Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có \(f\left( x \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ {1;7} \right]\).

Hàm số \[y = \sqrt {8 - {x^2}} \] xác định \[ \Leftrightarrow 8 - {x^2} \ge 0\]\[ \Leftrightarrow {x^2} \le 8\]\[ \Leftrightarrow \left| x \right| \le 2\sqrt 2 \]\[ \Leftrightarrow  - 2\sqrt 2  \le x \le 2\sqrt 2 \].

Ta có \(\sqrt {2{x^2} - 13x + 16}  = 7 - x\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 - x \ge 0\\2{x^2} - 13x + 16 = 49 - 14x + {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7\\{x^2} + x - 33 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt {133} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {133} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt {133} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {133} }}{2}\end{array} \right.\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: \(\frac{{ - 1 + \sqrt {133} }}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {133} }}{2} =  - 1\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;1} \right) \in AB\\VTCP\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1} \right)\end{array} \right.\)

nên phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].

Thay \(t =  - 1\) ta được \[O\left( {0;0} \right) \in AB\]

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

Do \[d{\rm{//}}\Delta \], ta giả sử: \(d:x + 2y + m = 0\,\,\,\left( {m \ne  - 15} \right)\)

\(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) khi và chỉ khi: \(d\left( {I,\;d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 + 6 + m} \right|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {m + 5} \right| = 5\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 5 =  - 5\\m + 5 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 10\\m = 0 & \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d:x + 2y - 10 = 0\\d:x + 2y = 0\end{array} \right.\).

Phương trình chính tắc của elip là: \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\] trong đó \[a > b > 0\]

Chọn mua 1 cây bút mực có: \(7\) cách.

Chọn mua 1 cây bút chì có: \(4\) cách.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn mua thỏa bài toán là: \(7.4 = 28\) (cách).

Số cách mượn truyện tranh của Bình là: \(5\).

Số cách mượn truyện ngắn của Bình là: \(8\).

Vậy số cách lựa chọn sách để mượn của Bình là: \(5 + 8 = 13\) (cách).

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có

\[{\left( {a + bx} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}bx + 6{a^2}{\left( {bx} \right)^2} + 4a{\left( {bx} \right)^3} + {\left( {bx} \right)^4}\]

\[ = {a^4} + 4{a^3}bx + 6{a^2}{b^2}{x^2} + 4a{b^3}{x^3} + {b^4}{x^4}\]

Theo giả thiết, ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{a^4} = 16\\4{a^3}b =  - 96\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(S = {a^2} + {b^2} = 13\)

Xác suất của biến cố chắc chắn xảy ra có \(P = 1\).

Theo định nghĩa của không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể của phép thử ngẫu nhiên.

Ta có \(n\left( \Omega  \right) = C_9^2 = 36\). Gọi \(A\) là biến cố: "Rút được hai thẻ có tích là số lẻ".

Từ 1 đến 9 có 5 số lẻ. Suy ra \(n\left( A \right) = C_5^2 = 10\). Vì vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{5}{{18}}\).

Nếu cửa hàng bán một cuốn sách giá \(80\) nghìn đồng thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua \(150 - 80 = 70\) cuốn sách.

Gọi \(T\left( x \right)\) là số tiền lãi của cửa hàng mỗi tháng

Ta có \(T\left( x \right) = \left( {150 - x} \right)\left( {x - 50} \right) =  - {x^2} + 200x - 7500\).

Đồ thị \(T\left( x \right)\) là một parabol có đỉnh \(I\left( {100;2500} \right)\)

Do đó lợi nhuận cao nhất khi bán 1 cuốn sách với giá \(100\)(nghìn đồng).

Khi \(T\left( x \right) = 2,1\) triệu thì ta có \( - {x^2} + 200x - 7500 = 2100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 120\\x = 80\end{array} \right.\).

Cửa hàng sẽ đạt lợi nhuận \(2,1\) triệu đồng mỗi tháng nếu mỗi tháng khách hàng mua \(150 - 80 = 70\) cuốn sách hoặc \(150 - 120 = 30\) cuốn sách.

a) Sai: Theo ước tính, nếu cửa hàng bán một cuốn sách giá \(80\) nghìn đồng thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua \(70\) cuốn sách.

b) Đúng: Số tiền lãi của cửa hàng mỗi tháng được tính bằng công thức \(T\left( x \right) =  - {x^2} + 200x - 7500\)

c) Sai: Cửa hàng sẽ đạt lợi nhuận \(2,1\) triệu đồng mỗi tháng nếu mỗi tháng khách hàng mua \(70\) cuốn sách hoặc \(30\) cuốn sách.

d) Đúng: Nếu cửa hàng bán một cuốn sách với giá \(100\) nghìn đồng thì sẽ có lợi nhuận cao nhất.

a) Đúng: Ta có phương trình chính tắc của \[\left( P \right)\] có dạng: \[\left( P \right):{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\]

Do \[\left( P \right)\] qua \[A\left( {1;1} \right).\]suy ra \[{1^2} = 2p.1 \Leftrightarrow p = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( P \right):{y^2} = x\].

b) Sai: Ta có tiêu điểm của \[\left( P \right)\] là \[F\left( {\frac{p}{2};0} \right) \Rightarrow F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\].

c) Đúng: Ta có đường chuẩn của \[\left( P \right)\] là \[\Delta :x =  - \frac{p}{2} \Rightarrow \Delta :x =  - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \Delta :x + \frac{1}{4} = 0\].

d) Sai: Với \[y =  - 2 \Rightarrow 4 = x \Rightarrow M\left( {4; - 2} \right) \Rightarrow MF = \sqrt {{{\left( {\frac{{15}}{4}} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \frac{{17}}{4}\]

a) Đúng: Số các xếp \(6\)bạn thành một hàng dọc là \(6!\).

b) Sai: Chọn Bình hoặc An đứng đầu hàng có 2 cách

Xếp 4 bạn còn lại có \(4!\) cách

Vậy số cách xếp 6 bạn sao cho Bình hoặc An đứng đầu hàng là \(2.4!\).

c) Đúng: Xếp Bình và An đứng cạnh nhau có 2 cách

Xếp Bình, An và 4 bạn còn lại có \(5!\) cách

Vậy có \(2.5!\) cách xếp sao cho Bình và An đứng cạnh nhau.

d) Đúng: Xếp 4 bạn còn lại có \(4!\) cách

Xếp Bình và An vào 2 trong 5 khe trống có \(A_5^2\) cách

Vậy có \(4!A_5^2\) cách xếp Bình và An không đứng cạnh nhau.

a) Đúng: Không gian mẫu của phép thử là \(n(\Omega ) = C_{18}^3 = 816\).

b) Sai: Gọi \(A\) là biến cố chọn được 3 viên bi đỏ.

Chọn 3 biên bi đỏ trong 6 viên bi đỏ, có \(C_6^3 = 20\)

Xác suất của biến cố \(A\) là: \[P(A) = \frac{{20}}{{816}} = \frac{5}{{204}}\].

c) Đúng: Gọi \(B\) là biến cố chọn được 3 viên bi gồm 3 màu.

Chọn được 3 viên bi gồm 3 màu, có \(C_5^1.C_6^1.C_7^1 = 210\).

Xác suất của biến cố \(B\) là: \[P(B) = \frac{{210}}{{816}} = \frac{{35}}{{136}}\].

d) Đúng: Gọi \(C\) là biến cố chọn được nhiều nhất 2 viên bi xanh.

Trường hợp 1: Chọn 2 bi xanh, 1 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng, có \(C_5^2.C_{13}^1 = 130\)

Trường hợp 2: Chọn 1 bi xanh, 2 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng, có \(C_5^1.C_{13}^2 = 390\)

Trường hợp 3: Chọn 0 bi xanh, 3 bi trong 6 bi đỏ và 7 bi vàng, có \(C_{13}^3 = 286\)

Suy ra \(n\left( C \right) = C_5^2.C_{13}^1 + C_5^1.C_{13}^2 + C_{13}^3 = 806\)

Xác suất của biến cố \(C\) là: \[P\left( C \right) = \frac{{806}}{{816}} = \frac{{403}}{{408}}\].

Ta có:

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\).

Do parabol \(\left( P \right)\) đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng \(x = 0 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\).

Chiều cao của cổng parabol là \(4{\rm{m}}\) nên tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(G\left( {0;4} \right)\).

Thế vào \(\left( P \right)\) ta được:\(4 = a{.0^2} + b.0 + c\, \Rightarrow c = 4\)\( \Rightarrow \left( P \right)\): \(y = a{x^2} + 4\)

Kích thước cửa ở giữa là \(3{\rm{m}} \times 4{\rm{m}}\) nên \(E\left( {2;3} \right) \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow 3 = a{.2^2} + 4 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{4}\).

Vậy \(\left( P \right)\): \(y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

\(A\) và \(B\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục hoành.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục hoành:

\( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.\) nên \(A\left( { - 4;0} \right)\), \(B\left( {4;0} \right)\) hay \(AB = 8\)\[{\rm{m}}\]

Ta có: \[f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {2m - 3} \right)x + 4m - 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{\Delta ' < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\left( {2m - 3} \right)}^2} - \left( {4m - 3} \right) < 0}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow 4{m^2} - 16m + 12 < 0\]\[ \Leftrightarrow 1 < m < 3\].

Vậy chỉ có một giá trị nguyên \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\)

Elip có tiêu cự \(8m\) nên \(2c = 8 \Rightarrow c = 4\)

Vì tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu cự bằng \(10m\) nên \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)

Do đó \({b^2} = {a^2} - {c^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow b = 3\)

Phương trình của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\),

Khi đó: \(\frac{{{2^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{h^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Rightarrow h = \frac{{3\sqrt {21} }}{5} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 21\\c = 5\end{array} \right. \Rightarrow T = 3 + 21 + 2.5 = 34\).

Ta lập bộ số có dạng \(\overline {abc} \) với \(a,b,c\)thuộc \(\left\{ {0,1,3,4,6,7,8} \right\}\)sau đó ta chèn bộ số \(\overline {295} \) hoặc \(\overline {592} \) vào là được số có sáu chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 1: \(a \ne 0\)

Bước 1: Chọn \(a\) có 6 cách

Bước 2: Chọn \(b\) có 6 cách

Bước 3: Chọn \(c\) có 5 cách

Bước 4: Chèn bộ số \(\overline {295} \) hoặc \(\overline {592} \)vào có \(4.2 = 8\) cách.

Vậy ta có: \(6.6.5.8 = 1440\)số.

Trường hợp 2: \(a = 0\)

Bước 1: Chọn \(a\) có 1 cách

Bước 2: Chọn \(b\) có 6 cách

Bước 3: Chọn \(c\) có 5 cách

Bước 4: Chèn bộ số \(\overline {295} \) hoặc \(\overline {592} \)vào có \(1.2 = 2\) cách.

Vậy ta có: \(1.6.5.2 = 60\)số.

Tổng hai trường hợp ta có: \(1440 + 60 = 1500\) số.

Gọi \[\Omega \] là không gian mẫu.

Có \[9\] cách lấy ra \[1\] viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai. Sau khi bỏ thì số viên bi trong hộp thứ hai là 13 viên. Khi đó có \[C_{13}^2\] cách lấy \[2\] viên bi từ hộp thứ hai.

Suy ra số phần tử không gian mẫu là \[n\left( \Omega  \right) = 9C_{13}^2\].

Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được từ hộp thứ hai \[2\]viên bi trắng”.

Trường hợp 1: Lấy được \[1\] viên bi xanh từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.

Có \[4\] cách lấy ra một viên bi xanh từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.  Sau khi bỏ viên bi xanh lấy từ hộp thứ nhất vào hộp thứ hai thì số bi trắng trong hộp thứ hai vẫn là \[7\]. Khi đó có \[C_7^2\] cách lấy \[2\] viên bi trắng từ hộp thứ hai. Suy ra có \[4C_7^2\] cách.

Trường hợp 2: Lấy được \[1\] viên bi trắng từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.

Có \[5\] cách lấy ra một viên bi trắng từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.  Sau khi bỏ viên bi trắng lấy từ hộp thứ nhất vào hộp thứ hai thì số bi trắng trong hộp thứ hai là \[8\]. Khi đó có \[C_8^2\] cách lấy \[2\] viên bi trắng từ hộp thứ hai. Suy ra có \[5C_8^2\] cách.

Vậy: \[n\left( X \right) = 4C_7^2 + 5C_8^2\] cách.

Do đó xác suất cần tính là: \[P\left( X \right) = \frac{{4C_7^2 + 5C_8^2}}{{9C_{13}^2}} = \frac{{112}}{{351}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 112\\b = 351\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b = 112 + 351 = 463\].

Gọi \(\Omega \) là không gian mẫu \( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = C_{30}^{10}\).

Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10”.

Từ 1 đến 30 có 15 số lẻ, 12 số chẵn không chia hết cho 10 và 3 số chia hết cho 10.

Lấy ra 5 thẻ mang số lẻ có \(C_{15}^5\) cách.

Lấy ra 4 thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 có \(C_{12}^4\) cách.

Lấy ra 1 thẻ mang số chia hết cho 10 có 3 cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 3C_{15}^5C_{12}^4\)\[ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{3C_{15}^5C_{12}^4}}{{C_{30}^{10}}} = \frac{{99}}{{667}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 99\\b = 667\end{array} \right. \Rightarrow T = b - a = 568\].