sinh của lớp A1, và chọn 2 học sinh không cùng lớp trong 7 lớp còn lại.
Có 1 cách chọn 2 học sinh lớp A1.
Trong 7 lớp còn lại có tất cả \[C_{14}^2\] cách chọn 2 học sinh trong đó có 7 cách chọn 2 học sinh cùng lớp suy ra trong 7 lớp còn lại có \[C_{14}^2 - 7 = 84\] cách chọn 2 học sinh không cùng lớp
Tương tự cho 7 trường hợp còn lại
Vậy có \[8.1.84 = 672\] cách.
Một đa giác đều có \(32\) đỉnh. Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh từ \(32\) đỉnh của đa giác đó. Xác suất để \(3\) đỉnh được chọn là \(3\) đỉnh của một tam giác vuông nhưng không cân là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = b - 3a\)
Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh từ \(32\) đỉnh ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{32}^3 = 4960\).
Đa giác đều có \(32\) đỉnh sẽ có \(16\) đường chéo đi qua tâm của đa giác.
Mà cứ \(2\) đường chéo sẽ tạo thành \(1\) hình chữ nhật. Cứ 1 hình chữ nhật lại tạo thành \(4\) tam giác vuông. Do đó, số tam giác vuông được tạo thành là \(4C_{16}^2 = 480\).
Mặt khác, trong số \(C_{16}^2\) hình chữ nhật lại có \(8\) hình vuông. Suy ra, số tam giác vuông cân là \(4 \cdot 8 = 32\).
Gọi \(X\) là biến cố “Chọn được một tam giác vuông, không cân”\( \Rightarrow n\left( X \right) = 480 - 32 = 448\).
Xác suất của biến cố \(X\) là:
\(P\left( X \right) = \frac{{n\left( X \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{448}}{{4960}} = \frac{{14}}{{155}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 155\end{array} \right. \Rightarrow T = b - 3a = 155 - 3.14 = 113\).
