Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 06
31 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \). Biết góc giữa hai vectơ này bằng \(150^\circ \), khi đó góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng
\(150^\circ \);
\(30^\circ \);
\(60^\circ \);
\(180^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \).
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \[{d_1}:x - 2y + 1 = 0\] và \[{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\].
Trùng nhau;
Vuông góc với nhau;
Song song;
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x - 2y + 1 = 0\\{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{ - 3}} = \frac{{ - 2}}{6} \ne \frac{1}{{ - 10}} \Rightarrow {d_1}\,\parallel \,{d_2}\].
Cho các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương cùng hướng;
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương ngược hướng;
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) bằng nhau;
\(\overrightarrow u = 2\overrightarrow v \).
Đáp án đúng là: A
Cho các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)\); \(\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)\) nên ta có: \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow v \).
Vậy \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương cùng hướng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 3y + 4 = 0\). Phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(A\left( {0;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) là
\(x - 3y + 6 = 0\);
\(3x + y - 2 = 0\);
\(3x - y + 2 = 0\);
\(x + 3y - 6 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1; - 3} \right)\) nên vectơ chỉ phương là \(\left( {3;1} \right)\).
Vì \(d \bot d'\) nên \(d'\) nhận \(\left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm \(A\left( {0;2} \right)\) có phương trình là:
\(3\left( {x - 0} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0\).
Phương trình tham số của đường thẳng có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + At\\y = {y_0} + Bt\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + Bt\\y = {y_0} - At\end{array} \right.\);
\(A{x_0} + B{y_0} = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình tham số của đường thẳng có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {B; - A} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + Bt\\y = {y_0} - At\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(AB:x + y - 1 = 0\), \(AC:7x - y + 2 = 0\) và \(BC:10x + y - 19 = 0\). Phương trình đường phân giác trong tại đỉnh \(A\) là
\(2x - 6y + 7 = 0\);
\(12x + 4y - 3 = 0\);
Cả A và B đều đúng;
Cả A và B đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tọa độ điểm \(C\) là giao điểm của \(AC\) và \(BC\) nên là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}7x - y + 2 = 0\\10x + y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 9\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;9} \right)\).
Tọa độ điểm \(B\) là giao điểm của \(AB\) và \(BC\) nên là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\10x + y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 1} \right)\).
Gọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường phân giác tại đỉnh \(A\), khi đó ta có:
\(d\left( {M;AB} \right) = d\left( {M;AC} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {7x - y + 2} \right|}}{{5\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5\left( {x + y - 1} \right) = 7x - y + 2\\5\left( {x + y - 1} \right) = - 7x + y - 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 6y + 7 = 0\\12x + 4y - 3 = 0\end{array} \right.\)
+) Xét \(f\left( {x;y} \right) = 2x - 6y + 7\)
Tại \(B\left( {2; - 1} \right)\) có \(f\left( {2; - 1} \right) = 2.2 - 6.\left( { - 1} \right) + 7 = 17 > 0\)
Tại \(C\left( {1;9} \right)\) có \(f\left( {1;9} \right) = 2.1 - 6.9 + 7 = - 45 < 0\).
Do đó \(B\) và \(C\) khác phía với đường thẳng \(2x - 6y + 7 = 0\).
+) Xét \(f\left( {x;y} \right) = 12x + 4y - 3\)
Tại \(B\left( {2; - 1} \right)\) có \(f\left( {2; - 1} \right) = 12.2 + 4.\left( { - 1} \right) - 3 = 17 > 0\)
Tại \(C\left( {1;9} \right)\) có \(f\left( {1;9} \right) = 12.1 + 4.9 - 3 = 45 > 0\).
Do đó \(B\) và \(C\) khác phía với đường thẳng \(12x + 4y - 3 = 0\).
Vậy phương trình đường phân giác trong tại đỉnh \(A\) là \(2x - 6y + 7 = 0\).
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
\[1\];
\[2\];
\[4\];
Vô số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Nếu \[\overrightarrow u \] là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \] thì \[k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)\] cũng là vectơ chỉ phương của \[\Delta \]. Vậy nên có vô số vectơ là vectơ chỉ phương của \[\Delta \].
Phương trình tiếp tuyến \[d\] của đường tròn \[\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\] tại điểm \[M\left( {2;\,1} \right)\] là
\[d:4x + 3y - 11 = 0\];
\[d:4x + 3y + 14 = 0\];
\[d:3x - 4y - 2 = 0\];
\[d:4x + 3y - 5 = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( { - 2; - 2} \right)\] nên tiếp tuyến tại \[M\] có vectơ pháp tuyến là \[\vec n = \overrightarrow {IM} = \left( {4;\,3} \right)\] nên có phương trình \[4\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 11 = 0\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 3y - 5 = 0\) có bán kính nào trong khoảng nào dưới đây?
\(\left( {0;2} \right)\);
\(\left( {1;3} \right)\);
\(\left( {3;5} \right)\);
\(\left( {5;7} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét \({x^2} + {y^2} - 2x + 3y - 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{33}}{4}\)
\( \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {33} }}{2}\).
Vậy \(R \in \left( {1;3} \right)\).
Cho phương trình \[{x^2} + {y^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4y - 1 = 0\left( * \right)\]. Tìm điều kiện của \[m\] để \[\left( * \right)\] là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
\[m = - 2\];
\[m = - 1\];
\[m = 2\];
\[m = 1\] .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[{x^2} + {y^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4y - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \left( {m + 1} \right)\\b = - 2\\c = - 1\end{array} \right.\]
Để \[\left( * \right)\] là phương trình đường tròn thì \[{a^2} + {b^2} - c = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\]
(luôn đúng với mọi \(m\)).
\[ \Rightarrow {R^2} = {\left( {m + 1} \right)^2} + 5\].
Vì \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}\) nên \({\left( {m + 1} \right)^2} + 5 \ge 5\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)
\[ \Rightarrow {R_{\min }} = 5 \Leftrightarrow m = - 1\].
Cho Hypebol \[\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]. Tính tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực?
\[2\];
\[\frac{1}{2}\];
\[\frac{{\sqrt 5 }}{2}\];
\[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 3\end{array} \right.\]
Nên độ dài trục ảo là: \[2.3 = 6\] và độ dài trục thực là: \[2.6 = 12\].
Khi đó, tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực là \[\frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\].
Cho phương trình chính tắc của parabol \[\left( P \right)\], biết rằng \[\left( P \right)\] có đường chuẩn là đường thẳng \[\Delta :x + 4 = 0\]. Tìm toạ độ điểm \[M\] thuộc \[\left( P \right)\] sao cho khoảng cách từ \[M\] đến tiêu điểm của \[\left( P \right)\]bằng \[5\]?
\[M\left( {--1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 4} \right)\];
\[M\left( {1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 4} \right)\];
\[M\left( {1;\,2} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 2} \right)\];
\[M\left( {1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( { - 1;\,4} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình chính tắc của \[\left( P \right)\] có dạng: \[{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\]
Vì \[\left( P \right)\] có đường chuẩn \[\Delta :x + 4 = 0\] nên \[\frac{p}{2} = 4 \Leftrightarrow \;p = 8\].
Do đó phương trình chính tắc của \[\left( P \right)\] là \[{y^2} = 16x\].
Gọi \[M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( P \right)\], ta có:
\[d\left( {M;\,\Delta } \right) = MF = 5\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{x_0} + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 5\]
\[ \Leftrightarrow \left| {{x_0} + 4} \right| = 5\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} + 4 = 5\\{x_0} + 4 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 9\end{array} \right.\]
+) Với \[{x_0} = 1\] có \[{y_0}^2 = 16.1 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} = - 4}\\{{y_0} = 4}\end{array}} \right.\]
+) Với \[{x_0} = - 9\] có \[{y_0}^2 = 16.\left( {--9} \right) = --144\](vô lí).
Vậy \[M\left( {1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 4} \right)\].
Một lớp có \[23\] học sinh nữ và \[17\] học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện có cả nam và nữ?
\[391\];
\[40\];
\[780\];
\[1560\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Việc chọn hai học sinh (nam và nữ) phải tiến hành hai hành động liên tiếp:
+) Chọn một học sinh nữ trong số \[23\] học sinh nữ nên có \[23\] cách chọn
+) Chọn một học sinh nam trong số \[17\] học sinh nam nên có \[17\] cách chọn
Theo quy tắc nhân, có \[23.17 = 391\] cách chọn hai học sinh tham gia hội trại có cả nam và nữ.
Giả sử \[k,\,n\] là các số nguyên bất kì thỏa mãn \[1 \le k \le n\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\];
\[C_n^k = kC_n^{k - 1}\];
\[C_n^k = C_n^{n - k}\];
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tổ hợp chập \[k\] của \[n\] có tính chất: \[C_n^k = C_n^{n - k}\]. Vậy nên chọn C.
Có \[4\] bì thư khác nhau và có \[6\] con tem khác nhau. Chọn từ đó ra \[2\] bì thư và \[2\] con tem sau đó dán \[2\] con tem lên \[2\] bì thư đã chọn. Biết rằng một bì thư chỉ dán một con tem. Hỏi có bao nhiêu cách dán?
\[A_4^2.A_6^2\];
\[3!A_4^2.A_6^2\];
\[C_4^2.C_6^2\];
\[3!.C_4^2.C_6^2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \[4\] bì thư khác nhau, chọn \[2\] bì thư có \[C_4^2\] cách chọn.
Có \[6\] con tem khác nhau, chọn \[2\] con tem thì có \[C_6^2\] cách chọn.
Dán \[2\] con tem lên \[2\] bì thư có \[2!\] cách dán khác nhau.
Theo quy tắc nhân ta có \[2!C_4^2.C_6^2\] cách dán \[2\] con tem lên \[2\] bì thư.
Hệ số của số hạng thứ \[3\] (từ trái sang phải) trong khai triển \[{\left( {x - 2} \right)^5}\] là
\[C_5^3.2\];
\[ - C_5^3.2\];
\[C_5^2{.2^2}\];
\[ - C_5^2{.2^2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Khai triển nhị thức ta được:
\[{\left( {x - 2} \right)^5}\]\[ = C_5^0.{x^5}.{\left( { - 2} \right)^0} + C_5^1.{x^4}.{\left( { - 2} \right)^1} + C_5^2.{x^3}.{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{x^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{x^1}.{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{x^0}.{\left( { - 2} \right)^5}\]
Hệ số hạng thứ \[3\] trong khai triển là \[C_5^2.{\left( { - 2} \right)^2} = C_5^2{.2^2}\].
Cho tập hợp \[A = \left\{ {1;\,2;\,3;4;5;6;7;8;\,9;\,10} \right\}\]. Lập các tập con có \(2\) phần tử của tập \(A\). Xác suất để trong các tập con chứa hai phần tử của tập \(A\) chọn được tập luôn có phần tử \(9\) là
\[\frac{1}{5}\];
\[\frac{1}{9}\];
\[\frac{2}{5}\];
\[\frac{4}{5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số tập con có hai phần tử của tập \(A\) là: \(C_{10}^2\).
Do đó \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45\).
Số các tập con của tập \(A\) có hai phần tử và luôn có phần tử \(9\) có: \(1.C_9^1 = 9\).
Gọi M là biến cố tập con có hai phần tử luôn có phần tử 9.
\( \Rightarrow n\left( M \right) = 9\)
\( \Rightarrow \frac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{45}} = \frac{1}{5}\).
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì
các kết quả thuận lợi cho biến cố đó là rất ít;
các kết quả thuận lợi cho không gian mẫu là rất lớn;
trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra;
trong một phép thử biến cố đó sẽ hoàn toàn xảy ra.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Theo nguyên lí xác suất bé, ta có:
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.
Xếp \[4\] người gồm An, Bình, Nhi, Trang ngồi vào \[6\] chỗ trên một bàn dài. Xác suất để bạn An luôn ngồi cạnh bạn Nhi bằng
\[\frac{2}{3}\];
\[\frac{1}{4}\];
\[\frac{1}{3}\];
\[\frac{1}{6}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số cách xếp khác nhau cho \[4\] người ngồi vào \[6\] chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập \[4\] của \[6\] phần tử.
Suy ra \[n\left( \Omega \right) = A_6^4 = 360\] cách.
Gọi \(A\) là biến cố để bạn An luôn ngồi cạnh bạn Nhi.
Vì An luôn ngồi cạnh bạn Nhi nên coi hai bạn này là một phần tử, trong phần tử này có \(2!\) cách xếp. Khi đó ta cần xếp \(3\) người vào \(5\) chỗ có \(A_5^3 = 60\) cách.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 2!.60 = 120\).
\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{120}}{{360}} = \frac{1}{3}\).
Nhận xét nào dưới đây là sai?
Biến cố là tập con của không gian mẫu;
\(P\left( \emptyset \right) = 0\);
\(P\left( \Omega \right) = 1\);
Biến cố đối của \(A\) là biến cố \(A\) xảy ra.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Biến cố đối của \(A\) là biến cố \(A\) không xảy ra.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow b \) là
\(\left( {3;5} \right)\);
\(\left( {3; - 5} \right)\);
\(\left( { - 3; - 5} \right)\);
\(\left( { - 3;5} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta có vectơ \(\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + \left( { - 5} \right)\overrightarrow j \). Vậy \(\overrightarrow b = \left( {3; - 5} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \[A\left( {3;\,4} \right)\]và \[B\left( {3;\,7} \right)\]. Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là
\(\left( {0;\,\,3} \right)\);
\(\left( {6;\,\,11} \right)\);
\(\left( {4;\,\,3} \right)\);
\(\left( {6;\,\,3} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \[A\left( {3;\,\,4} \right)\]và \[B\left( {3;\,\,7} \right)\].
Khi đó, tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 3;7 - 4} \right) = \left( {0;\,\,3} \right)\).
Chiều dài của một cái bàn đo được là \(l\) = 1,2564 m ± 0,001 m. Số quy tròn của số \(l\) = 1,2564 m là:
1,26 m;
1,3 m;
1,25 m;
1,2 m.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0,001) nên ta quy tròn số 1,2564 đến hàng phần trăm. Vậy số quy tròn của \(l\) là 1,26.
Cho mẫu số liệu sau:
1 2 3 3 5 6 8 9 9.
Trung vị của mẫu số liệu trên là
5;
2;
3;
6.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Mẫu số liệu trên đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm có \(n = 9\) (số liệu).
Do đo, trung vị của mẫu số liệu trên là 5 (giá trị ở chính giữa).
Cho bảng số liệu ghi lại điểm của 40 học sinh trong bài kiểm tra 1 tiết môn toán như sau:
Điểm | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Cộng |
Số HS | 2 | 3 | 7 | 18 | 3 | 2 | 4 | 1 | 40 |
Điểm trung bình của 40 học sinh trên gần nhất với giá trị nào sau đây?
5;
6;
7;
8.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overline x = \frac{{3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 18 + 7 \cdot 3 + 8 \cdot 2 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 1}}{{40}} = 6,1\).
Vậy điểm trung bình của 40 học sinh trên gần nhất với giá trị 6.
Cho mẫu số liệu:
3 5 5 2 9 10 9 8 5.
Mốt của mẫu số liệu trên là
3;
9;
5;
10.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mốt của mẫu số liệu trên là 5 (do nó có tần số xuất hiện lớn nhất là 3 lần).
Dân số Việt Nam (triệu người) qua các năm được thể hiện qua bảng sau:
Năm | Số dân |
1901 | 13,0 |
1921 | 15,5 |
1936 | 18,8 |
1956 | 27,5 |
1960 | 30,2 |
Tứ phân vị \({Q_2}\), \({Q_1}\), \({Q_3}\) của bảng số liệu này lần lượt là
18,8; 14,25; 28,85;
18; 14,25; 28,85;
18,8; 14,5; 28,5;
18,8; 13,0; 30,2.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Sắp xếp mẫu số liệu thành một dãy không giảm ta có:
13,0; 15,5; 18,8; 27,5; 30,2.
Ta có: \(n = 5\)
Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) là: 18,8.
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là trung vị của dãy số liệu: 13,0; 15,5. Tức là: \({Q_1} = \left( {13,0 + 15,5} \right):2 = 14,25\).
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là trung vị của dãy số liệu: 27,5; 30,2. Tức là: \({Q_3} = \left( {27,5 + 30,2} \right):2 = 28,85\).
Cho hai mẫu số liệu. Mẫu thứ nhất là: \(\left\{ {2;3;4;2;1;4;5} \right\}\). Mẫu thứ hai là: \(\left\{ {2;0;1;2;1;2;3} \right\}\). So sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu dựa vào khoảng biến thiên, khẳng định nào sau đây là đúng ?
Mẫu số liệu thứ nhất có độ phân tán cao hơn;
Mẫu số liệu thứ hai có độ phân tán thấp hơn;
Hai mẫu số liệu có độ phân tán như nhau;
Không có khẳng định đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét mẫu thứ nhất là: \(\left\{ {2;3;4;2;1;4;5} \right\}\).
Ta có: \({x_{1\min }} = 1\); \({x_{1max}} = 5\). Khoảng biến thiên là: \({R_1} = 5 - 1 = 4\).
Xét mẫu thứ hai là: \(\left\{ {2;0;1;2;1;2;3} \right\}\).
Ta có: \({x_{2\min }} = 0\); \({x_{2max}} = 3\). Khoảng biến thiên là: \({R_2} = 3 - 0 = 3\).
Vì \({R_1} > {R_2}\) nên mẫu số liệu thứ nhất có độ phân tán cao hơn mẫu số liệu thứ hai.
II. PHẦN TỰ LUẬN
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho hai đường thẳng \[d:x + 2y - 3 = 0\] và \[\Delta :x + 3y - 5 = 0\]. Viết phương trình của \[\left( C \right)\], biết bán kính bằng \[\frac{{2\sqrt {10} }}{5}\], có tâm thuộc \[d\] và tiếp xúc với \[\Delta \].
Hướng dẫn giải
Gọi \[I\left( { - 2t + 3;\,t} \right) \in d\] là tâm của đường tròn \[\left( C \right)\].
Theo giả thiết, ta có:
\[d\left( {I,\,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2t + 3 + 3t - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| {t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = - 2\end{array} \right.\]
+) Với \[t = 6 \Rightarrow I\left( { - 9;\,6} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = \frac{8}{5}\].
+) Với \[t = - 2 \Rightarrow I\left( {7;\, - 2} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{8}{5}\].
Cho mẫu số liệu thống kê:
6 7 8 14 23 34 65 120.
Tìm các số liệu bất thường của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải
Mẫu số liệu có 8 số liệu.
Mẫu số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Các tứ phân vị là:
Tứ phân vị thứ hai là: \({Q_2} = \left( {14 + 23} \right):2 = 18,5\).
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy số liệu 6; 7; 8; 14.
Do đó, \({Q_1} = \left( {7 + 8} \right):2 = 7,5\).
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy số liệu 23; 34; 65; 120.
Do đó, \({Q_3} = \left( {34 + 65} \right):2 = 49,5\).
Khoảng tứ phân vị là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 49,5 - 7,5 = 42\).
Ta có:
\({Q_1} - \frac{3}{2}{\Delta _Q} = 7,5 - \frac{3}{2}.42 = - 55,5\);
\({Q_3} + \frac{3}{2}{\Delta _Q} = 49,5 + \frac{3}{2}.42 = 112,5\).
Vậy giá trị bất thường của mẫu số liệu là 120 (do lớn hơn 112,5).
Cho tập \[A = \left\{ {0;\,\,1;\,\,\,2;\,\,\,3;\,\,\,4;\,\,\,5;\,\,\,6} \right\}\]. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ các số của \[A\]. Tính xác suất để chọn được số sao cho số đó nhỏ hơn \[323\].
Hướng dẫn giải
Gọi số có 3 chữ số khác nhau là \[\overline {abc} \,\left( {a \ne 0} \right)\].
Chọn \[a\] có \[6\] cách chọn (vì \[a\] chọn tuý ý một trong các số từ \[1\] đến \[6\]).
Chọn \[b\] có \[5\] cách chọn (vì \[b \ne a\] nên \[b\] có thể chọn một trong các số từ \[1\] đến \[6\] nhưng không được chọn số mà \[a\] đã chọn).
Chọn \[c\] có \[4\] cách chọn (vì \[c \ne a,\,c \ne b\] nên \[c\] có thể chọn một trong các số từ \[1\] đến \[6\] nhưng không được chọn số mà \[a,\,b\] đã chọn).
Áp dụng quy tắc nhân, ta có \[6.5.4 = 120\] số có ba chữ số khác nhau được lập từ các số \[1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\].
Vậy số phần tử của không gian mẫu là: \[n\left( \Omega \right) = 120\].
Gọi \[A\] là biến cố: “chọn được số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho số đó nhỏ hơn \[323\]”.
TH1: \(a = 3\), khi đó:
Nếu \(b < 2\) thì \(b \in \left\{ {0;1} \right\}\) hay \(b\) có \(2\) cách; \(c\) có \(5\) cách.
Do đó có: \(1.2.5 = 10\) số.
Nếu \(b = 2\) thì \(b\) có \(1\) cách; \(c\) phải nhỏ hơn \(3\) và khác \(b\) nên \(c \in \left\{ {0;1} \right\}\) hay \(c\) có \(2\) cách.
Do đó có: \(1.1.2 = 2\) số.
TH2: \(a < 3\) nên \(a \in \left\{ {1;2} \right\}\) hay \(a\) có hai cách chọn, khi đó:
\(b\) có \(6\) cách chọn, \(c\) có \(5\) cách chọn.
Do đó có \(2.6.5 = 60\) số.
Vậy có \(10 + 2 + 60 = 72\) số.
