Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Bình có 4 cây bút chì khác nhau và 5 cây bút mực khác nhau. Bình cần chọn một cây bút để tặng bạn, hỏi Bình có bao nhiêu cách chọn?
\(5\).
\(4\).
\(20\).
\(9\).
Đáp án đúng là: D
Bình có \(4 + 5 = 9\) cách chọn một cây bút để tặng bạn.
Số cách sắp xếp 8 học sinh nam và 7 học sinh nữ vào một dãy ghế hàng ngang có 15 chỗ ngồi là
\(14!\).
\(15!\).
\(8!7!\).
\(8! + 7!\).
Đáp án đúng là: B
Mỗi cách sắp xếp 8 học sinh nam và 7 học sinh nữ vào một dãy ghế hàng ngang có 15 chỗ ngồi là một hoán vị của 15 phần tử.
Vậy số cách xếp là \({P_{15}} = 15!\).
Có 12 quyển sách khác nhau. Chọn ngẫu nhiên ra 5 quyển sách, hỏi có bao nhiêu cách chọn?
\(12!\).
\(C_{11}^5\).
\(A_{12}^5\).
\(C_{12}^5\).
Đáp án đúng là: D
Số cách chọn ngẫu nhiên 5 quyển sách là \(C_{12}^5\) (cách).
Khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^5}\) ta được biểu thức nào sau đây?
\({a^5} + 5{a^4}b + 10ab + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).
\({a^5} - 5{a^4}b + 10{a^2}{b^3} - 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} - {b^5}\).
\({a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).
\({a^5} + {a^4}b + {a^3}{b^2} + {a^2}{b^3} + a{b^4} + {b^5}\).
Đáp án đúng là: C
\({\left( {a + b} \right)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).
Trong một hộp có 10 quả cầu trong đó có 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Xét biến cố \(A:\) “trong 3 quả cầu có ít nhất 1 quả màu đỏ”. Xác định biến cố đối của \(A\).
\(\overline A \): “3 quả cầu có nhiều nhất 1 quả màu đỏ”.
\(\overline A \): “3 quả cầu không có quả màu đỏ”.
\(\overline A \): “Có 1 quả cầu không phải màu đỏ”.
\(\overline A \): “3 quả cầu đều màu đỏ”.
Đáp án đúng là: B
\(\overline A \): “3 quả cầu không có quả màu đỏ”.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \). Tọa độ của điểm \(M\) là:
\(\left( { - 2;3} \right)\).
\(\left( {2; - 3} \right)\).
\(\left( {3; - 2} \right)\).
\(\left( { - 3;2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
\(\overrightarrow {OM} = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \)\( \Rightarrow M\left( { - 2;3} \right)\).
Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + t\end{array} \right.\)?
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 2;1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + 2y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}: - 2x + y + 10 = 0\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 2;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\).
Có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.\left( { - 2} \right) + 2.1 = 0\). Do đó \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).
Phương trình nào là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), có bán kính \(R = 2\)?
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 4 = 0\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 4\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 2\).
Đáp án đúng là: B
Đường tròn tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\), có bán kính \(R = 2\) có dạng
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 4 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 16x\). Đường chuẩn của parabol \(\left( P \right)\) có phương trình là
\(x = - 2\).
\(x = - 6\).
\(x = - 8\).
\(x = - 4\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left( P \right):{y^2} = 16x\)\( \Rightarrow p = 8\).
Suy ra phương trình đường chuẩn là \(x = - 4\).
Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá tiền là 200; 300; 400; 450; 500; 600 (nghìn đồng). Số quạt bán ra trong mùa hè năm vừa qua được thống kế trong bảng dưới đây.
Giá tiền | 200 | 300 | 400 | 450 | 500 | 600 |
Số lượng bán | 40 | 84 | 103 | 132 | 85 | 32 |
Hỏi năm nay, cửa hàng nên nhập loại quạt nào để bán?
Quạt giá tiền 500 nghìn đồng.
Quạt giá tiền 600 nghìn đồng.
Quạt giá tiền 450 nghìn đồng.
Quạt giá tiền 400 nghìn đồng.
Đáp án đúng là: C
Mốt của bảng số liệu trên là \({M_0} = 450\).
Vậy năm nay cửa hàng nên nhập quạt có giá tiền 450 nghìn đồng về bán.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}: - x + \sqrt 3 y - 1 = 0\) và \({d_2}:\sqrt 3 x - 3y = 0\) bằng
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(1\).
Đáp án đúng là: A
Lấy điểm \(O\left( {0;0} \right) \in {d_2}\).
Ta có \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {O,{d_1}} \right) = \frac{{\left| { - 0 + \sqrt 3 .0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong hộp có chứa 6 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 5 viên bi.
a) Số phần tử của không gian mẫu bằng \(C_{12}^5\).
b) Số phần tử của biến cố “5 viên bi lấy ra cùng màu” là \(C_6^5\).
c) Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra không có bi vàng” bằng \(\frac{{15}}{{22}}\).
d) Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra có ít nhất một bi vàng” bằng \(\frac{{15}}{{22}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Số phần tử của không gian mẫu bằng \(C_{12}^5\).
b) Để lấy được 5 viên bi cùng màu thì 5 viên bi lấy được có màu xanh.
Do đó số phần tử của biến cố “5 viên bi lấy ra cùng màu” là \(C_6^5\).
c) Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra không có bi vàng” là \(P = \frac{{C_{10}^5}}{{C_{12}^5}} = \frac{7}{{22}}\).
d) Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra có ít nhất một bi vàng” là \(P = 1 - \frac{7}{{22}} = \frac{{15}}{{22}}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\) và đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\). Khi đó
a) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {4;3} \right);R = 5\).
b) Điểm \(M\left( {1;1} \right) \notin \Delta \).
c) Đường thẳng \(d\) song song với \(\Delta \) có 1 vectơ pháp tuyến bằng \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2} \right)\).
d) Có hai đường thẳng tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) mà song song với \(\Delta \).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).
Suy ra đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {4;3} \right);R = 5\).
b) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\) ta được:
\(1 - 2.1 + 1 = 0\) (đúng). Do đó \(M\left( {1;1} \right) \in \Delta \).
c) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right) = - \left( { - 1;2} \right) = - \overrightarrow n \].
Suy ra \(\overrightarrow n \) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).
Mà \(d//\Delta \) nên \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của \(d\).
d) Vì tiếp tuyến \(\Delta '\) của \(\left( C \right)\) song song với \(\Delta \) nên \(\Delta '\) có dạng \(x - 2y + c = 0\left( {c \ne 1} \right)\).
Vì \(d\left( {I,\Delta '} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {4 - 2.3 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| { - 2 + c} \right| = 5\sqrt 5 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 + c = 5\sqrt 5 \\ - 2 + c = - 5\sqrt 5 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 5\sqrt 5 + 2\\c = - 5\sqrt 5 + 2\end{array} \right.\) (thoảm mãn).
Vậy có hai đường thẳng tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) mà song song với \(\Delta \).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18.
Một bộ đồ chơi ghép hình gồm nhiều miếng nhựa. Mỗi miếng nhựa được đặc trưng bởi ba yếu tố: màu sắc, hình dạng và kích thước. Biết rằng có 4 màu (xanh, đỏ, vàng, tìm), có 3 hình dạng (hình tròn, hình vuông, hình tam giác) và 2 kích cỡ (to, nhỏ). Hỏi hộp đồ chơi đó có bao nhiêu miếng nhựa?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 24
Số miếng nhựa của hộp đồ chơi là: \(4.3.2 = 24\) (miếng).
Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), cho đường thẳng \(\left( d \right):2x + 3y - 2 = 0\). Đường thẳng \(d'//d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a; - 3} \right)\). Tìm \(a\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: −2
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;3} \right) = - \left( { - 2; - 3} \right) = - \overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[d\].
Vì \(d'//d\) nên \(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 3} \right)\) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d'\).
Do đó \(a = - 2\).
Xét phép thử gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 6 mặt hai lần. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Tính số phần tử của biến cố \(A.\)
Hướng dẫn giải
Trả lời: 6
Gọi cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là số chấm xuất hiện ở hai lần gieo.
Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”.
Các kết quả của biến cố A là: \(\left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\).
Suy ra \(n\left( A \right) = 6\).
Cho đa giác đều có \(n\) đỉnh, \(n \in \mathbb{N}\) và \(n \ge 3\). Tìm \(n\) biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 18
Số đoạn thẳng tạo bởi \(n\) đỉnh là \(C_n^2\), trong đó có \(n\) cạnh.
Suy ra số đường chéo là \(C_n^2 - n\).
Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên \(C_n^2 - n = 135\).
Ta có
\(C_n^2 - n = 135\)\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!2!}} - n = 135\)\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 2n = 270\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 270 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\\n = - 15\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện ta có \(n = 18\).
Vậy đa giác đều này có 18 đỉnh.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Khai triển và rút gọn \(x{\left( {2{x^2} - 1} \right)^4}\). Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển đó bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có \({\left( {2{x^2} - 1} \right)^4} = {\left( {2{x^2}} \right)^4} - 4.{\left( {2{x^2}} \right)^3} + 6.{\left( {2{x^2}} \right)^2} - 4.2{x^2} + 1\)
\( = 16{x^8} - 32{x^6} + 24{x^4} - 8{x^2} + 1\).
Suy ra \(x{\left( {2{x^2} - 1} \right)^4} = 16{x^9} - 32{x^7} + 24{x^5} - 8{x^3} + x\).
Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển bằng 24.
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Hướng dẫn giải
Gọi \(\Omega \) là không gian mẫu \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{30}^{10}\).
Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10”.
Từ 1 đến 30 có 15 số lẻ, 12 số chẵn không chia hết cho 10 và 3 số chia hết cho 10.
Lấy ra 5 thẻ mang số lẻ có \(C_{15}^5\) cách.
Lấy ra 4 thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 có \(C_{12}^4\) cách.
Lấy ra 1 thẻ mang số chia hết cho 10 có 3 cách.
Do đó \(n\left( A \right) = 3C_{15}^5C_{12}^4\).
Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{3C_{15}^5C_{12}^4}}{{C_{30}^{10}}} = \frac{{99}}{{667}}\).
Động đất hay địa chấn là sự rung chuyển trên bề mặt Trái Đất do kết quả của sự giải phóng năng lượng bất ngờ ở lớp vỏ Trái Đất và phái sinh ra sóng địa chấn (theo Wikipedia).
Ngày 6/2/2023, một trận động đất cường độ 7,8 độ richter có tâm chấn tại Thổ Nhĩ Kì được mô tả bởi tâm \(I\) của đường tròn tác động \(\left( C \right)\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) (đơn vị trên hai trục tọa độ là km). Biết rằng đường tròn tác động \(\left( C \right)\) đi qua hai thành phố Kahramamaras và Nurdagi được mô tả bởi hai điểm \(K\left( { - 3;10} \right)\) và \(N\left( {8;0} \right)\); tâm chấn \(I\) có hoành độ dương và cách thành phố Aleppo của Syria được mô tả bởi điểm \(G\left( {9; - \frac{{17}}{4}} \right)\) là \(4\sqrt {10} \) km. Tìm bán kính (km) của đường tròn \(\left( C \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Giả sử đường tròn tác động \(\left( C \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(I\left( {a;b} \right)\).
Vì \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(K\left( { - 3;10} \right)\) và \(N\left( {8;0} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}6a - 20b + c = - 109\\ - 16a + c = - 64\end{array} \right.\) (1).
Lại có \(IG = 4\sqrt {10} \) nên \({\left( {9 - a} \right)^2} + {\left( { - \frac{{17}}{4} - b} \right)^2} = 160\) (2).
Từ \(\left\{ \begin{array}{l}6a - 20b + c = - 109\\ - 16a + c = - 64\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{c + 64}}{{16}}\\b = \frac{{11c}}{{160}} + \frac{{133}}{{20}}\end{array} \right.\) thay vào (2), ta được
\[{\left( {9 - \frac{{c + 64}}{{16}}} \right)^2} + {\left( { - \frac{{17}}{4} - \frac{{11c}}{{160}} - \frac{{133}}{{20}}} \right)^2} = 160\]\( \Leftrightarrow {\left( {5 - \frac{c}{{16}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{109}}{{10}} + \frac{{11c}}{{160}}} \right)^2} = 160\)
\( \Leftrightarrow 25 - \frac{{10}}{{16}}c + \frac{{{c^2}}}{{256}} + \frac{{11881}}{{100}} + \frac{{1199}}{{800}}c + \frac{{121}}{{25600}}{c^2} = 160\)\( \Leftrightarrow \frac{{221}}{{25600}}{c^2} + \frac{{699}}{{800}}c - \frac{{1619}}{{100}} = 0\)
\( \Leftrightarrow c = 16\) hoặc \(c = \frac{{ - 25904}}{{221}}\).
Vì \(I\) có hoành độ dương nên \(c = 16\). Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = \frac{{31}}{4}\end{array} \right.\).
Do đó bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R = \sqrt {{5^2} + {{\left( {\frac{{31}}{4}} \right)}^2} - 16} \approx 8,31\) km.
